数值分析简明教程课后习题答案

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0.1算法

1、 （p.11，题1）用二分法求方程xx10在[1,2]内的近似根，要求误差不

3

超过10-3.

【解】 由二分法的误差估计式|x*xk|

2k11000.两端取自然对数得k

ba1

103，得到k1k1

22

3ln10

18.96，因此取k9，即至少需

ln2

x

2、（p.11，题2） 证明方程f(x)e10x2在区间[0,1]内有唯一个实根；使用

1

二分法求这一实根，要求误差不超过102。

2

【解】 由于f(x)ex10x2，则f(x)在区间[0,1]上连续，且

f(0)e0100210，f(1)e110

12e80，即f(0)f(1)0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间[0,1]上至少有一个零点.

又f'(x)ex100，即f(x)在区间[0,1]上是单调的，故f(x)在区间[0,1]内有唯一实根.

ba11

由二分法的误差估计式|x*xk|k1k1102，得到2k100.

222

2ln10

23.32196.6438，因此取k7，即至少需二分两端取自然对数得k

ln2

0.2误差

1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值x12.7，x22.71，x2=2.71，x32.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：

1

101，所以x12.7有两位有效数字； 211

因为|ex2|0.008280.0510，所以x22.71亦有两位有效数字；

213

因为|ex3|0.000280.000510，所以x32.718有四位有效数字；

2

因为|ex1|0.018280.05

r1r2

|ex1|0.05

1.85%； x12.7|ex2|0.05

1.85%； x22.71|ex3|0.0005

0.0184%。 x32.718

r3

评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；

（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.

2．（p.12，题9）设x12.72，x22.71828，x30.0718均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。

【解】 10.005，r1

1

x1



0.005

1.84103； 2.72

0.000005

1.84106；

2.71828

20.000005，r2

2

x2

30.00005，r3

3

x3

0.00005

6.96104；

0.0718

评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.

3．（p.12，题10）已知x11.42，x20.0184，x3184104的绝对误差限均为

0.5102，问它们各有几位有效数字？

【解】 由绝对误差限均为0.5102知有效数字应从小数点后两位算起，故x11.42，有

三位；x20.0184有一位；而x31841040.0184，也是有一位。

1.1泰勒插值和拉格朗日插值

1、（p.54，习题1）求作f(x)sinx在节点x00的5次泰勒插值多项式p5(x)，并计算

p5(0.3367)和估计插值误差，最后将p5(0.5)有效数值与精确解进行比较。

(x)cosx；f(2)(x)sinx；f(3)(x)cosx；f(4)(x)sinx；f(5)(x)cosx；f(6)(x)sinx，所以

f(2)(x0)f(5)(x0)(1)2

f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)5 p5(x)

2!5!

f(2)(0)2f(5)(0)5(1)

f(0)f(0)xxx

2!5!

11xx3x5

3!5!|f(6)()||sin()|1

(xx0)6(xx0)6x6，若x0.5，则 插值误差：R5(x)

6!6!6!

0.336730.33675

0.3303742887，而p5(0.3367)0.3367

3!5!

0.33676

R5(0.3367)2.021060.5105，精度到小数点后5位，

6!

)sin(0.3367)0.330374191相比故取p5(0.3367)0.33037，与精确值f(0.3367

【解】由f(x)sinx，求得f较，在插值误差的精度内完全吻合！

2、（p.55，题12）给定节点x01,x11,x23,x34，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：

（1）f(x)4x3x2； （2）f(x)x2x

4

3

3

(1)

f(4)()3【解】依题意，n3，拉格朗日余项公式为 R3(x)(xxi)

4!i0

（1）f

(4)

(x)0 → R3(x)0；

(4)

（2）因为f(x)4!，所以

f(4)()

R3(x)(x1)(x1)(x3)(x4)(x1)(x1)(x3)(x4)

4!

