图形变换平移.习题集(20**年-20**年)

课堂练习

一、简单平移

【例1】 在6⨯6方格中，将图1中的图形N 平移后位置如图2所示，则图形N 的平移方法中，正确的是

（ ）．

A ．向下移动1格

【答案】D

B ．向上移动1格 C ．向上移动2格 D ．向下移动2格

（2013广东广州中考）

【解析】观察图形可知，平移的方法是将图形N 向下移动2格．故选D ．

【例2】 下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是（ ）．

A ． B ． C ． D ．

（2012石景山一模）

【答案】B

【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(-2, 0) ，等边三角形AOC 经过平移或轴对称或旋

转都可以得到△OBD ．△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD ，则平移的距离是__________个单位长度．

（2014初三上房山期末）

【答案】2．

【例4】 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线围边的三角形称为格点

三角形，图中的△ABC 就是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为(-1, -1) ．把△ABC 向左平移8格后得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1的图形并直接写出B 1的坐标为__________．

（2014初三上八中期中）

【答案】如图所示，B 1

(-9, -1) ；

【例5】 如图，在由小正方形组成的12⨯10的网格中，点O 、M 和四边形ABCD 的顶点都在格点上．平移

四边形ABCD ，使其顶点B 与点M 重合，画出平移后的图形．

【答案】略

【例6】 在图示的方格纸中．

（1）画出△ABC 关于MN 对称的图形△A 1B 1C 1；

（2）说明△A 2B 2C 2是由△A 1B 1C 1经过怎样的平移得到的？

二、平移与操作

【例7】 操作探究：

一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为5+(-2) =3．

若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a , b }叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a , b }与“平移量”{c , d }的加法运算法则为{a ，b }+{c ，d }={a +c ，b +d }．

（1）计算：{3，1}+{1，2}；

2}平移到点C ；1}平移到点B ，（2）若一动点从点A (1,1)出发，先按照“平移量”{2，再按照“平移量”{-1，-1}平移到点D ，在图中画出四边形ABCD ，并直接写出点D 的坐标； 最后按照“平移量”{-2，

（3）将（2）中的四边形ABCD 以点A 为中心，顺时针旋转90︒，点B 旋转到点E ，连结AE ．BE 若动点P 从点A 出发，沿△AEB 的三边AE 、EB 、BA 平移一周．请用“平移量”加法算式表示动点P 的平移过程．

（2013丰台二模）

【答案】（1）{4,3}；

（2）①如图所示：

3) ； ②D (0，

（3）{1, -2}+{1,3}+{-2, -1}．

【例8】 已知线段OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ．∠AOB =∠BOC =∠COD =∠DOE =∠EOF =60︒．且

