旋轮线上钢球的研究

鋼珠在旋輪線軌道上運動的研究

李文堂

國立嘉義高中，嘉義市東區60069 摘要

用電腦繪圖，畫出旋輪線，再用電腦割字，在壓克力上割出旋

輪線，組合成旋輪線軌道。用積

分法推導鋼珠在軌道上簡諧運

動的週期，質心速度(v)對高度(h)

的關係式，由v -h 及t-h 關係圖可求得鋼珠和軌道的摩擦係

數。

原理

半徑r 的輪子在水平面上純滾動時，輪緣上一點的軌跡為旋輪線。

x =r φ-r sin φ…(1)

y =r -r cos φ…(2)

圖一：旋輪線

由鋼珠在軌道上受力及簡諧運動公

式積分可得週期T

T =2π

m k =4π7r 5g

…(3) 鋼珠半徑R ，軌道距離d ，鋼珠在軌道上純滾動的有效半徑r

R 2-d 2r =R cos β=R /4

R 2

…(4) 因此，週期修正為：

T =4πr 2+5cos 2β

5g cos 2

β

…(5) 由高h 處純滾動至底端的質心速度v

v =10gh cos 2β2+5cos 2β

…(6)

鋼珠和軌道的靜摩擦係數μs

μ2tan θcos β

s =

2+5cos 2

β

…(7) 器材製作

用Sigma 繪圖軟體畫出旋輪線，用“電腦割字“割成旋輪線軌

道(A)完整軌道半徑9.4cm ，軌

距1.04cm ，(B)半旋輪線軌道半徑17.6cm ，軌距1.04cm 。

圖二：旋輪線曲面 實驗及討論

1. 半徑1.11cm 的鋼珠在完整的旋輪線軌道純滾動來回超過75次，任選

10次用碼表量得平均週期1.514秒和由公式(5)計算的結果1.510秒，誤差-0.26%。

2. 半旋輪線軌道固定在桌緣，軌道出口上方放光電閘，出口正下方置白紙

上方放複寫紙。

啟動光電計時器，同並算出質心速度。

圖三：實驗裝置

3.

0.60

0.55

)

(s e i m T 0.50

0.45

5.0

7.0

9.0

11.013.0

15.0

h (cm)

圖四：鋼珠的t-h 圖 半徑1.11cm 及0.75cm 兩鋼珠在h 小於10.6cm 及10.1cm 時，因純滾動所以有等時性，超過此臨界高度因有滑

動現象，不再等時，將h 代入公式(2)得θ=33.28∘代入公式(7)得靜摩擦係數0.20。 4.

140130

s ) /120m (c y 110t i c o l

100e V 9080702.0

2.5

3.0

3.5

4.0

h (cm )

圖五：鋼珠的v -h 圖 圖五的斜率分別為35.9及33.3和公式(6)計算得36.0及33.4相近，臨界高度為10.6cm 及10.1cm ，亦可得靜摩擦係數0.20。 結論

1. 鋼珠在旋輪線軌道上做純滾動的簡諧運動時，有等時性，即週期和振幅無關。

2. 鋼珠由旋輪線軌道上釋放到底端，若純滾動v -h 圖為直線，t-h 圖為水平線，滑動兼滾動時，則不再為線性，找出此臨界點可算出鋼珠和軌道的靜摩擦

參考資料

1. Myung-hyun, Yang-kie and Sang Bub Lee,"Development of an apparatus for two-dimensional collision experiment using a cycloidal slide," Am. J. Phys. 69, 1187-1190 (November 2001).

2. R. A. Bachman, “Sphere rolling down a grooved track, ” Am. J. Phys. 53, 765-767 (August 1985).