)的近3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367

似值并估计误差。

f(4)()3

【解】依题意，n3，拉格朗日余项公式为 R3(x)(xxi) 4!i0

（1） 线性插值

因为x0.3367在节点x0和x1之间，先估计误差

R1(x)

max(xx0)(x1x)f''()sin()

(xx0)(xx1)

(xx0)(x1x) 2!22

0.0121104；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。

22

0)(x-x1)

P1(x) P1(x) 

01

x

xx0xx11

(xx0)sin(x1)(x1x)sin(x0) sin(x0)sin(x1)

x0x1x1x0x1x0

1

(0.33670.32)sin(0.34)(0.340.3367)sin(0.32) 0.021

0.0167sin(0.34)0.0033sin(0.32) 

0.020.3304

（2） 抛物线插值 插值误差：

R2(x)

f'''()cos()

(xx0)(xx1)(xx2)(xx0)(x1x)(xx2) 3!6

max(xx0)(x1x)(x2x)30.0131106

662

yy=(x-x0)(x-x1)(x-x2)抛物线插值公式为：

012

x

P2(x)



(xx0)(xx2)(xx1)(xx0)(xx1)(xx2)

sin(x0)sin(x1)sin(x2)

(x0x1)(x0x2)(x1x0)(x1x2)(x2x1)(x2x0)



(x1x)(xx0)1(x1x)(x2x)

sin(x)(xx)(xx)sin(x)sin(x)00212

220.022

P2(0.3367)

105

3.8445sin(0.32)38.911sin(0.34)2.7555sin(0.36) 

0.022

105

3.8445sin(0.32)38.911sin(0.34)2.7555sin(0.36) 0.33037439 2

0.02

经四舍五入后得：P2(0.3367，与sin(0.3367)0.330374191精确值相比)0.330374较，在插值误差范围内完全吻合！

1.3分段插值与样条函数

x3x21、（p.56，习题33）设分段多项式 S(x)3

2

2xbxcx1

是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.

【解】依题意，要求S(x)在x=1节点

0x1

1x2

S(1)1312213b12c11S(1)，

即：bc1(1)

''

一阶导数连续： S(1)312216122b1cS(1)，

即：2bc1(2) 解方程组（1）和（2），得b2,c3，即

函数值连续：

导数亦连续。

x3x20x1

S(x)3

2

1x22x2x3x1

''''

由于S所以S(x) 在x=1节点的二阶(1)321262122S(1)，

2、 已知函数y

1

的一组数据，x00,x11,x22和y01,y10.5,y20.2，2

1x

（1）求其分段线性插值函数；

（2）计算f(1.5)的近似值，并根据余项表达式估计误差。

【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为S1(x)和S2(x)，利用拉格朗日线性插值公式，求得

S1(x)

xx0xx1x1x0

y0y110.50.5x1；

x0x1x1x00110xx2xx1x2x1

y1y20.50.20.3x0.8

x1x2x2x11221

1

0.[1**********]，而 S2(1.5)0.31.50.80.35，2

11.5

S2(x)

（2）f(1.5)

实际误差为：|f(1.5)S2(1.5)|0.04230.05。

由f

(1)

2x

(x),22

(1x)

f

(2)

2(13x2)(x),23

(1x)

f

(3)

24x(1x2)

,可(x)24

(1x)

知M2f

(2)

(1)0.5，则余项表达式

M|f(2)()|

R(x)|(x1)(x2)|20.520.540.06250.5

2!2!

1.4 曲线拟合

1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：

2x4y113x5y3



x2y62xy7

Q(x,y)(2x4y11)2(3x5y3)2(x2y6)2(2xy7)2，

【解】 构造残差平方和函数如下：

分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：

Q(x,y)

0： 6xy17xQ(x,y)

0： 3x46y48y

解方程组（1）和（2），得

(1)， (2)，

648317

1.24176

273

x

461748

3.04029,

273

y

2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如yabx2 的多项式，使之与下列数据相拟合。 【解】令Xx，则yabX为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得

555

2

5abXi5abxiyi(1)i1i1i1

555555

aXibXi2axi2bxi4Xiyixi2yii1i1i1i1i1i1

2

；

(2)

依据上式中的求和项，列出下表

将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得

5a05327b271.4



b369321.55327a07277699

a

(1)(2)

271.47277699369321.5[1**********].1

0.97258；

572776995327[1**********]5369321.55327271.4400859.7b0.05004；

572776995327[1**********]