A D =B E =C F =

2．求证：S ∆OAB +S ∆OCD +S ∆OEF

【答案】可以把∆OAB 平移到∆IHE ，把∆O C D 平移到∆GFH ，显然OFGHIE 可以构成一个边长为2的等边

三角形．从而S ∆OAB +S ∆OCD +S ∆OEF =

S ∆OGI -S ∆EFH

【例9】 如图，已知△ABC 的面积为16，BC =8．现将△ABC 沿直线BC 向右平移a 个单位到△DEF 的位

置．

（1）当a =4时，求△ABC 所扫过的面积；

（2）连结AE 、AD ，设AB =5，当△ADE 是以DE 为一腰的等腰三角形时，求a 的值．

A

D

B

E

C

F

（2011怀柔二模）

【答案】（1）设AC 与DE 交于点G ，则

∵AB ∥DE ，E 为BC 中点⇒G 为AC 中点． 又∵AD ∥EC ，

∴S △AGD =S △CGE ．

∴△ABC 所扫过面积=S △ABC +S ACFD =2S △ABC =32．

（2）①当AD =DE 时，a =5．

②当AE =DE 时，取BE 中点M ，则AM ⊥BC ． ∵S △ABC =16，

1

∴⨯BC ⨯AM =16． 2

1

∴⨯8⨯AM =16． 2

∴AM =4． 在Rt △AMB 中，

BM =3． 此时，a =2BM =6

综上可知，a =5或a =6．

【例10】 如图，一个横截面为Rt ∆ABC 的物体，∠ACB =90︒，∠CAB =30︒，BC =1米，师傅要把此物体搬

到墙边，先将AB 边放在地面（直线m 上），再按顺时针方向绕点B 翻转到△A 1BC 1的位置（BC 1在

m 上），最后沿射线BC 1的方向平移到△A 2B 2C 2的位置，其平移距离为线段AC 的长度（此时，A 2C 2

恰好靠在墙边）．

（1）直接写出AB 、AC 的长；

（2）画出在搬动此物体的整个过程中A 点所经过的路径，并求出该路径的长度．

A

12

2

m

（2011昌平二模）

【答案】（1）AB =2

米，AC =

（2）A 点的路径如图中的粗线所示，路径长为(

4π

米．

3

12

2

m

三、平移与几何证明

【例11】 在正方形ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边上分别有点E 、G 、F ，且E F ⊥D G ．求证：EF =DG ．

A E

F

B

G

C D

【答案】略

【例12】 AD 是∆ABC 的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：AE =

1

AC ． 3

A E F

B

D

C

【答案】取EC 的中点G ，连接DG 易得DG ∥BE ，F 为AD 的中点，

1

所以AE =EG ，从而可证得：AE =AC ．

3

A E F

B

【例13】 如图，已知∆ABC

G C

D

（1）请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连结AD 、AE ，写出使此图中只存．．在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ．．．

（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB +AC >AD +AE ．

A

A

B D

⑴

E C

B C

【答案】（1）如图（1）相应的条件是：BD =CE ≠DE ；

两对面积相等的三角形分别是：∆ABD 和∆ACE ，∆ABE 和∆ACD ．

（2）（方法1）：如图（2），分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，两线交于F 点，DF 与AB 交于G 点．

F

A

B

D

⑵

E C

所以∠ACE =∠FDB ，∠AEC =∠FBD

在∆AEC 和∆FBD 中，又CE =BD ，可证∆AEC ≌∆FBD 所以AC =FD ，AE =FB 在∆AGD 中，AG +DG >AD

在∆BFG 中，BG +FG >FB ，所以AG +DG +BG +FG >AD +FB 即AB +FD >AD +FB ，所以AB +AC >AD +AE

（方法2）：如图（3）取BC 中点O ，连结AO 并延长AO 至F ，OF =AO ，

A

B G

O E C

F

⑶

连结BF ，DF ，延长AD 交BF 于G ，可证得∆BOF ≌∆COA ，∆DOF ≌∆EOA 所以AC =BF ，AE =DF ，在∆BGA 中，BG +AB >GD +AD

在∆GFD 中，GD +GF >FD ，所以BG +AB +GD +GF >GD +AD +FD 所以BG +AB +GF >AD +FD ，即BF +AB >AD +FD 所以AB +AC >AD +AE

【例14】 如图所示，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且∠AOC =60 ，求证：AC +BD ≥1．