即：y0.972580.05004x。

2

2.1 机械求积和插值求积

1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：

(1)f(x)dxA0f(h)A1f(0)A2f(h)；

h1

h

113

(2)f(x)dxA0f()A1f()A2f()；

042411

(3)f(x)dxf(0)A0f(x0)。

04

【解】 （1）令f(x)1,x,x2时等式精确成立，可列出如下方程组：



(1)A0A1A22h



(2) A0A20

2AAh(3)20

3

hh4h

解得：A0A2,A1h，即：f(x)dx[f(h)4f(0)f(h)]，可以

h333

验证，对f(x)x3公式亦成立，而对f(x)x4不成立，故公式（1）具有3次代数精度。

（2）令f(x)1,x,x2时等式精确成立，可列出如下方程组：

(1)A0A1A21



(2) A02A13A22

3A12A27A16(3)120

1211113

,A1，即：f(x)dx[2f()f()2f()]，可以

0333424

验证，对f(x)x3公式亦成立，而对f(x)x4不成立，故公式（2）具有3次代数精度。

解得：A0A2

3

A04

（3）令f(x)1,x时等式精确成立，可解得：

2x0

3

11322

即： f(x)dxf(0)f()，可以验证，对f(x)x公式亦成立，而对

0443

f(x)x3不成立，故公式（3）具有2次代数精度。

113

2、（p.95，习题6）给定求积节点x0,x1, 试构造计算积分If(x)dx的插值型

044

求积公式，并指明该求积公式的代数精度。

【解】依题意，先求插值求积系数：

3

1

1xx1131dx2(x2x)1； A0dx0xx013240201

44

x

1

1

1xx11120dx2(xx)1； A1dx0xx031240210

44

x

插值求积公式：

1



f(x)dxAkf(xk)

k0

n

1113f()f() 2424

①当f(x)1，左边=



1

01

11

f(x)dx1；右边=111；左=右；

221

f(x)dxx2

2

1

②当f(x)x，左边=





111131

；右边=；左=右； 224242

③当f(x)x2，左边=



1

1119511

；右边=左≠右； f(x)dxx3；

[1**********]

1

故该插值求积公式具有一次代数精度。

2.2 梯形公式和Simpson公式

1、（p.95，习题9）设已给出f(x)1exsin4x的数据表，

1

分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分I【解】 （1）用复化梯形法：



f(x)dx的近似值。

ba1

0.25n4

n1n1

hh

T5[f(xk)f(xk1)][f(a)2f(xk)f(b)]

2k02k1

0.25T5{f(0.00)2[f(0.25)f(0.50)f(0.75)]f(1.00)}

2

T50.125[1.000002(1.655341.551521.06666)0.72159]a0,b1,n5,hT51.28358

（2）用复化辛普生法：

a0,b1,n2,h

n1

ba1

0.5n2

n1n1

hh

S2f(xk)4f(x1)f(xk1)][f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]

kk6k06k0k122

0.5

{f(0.00)4[f(0.25)f(0.75)]2f(0.50)f(1.00)}61

S2[1.0000010.8883.103040.72159]1.30939

12S2

2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分I

1x

105，，为使截断误差不超过edx0

2

1

问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？

【解】（1）用复化梯形法， a0,b1,f(x)f'(x)f''(x)ex，设需划分n等分，则其截断误差表达式为：

(ba)3(10)3

|RT||ITn|maxf''()e； 23

12n12n

依题意，要求|RT|

1

105，即 2

e1e10552

10n212.849，可取n213。 2

2612n

（2）用复化辛普生法， a0,b1,f(x)f'(x)f''''(x)ex，截断误差表达式为：

(ba)5(10)5e

； |RS||ISn|maxf''''()e444

180(2n)2880n2880n

依题意，要求|RS|

1

105，即 2

e1e10554

10n3.70666，可取n4，划分8等分。

14402880n42

2.3 数值微分

1、（p.96，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式

1

[3f(x0)4f(x1)f(x2)]2h1

f'(x1)[f(x0)f(x2)]

2h1

f'(x2)[f(x0)4f(x1)3f(x2)]

2hf'(x0)

(51)(52)(53)

【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为

f(n1)(k)n

R(xk)f'(xk)p'(xk)(xkxj)

(n1)!j0

jk

由三点公式(51)、(52)和(53)可知，n2,hx1x0x2x1，则

f(21)(0)2f'''(0)f'''(0)2

R(x0)(x0xj)(x0x1)(x0x2)h

(21)!3!3j1

f'''(0)2f(21)(1)2f'''(1)