A

C

O

B

D

【答案】考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系．

作CB '∥AB 且CB '=AB ，则四边形ABB 'C 是平行四边形，从而AC =BB '．

（教师可告诉学生：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

A

C

O

B

B‘

D

在∆BB 'D 中可得BB '+BD ≥B 'D ， 即AC +BD ≥B 'D ．

由于CD =AB =CB '=1，∠B 'CD =∠AOC =60 ，

所以∆B 'CD 是等边三角形，故B 'D =1，所以AC +BD ≥1．

【例15】 已知：矩形ABCD 内有定点M ，试证：AM 2+CM 2=BM 2+DM 2．

A

B

D

C

【答案】过点B 、点M 分别作AM 、AB 的平行线，交于点E ，连接CE ，ME ，BC 交ME 于点F ．

A

D

B

F E

C

∵AB ∥EM ，AM ∥BE （根据定义可知其为平行四边形） ∴AM =BE ，AB =EM ∵AB =CD ，AB ∥CD

∴EM ∥CD ，EM =CD （一组对边平行且相等的四边形为平行四边形或用全等知识解决） ∴ECDM 为平行四边形 ，∴CE =DM ∵EM ⊥BC

∴BM 2=BF 2+FM 2，CE 2=EF 2+CF 2，CM 2=CF 2+FM 2，BE 2=BF 2+EF 2 ∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2

【例16】 如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ∥ED ，AF ∥CD ，BC ∥FE ，AB =ED ，AF =CD ，

BC =FE ．又知对角线FD ⊥BD ，FD =24厘米，BD =18厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的

面积是多少平方厘米？

B

A

C

F

E

D

【答案】本题初看似乎无法下手求解，但仔细观察，题中彼此平行且相等的线段有三组，于是我们可将图

形平移，使其拼成一个长方形，且FD ⊥BD 、FD =24厘米、BD =18厘米的条件可以得到利用．为此，如图所示，将∆DEF 平移到∆BAG 的位置；将∆BCD 平移到∆GAF 的位置，则长方形BDFG 的面积等于六边形ABCDEF 的面积．易知长方形BDFG 的面积等于24⨯18=432（平方厘米），所以，六边形ABCDEF 的面积是432平方厘米．

G

A

B

C

F

E

D

【例17】 已知：AB ，CD 交于E ，AB 、CD 夹锐角为45°，若∠B +∠C =225°，AC =3，DB =4，AB =5，求

DC ．

C

【答案】平移CD 使C 的对应点为A ．

【例18】 如图，在等腰△ABC 中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有

AD =BC =CE =DE ．求证：∠BAC =100︒．

【答案】平移BC 使B 的对应点为D ．

C

【例19】 如图所示，在∆ABC 中，∠B =90︒，M 为AB 上的一点，且AM =BC ；N 为BC 上的一点，且

CN =BM ．连接AN 、CM 交于点P ，求证：∠APM =45︒．

C

N P

A M B

【答案】如图所示，过点C 作CK ∥MA 且使CK =MA ．

K C

N P

A M B

连接AK ，则AKCM 为平行四边形，

所以∠KCN =∠B =90︒，CK =AM =BC ． 又因为CN =BM ，

连接KN ，则∆NCK ≌∆MBC ， 故KN =CM =KA ． 而∠MCB =∠NKC ，

因此∠NKC +∠MCK =∠MCB +∠MCK =90︒， 则KN ⊥CM ，KN ⊥KA ， 所以∆KAN 为等腰直角三角形． 因为∠KAP =45︒， 故∠APM =∠KAP =45︒．

【例20】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为CA ，CB 延长线上的点，AE 与BD 相交于点F ．

（1）若BE ＝AC ，AD ＝CE ，求∠AFD 的度数；

33

（2）若BE ＝AC ，AD ＝CE ，求∠AFD 的度数．

33

C B

【答案】（1）将CA 平移到EG ，连接AG 、BG 、DG 、EG ，则四边形ACEG 是平行四边形 C

又∵∠C ＝90°，∴四边形ACEG 是是矩形 ∴∠CAG ＝∠AGE ＝∠BEG ＝90°，AG ＝CE ＝AD

又∵EG ＝AC ＝BE ，∴△ADG 和△EBG 都是等腰直角三角形 ∴∠AGD ＝∠BGE ＝45°，∴∠DGB ＝∠AGE ＝90° DG AG AG 又∵＝＝，∴△DGB ∽△AGE

BG EG EG

B

E ∴∠BDG ＝∠EAG

设AG 与BD 相交于点O ，则∠AOF ＝∠DOG ∴∠AFD ＝∠AGD ＝45° （2）∠AFD ＝30°，解法同（1） （选讲）

C B E

【例21】 图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和

△DEF ，其中∠B

=90︒，∠A =45︒，BC =∠F =90︒，∠EDF =30︒，EF =2．将△D E F 的

斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）． （1）请回答李晨的问题：若CD =10，则AD =__________； （2）如图2，李晨同学连接FC ，编制了如下问题，请你回答： ①∠FCD 的最大度数为__________； ②当FC ∥AB 时，AD =__________；

③当以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边时，AD =__________；

④△FCD 的面积S 的取值范围是__________．

C

A

备用图

B

图1

图2

（2014昌平一模）

【答案】（1）△

ABC 是等腰直角三角形，AB =BC =AC =12，CD =10，AD =2．

（2）①∠FCD ≤∠FED =60︒，当且仅当E 点与C 点重合时，有最大值．

②过点F 作FH ⊥AC 交AC 于H ．

依题可知，△FHC 为等腰直角三角形，△FHD 为30︒的直角三角形，EF =2，HE =

1，HF =DH =

3，CH =

AD =AC -CD =12-3-=9

③设AD =x ，CH =9-x ，

FC 2=FH 2+CH 2=2+(9-x) 2=AD 2+BC 2=x 2+2， 解得，x =

2．

3

1，4≤CD ≤

12，S ≤． ④S △FCD =CD ⋅FH =

2【例22】 阅读下列材料：

已知：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90︒，AC =4，BC =3，P 为AC 边上的一动点，以PB ，PA 为边构造平行四边形APBQ ，求对角线PQ 的最小值及此时

AP

的值是多少． AC

在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．

进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ 的最小值为3． 参考小明的做法，解决以下问题：

（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ 的长度最小时，

AP

=__________； AC

（2）如图3，延长PA 到点E ，使AE =nPA （n 为大于0的常数）．以PE ，PB 为边作平行四边形PBQE ，那么对角线PQ 的最小值为__________，此时

AP

=__________； AC

AP

=______．

AC

E =n P A （n 为大于0的常数）（3）如图4，如果P 为AB 边上的一动点，延长PA 到点E ，使A ，以PE ，

PC 为边作平行四边形PCQE ，那么对角线PQ 的最小值为_______，此时

（2014丰台二模）

【答案】（1）

1

； 2

1

； n +2124（3），．

55n +10

（2）3，

【例23】 在△ABC 中，AB =AC ，∠A =30︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，再将线段BD

平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上． （1）如图1，直接写出∠ABD 和∠CFE 的度数； （2）在图1中，证明：AE =CF ；