R(x1)(x1xj)(x1x0)(x1x2)h

(21)!3!6j0

j1

f(21)(2)2f'''(2)f'''(2)2

R(x2)(x2xj)(x2x0)(x2x1)h

(21)!3!3j0

j2

2、（p.96，习题25）设已给出f(x)

1

的数据表，

2

(1x)

试用三点公式计算f'(1.0),f'(1.1),f'(1.2)的值，并估计误差。

【解】已知x01.0,x11.1,x21.2,hx1x0x2x10.1，用三点公式计算微商：

11[3f(1.0)4f(1.1)f(1.2)][30.250040.22680.2066]0.24702h20.111

f'(1.1)[f(1.0)f(1.2)][0.25000.2066]0.2170

2h20.111

f'(1.2)[f(1.0)4f(1.1)3f(1.2)][0.250040.226830.2066]0.1870

2h20.112624

， f(x);f'(x);f''(x);f'''(x)2345

(1x)(1x)(1x)(1x)f'(1.0)

用余项表达式计算误差

R(1.1)

f'''(0)2240.12

R(1.0)h0.0025

33(11.0)5f'''(1)2240.12

3!

h

3!(11.0)5

0.00125

f'''(2)2240.12

R(1.2)h0.04967 5

33(11.1)

3、（p.96，习题26）设f(x)sinx，分别取步长h0.1,0.01,0.001，用中点公式（52）计算f'(0.8)的值，令中间数据保留小数点后第6位。 【解】中心差商公式：f'(a)

f(ah)f(ah)f'''(a)2

h。可，截断误差：R(h)

2h3!

见步长h越小，截断误差亦越小。

(1) h0.1,x00.8h0.7,x20.8h0.9,则

11[sin(0.9)sin(0.7)][0.7833270.644218]0.695545； 2h20.1

(2) h0.01,x00.8h0.79,x20.8h0.81,则

11

f'(0.8)[sin(0.81)sin(0.79)][0.7242870.710353]0.6967

2h20.01

(3) h0.001,x00.8h0.799,x20.8h0.801,则

f'(0.8)

f'(0.8)

11[sin(0.801)sin(0.799)][0.7180520.716659]0.69652h20.01

，可见当h0.01时得到的误差最小。在而精确值f'(0.8)cos(0.8)0.6967067

h0.001时反而误差增大的原因是f(0.8h)与f(0.8h)很接近，直接相减会造成有效

数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。

3.1 Euler格式

1、（p.124，题1）列出求解下列初值问题的欧拉格式

(1)y'x2y2

(0x0.4)，y(0)1，取h0.2；

yy

(2)y'

xx

2

(1x1.2)，y(0)1，取h0.2；

2222

【解】 （1）yn1ynhy'nynh(xnyn)yn0.2(xnyn)；

（2）yn1

22

ynynyny

ynh(2)yn0.2(2n)。

xnxnxnxn

2、（p.124，题2）取h0.2，用欧拉方法求解初值问题y'yxy2(0x0.6)，

y(0)1。

22

【解】欧拉格式：yn1ynhy'nynh(ynxnyn)yn0.2(ynxnyn)；化2简后，yn10.8yn0.2xnyn，计算结果见下表。

3、（p.124，题3）取h0.1，用欧拉方法求解初值问题y'

1

2y2(0x4)，2

1x

y(0)0。并与精确解y

2x1

比较计算结果。

1x2

【解】欧拉格式：yn1ynhy'nynh(

1122

2y)y0.2(2yn)；nn22

1xn1xn

化简后，yn1yn0.4yn

2

0.2

，计算结果见下表。 2

1xn

1、（p.124，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。

【解】 因为y'f(x,y)yxy2(0x0.6)，h0.2，且y(0)1，则改进的欧拉公式：



22

ypynhf(xn,yn)ynh(ynxnyn)0.8yn0.2xnyn22

ycynhf(xn,yp)ynh(ypxnyp)yn0.2(ypxnyp)。 (ypyc)yn1

2

计算结果见下表。

3.3 龙格-库塔方法

1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题y'83y，y(0)2，试取步长h0.2计算y(0.4)的近似值，要求小数点后保留4位数字。