（3）如图2，连接CE ，判断△CEF 的形状并加以证明．

（2014顺义二模）

【答案】（1）∠ABD =15︒，∠CFE =45︒．

（2）证明：连结CD 、DF ．

∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段 BD ，

∴BD =BC ，∠CBD =60︒． ∴△BCD 是等边三角形． ∴CD =BD ．

∵线段BD 平移到EF ， ∴EF ∥BD ，EF =BD ．

∴四边形BDFE 是平行四边形，EF =CD ． ∵AB =AC ，∠A =30︒， ∴∠ABC =∠ACB =75︒．

∴∠ABD =∠ABC -∠CBD =15︒=∠ACD ∴∠DFE =∠ABD =15︒，∠AEF =∠ABD =15︒． ∴∠AEF =∠ACD =15︒．

∵∠CFE =∠A +∠AEF =30︒+15︒=45︒， ∴∠CFD =∠CFE -∠DFE =45︒-15︒=30︒． ∴∠A =∠CFD =30︒． ∴△AEF ≅△FCD ． ∴AE =CF ．

图1

（3）解：△CEF 是等腰直角三角形． 证明：过点E 作EG ⊥CF 于G ， ∵∠CFE =45︒， ∴∠FEG =45︒． ∴EG =FG ．

图2

B

∵∠A =30︒，∠AGE =90︒， 1

AE ． 2

∵AE =CF ，

∴EG =

1

∴EG =CF ．

21

∴FG =CF ．

2

∴G 为CF 的中点． ∴EG 为CF 的垂直平分线． ∴EF =EC ．

∴∠CEF =2∠FEG =90︒． ∴△CEF 是等腰直角三角形．

【例24】 在平面直角坐标系中，已知点A (-2, 0) ，点B (0, 4) ，点E 在OB 上，且∠OAE =∠OBA ．

（1）如图①，求点E 的坐标；

（2）如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A 'E 'O '，连接A 'B 、BE '．

①设AA '=m ，其中0

最小值时点E '的坐标；

②当A 'B +BE '取得最小值时，求点E '的坐标（直接写出结果即可）．

（2013天津中考）

【答案】（1）∵点A (-2, 0) ，点B (0, 4) ，

∴OA =2，OB =4．

∵∠OAE =∠OBA ，∠EOA =∠AOB =90︒， ∴△OAE ∽△OBA ，

OA OE 2OE

=，即=，解得OE =1， OB OA 42∴点E 的坐标为(0,1) ； ∴

（2）①如图，连接EE '．

由题设知AA '=m （0

在Rt △A 'BO 中，由A 'B 2=A 'O 2+BO 2，得A 'B 2=(2-m ) 2+42=m 2-4m +20． ∵△A 'E 'O '是△AEO 沿x 轴向右平移得到的， ∴EE '∥AA '，且EE '=AA '． ∴∠BEE '=90︒，EE '=m ．

又BE =OB -OE =3，

∴在Rt △BE 'E 中，BE '2=E 'E 2+BE 2=m 2+9， ∴A 'B 2+BE '2=2m 2-4m +29=2(m -1) 2+27． 当m =1时，A 'B 2+BE '2可以取得最小值， 此时，点E '的坐标是(1,1)．

②如图，过点A 作AB '⊥x ，并使AB '=BE =3． 易证△AB 'A '≅△EBE '， ∴B 'A =BE '，

∴A 'B +BE '=A 'B +B 'A '．

'+BA ''最小， 当点B 、A '、B '在同一条直线上时，AB

即此时A 'B +BE '取得最小值．

易证△AB 'A '∽△OBA '，

AA 'AB '3

==， A 'O OB 4

36

∴AA '=⨯2=，

77

6

∴EE '=AA '=，

7

6

∴点E '的坐标是(,1) ．

7∴

【例25】 已知∠ABC =90︒，D 是直线AB 上的点，AD =BC ．

（1）如图 1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证

明；

（2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、DC 相交于点D ，∠APD =45︒，求证：BD =CE ．

（2014朝阳二模）

【答案】（1）△CDF 是等腰直角三角形．

证明：∵∠ABC =90︒，AF ⊥AB ， ∴∠FAD =∠DBC ． ∵AD =BC ，AF =BD ， ∴△FAD ≅△DBC ． ∴FD =DC ．

∠1=∠2．

∵∠1+∠3=90︒， ∴∠2+∠3=90︒． 即∠CDF =90︒．

∴△CDF 是等腰直角三角形．

∵∠ABC =90︒，AF ⊥AB ， ∴∠FAD =∠DBC ． ∵AD =BC ，AF =BD ， ∴△FAD ≅△DBC ． ∴FD =DC ，∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90︒， ∴∠2+∠3=90︒． 即∠CDF =90︒．

∴△CDF 是等腰直角三角形． ∴∠FCD =∠APD =45︒． ∴FC ∥AE ．

∵∠ABC =90︒，AF ⊥AB ，

（2）过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DF 、CF ．

∴AF ∥CE ．

∴四边形AFCE 是平行四边形． ∴AF =CE ． ∴BD =CE ．

∠ABC =90︒，D 为平面内一动点，AD =a ，AC =b ，【例26】 在△ABC 中，其中a ，b 为常数，且a

△ABD 沿射线BC 方向平移，得到△FCE ，点A 、B 、D 的对应点分别为F 、C 、E ，连接BE ．

（1）如图 1，若点D 在△ABC 内部，请在图1中画出△FCE ；

（2）在（1）的条件下，若AD ⊥BE ，求BE 的长（用含a ，b 的式子表示）； （3）若∠BAC =α，则当线段BE 的长度最大时，∠BAD 的大小为___________；当线段BE 的长度最小时，∠BAD 的大小为___________（用含α的式子表示）．