【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：

h

yn1yn(K12

K22K3K4)

6

K1f(xn,yn)

h

； Kf(x,yK1)21n

n22

hK3f(x1,ynK2)

n22

Kf(x,yhK)

n1n34

列表求得y(0.4)如下：

4.1 迭代法及收敛定理

1、（p.153，题1）试取x01，用迭代公式xk1

3

2

20

2xk2xk10

(k0,1,2,)，求

方程x2x10x200的根，要求准确到10。

【解】 迭代计算结果列于下表

3

因为|x9x8|0.00082103，所以xx91.36906。 2、（p.153，题2）证明方程x代过程xk1

1

cosx有且仅有一实根。试确定这样的区间[a,b]，使迭2

1

cosxk对x0[a,b]均收敛。 2

1111

【证明】设：g(x)cosx，则当xR时，g(x)cosx[,]，且一阶导数

2222

1111

g'(x)sinx连续， |g'(x)||sinx|1，所以迭代过程xk1cosxk对

2222

1

（压缩映像定理），方程xcosx有且仅有一实根。 x0R均收敛。

2

3、（p.153，题4）证明迭代过程xk1

xk1

对任意初值x01均收敛于2。 

2xk

g(x)【证明】设：

x1x1x1

，对于任意x1，因为2所以g(x)2。2，2x2x2x

一阶导数g'(x)

x111121， 根据压缩映像定理，迭代公式xk1k对任意2x22xk



初值x01均收敛。假设limxkx，对迭代式xk1

k

xk1

两边取极限，则有

2xk

x1x，则x

2x





2

2，解得x2，因x2不在x1范围内，须舍去。

故x



2。

4.2 牛顿迭代法

1、（p.154，题17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：

（1）x3x10，x02 （2）x3xe20，x01

【解】 （1）设f(x)x33x1，则f'(x)3x23，牛顿迭代公式：

2

x

3

xk1

33

f(xk)xk3xk12xk1

xkxk22

f'(xk)3xk33(xk1)

(k0,1,2,)，迭代计算过

因为|x3x2|0.0000610，所以xx31.879。

22

f(xk)xk3xkexk2xkexk(xk1)2

xkxk

f'(xk)2xk3exk2xk3exk

（2）设f(x)x23xex2，则f'(x)2x3ex，牛顿迭代公式：

xk

1

(k0,1,2,)

因为|x3x2|0.0000010，所以xx40.2575。

3

2、（p.154，题18）应用牛顿法于方程xa0，导出求立方根a(a0)的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。

【证明】（1）设：f(x)x3a，则f'(x)3x2，对任意x0，牛顿迭代公式

xk1

33

f(xk)xka2xka

k0,1,2, xkxk22

f'(xk)3xk3xk

2x3a

(x0) （2）由以上迭代公式，有：limxkxa。设 g(x)2k3x



g(x)x；g'(x)

2a2a

(13)0；g''(x)43xxax



xa

2

a

。

xk1xg(xk)g(x)g'(x)(xkx)

g''()

(xkx)2 2!

xk1xg''(x)1

，可见该迭代公式具有二阶收敛性。 limk(xx)22!ak

5.1 线性方程组迭代公式

1、（p.170，题1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：果有3位有效数字。

3x1x22

，要求结

x12x21

1(k)21(k1)(k)

xx(2x)122333

【解】 雅可比迭代公式：，迭代计算结果列于下表。

111

x(k1)x(k)(1x(k))

211

x1x10.600;x2x20.200；

由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为

1

103。 2

1(k)21(k1)(k)

xx(2x22)1333

高斯-赛德尔迭代公式：，迭代计算结果列于下表。

x(k1)1x(k1)11(1x(k))212

x1x10.600;x2x20.200；

2、（p.171，题7）取1.25，用松弛法求解下列方程组，要求精度为

1

104。 2

4x13x216

3x14x2x320 x4x12

32

【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：

3(k)~(k1)

xx241

4



3~(k)1(k)9(k)1(k)~(k1)

xxx5x2x32213

44164

9(k)1(k)5~(k1)1~(k)

xx3x2x323

464162

引入松弛因子，得

(1)

1(k)5~(k1)(k1)(k)(k1)~x(1)xxx1x1

111

44



1(k)5~(k1)(k1)(k)

(1)x2~x2(k1)x2x2x2

44

1(k)5~(k1)(k1)(k)(k1)~x(1)xxx3x3

333

44

将方程组（1）代入（2），并化简

(2)

1(k)15(k)(k1)

xx1x251

416



(k1)29(k)5(k)5

x2x3x2

64162

45(k)11(k)25(k1)

xx2x33

256648

(3)

(17)

迭代解：x1x11.5001,(17)

x2x23.3333,(17)

x3x32.1667.