（2014海淀二模）

【答案】（1）如图所示：

A

B （2）连接BF ．

∵将△ABD 沿射线BC 方向平移，得到△FCE ， ∴AD ∥EF ，AD =EF ；AB ∥FC ，AB =FC ． ∵∠ABC =90︒， ∴四边形ABCF 为矩形． ∴AC =BF ． ∵AD ⊥BE ， ∴EF ⊥BE ． ∵AD =a ，AC =b ， ∴EF =a

，BF =b ． ∴BE =

（3）180︒-α；α．

课后作业

【练1】 下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（ ）．

A ． B ． C ． D ．

【答案】B

(2,1) 、(5,1) ，C 的坐标分别为(3, 3) 、【练2】 如图，点A 、B 、将△ABC 先向下平移4个单位，得△A 1B 1C 1；

再将△A 1B 1C 1沿y 轴翻折，得△A 2B 2C 2． （1）画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2； （2）求线段B 2C 长．

y

（2011东城二模）

【答案】（1）A 1点的坐标为(3, -1) ，B 1点的坐标为(2, -3) ，C 1点的坐标为(5, -3) ；

A 2点的坐标为(-3, -1) ，B 2点的坐标为(-2, -3) ，

x

C 2点的坐标为(-5, -3) ．

（2）

利用勾股定理可求B 2C =

【练3】 在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的点，且EG ⊥FH ，求证：

EG =FH ．

A H D G

E B

F

C

【答案】略

【练4】 阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形，若△BOC ∠AOB =∠COD =90︒．的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．

A

图1 图2

小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E ，使得OE =CO ，连接BE ，BC 、OC+OD的长度为三边长的三角形 可证△OBE ≌△OAD ，从而得到的△BCE 即是以AD 、（如图2）．请你回答：图2中△BCE 的面积等于__________． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：

如图3，已知△ABC ，分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形ABDE 、AGFC 、BCHI ，连接EG 、FH 、ID ．

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长 度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC 的面积为1，则以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于__________．

（2012海淀一模）

【答案】解：△BCE 的面积等于2．

（1）如图（答案不唯一）：以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形是△EGM ．

D

I （2）以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于3．

【练5】 如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90︒，E 为BC 上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、

DE 、AD ，则△ADE 的形状是__________．

（2）如图2，在△ABC 中，∠A =90︒，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．

①当BD =AC ，CE =AD 时，在图中补全图形，猜想∠BPD 的度数并给予证明．

②当BD CE ==∠BPD 的度数__________． AC AD

D

A

图2B 图1E C （2014平谷二模）

【答案】（1）等腰直角三角形．

（2）①45︒．

证明：过B 点作FB ⊥AB ，且FB =AD ．

∴∠FBD =∠A =90︒，

∵BD =AC ，

∴△FBD ≅△DAC ．

∴∠FDB =∠DCA ，ED =DC

∵∠DCA +∠CDA =90︒，

∴∠FDB +∠CDA =90︒，

∴∠CDF =90︒，

∴∠FCD =∠CFD =45︒．

∵AD =CE ，

∴BF =CE ．

∵∠FBD =∠A =90︒，

∴∠FBD +∠A =180︒．

∴BF ∥EC ．

∴四边形BECF 是平行四边形．

∴BE ∥FC ．

∴∠BPD =∠FCD =45︒．

②60︒．

一轮复习课程·图形变换·平移·习题集·教师版 Page 21 of 21