精确解：x1

3

1.5,2

x2

10

3.3333,3

x3

13

2.1667. 6

5.1 线性方程组迭代公式

1、（p.170，题2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。

10x1x35x47x8x3x11123



3x2x8xx232341x12x22x37x417

【解】（1）雅可比迭代公式：

(k1)x1x(k1)2x(k1)3(k1)x41(k)1(k)7x3x41021013(k)11x1(k)x3

888 (1) 3(k)1(k)1(k)23x1x2x4848812(k)2(k)17x1(k)x2x3

7777

001427

11038027

120

，GJ180

01GJ8

4817





7

1，迭代收敛。 8

（2）高斯-赛德尔迭代公式：

(k1)x1x(k1)2x(k1)3(k1)x41(k)1(k)7x3x41021013(k)11x1(k1)x3

888 (2) 31(k1)1(k)23x1(k1)x2x4848812(k1)2(k1)17x1(k1)x2x3

7777

将方程组（1）带入（2），经化简后，得：

(k1)x1x(k1)2x(k1)3(k1)x41(k)1(k)7x3x41021031(k)1(k)117x3x4801680 (3) 19(k)19(k)787x3x4[1**********](k)39(k)3991x3x4[1**********]

11

102311

0

8016，G

GS

19190

320648939011202240



GGS



000





3

1，迭代收敛。 5

2、（p.171，题5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：

x12x21

（1）

3xx221

x15x23x32

（2）5x12x2x34

2xx5x11

231

【解】（1）雅可比迭代：

(k1)(k)

2x21x1

，G(k1)(k)

3x12x2



31,不收敛。

高斯-赛德尔迭代：

(k1)(k)(k1)(k)2x212x21x1x1

或 (k1) ，G(k1)(k1)(k)

3x126x15x2x2



61,不收敛。

（2）雅可比迭代：



(k)(k)

x1(k1)5x23x32

(k)5(k)1(k)

x2x1x32，G

22

(k1)2(k)1(k)11x3x1x2555

高斯-赛德尔迭代：



81,不收敛。

(k1)(k)(k)(k)(k)x1x1(k1)5x25x23x323x32

25(k)(k)5(k1)1(k)(k)(k)

或 xxx2xx28x33 2213

222

1(k)14(k)18(k1)2(k1)1(k1)11(k1)

xxxxx2x33123555255



81,不收敛。

3、（p.171，题6）加工上述题5的方程组，比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程

的收敛性。

【解】加工后结果如下：

3x1x22（1）

x2x121

5x12x2x34

（2）x15x23x32

2xx5x11

231

方程组（1）的雅可比迭代：

1(k)2(k1)

3xx2133

，GJ

x(k1)1x(k)12122

方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：





1

1，迭代收敛。 2

1(k)2(k1)

3xx2133

，GGS

x(k1)1x(k)22163

方程组（2）的雅可比迭代：





1

1，迭代收敛。 3

(k1)2(k)1(k)4

x2x3x1

555



1(k)3(k)2(k1)

xx1x3，GJ2

555

(k1)2(k)1(k)11

x1x2x3

555

方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：





4

1，迭代收敛。 5

(k1)2(k)1(k)4

x2x3x1

555



2(k)16(k)6(k1)

xx2x3，GGS2

252525

6(k)321(k1)18(k)

xxx323

125125125





18

1，迭代收敛。 25

6.1 高斯消元法

1、（p.198，题2）用选列主元高斯消元法求解下列方程组：

x1x2x34



（1）5x14x23x312

2xxx11

231

2x13x25x35



（2）3x14x27x36

x3x3x5

231

541114543121r1r2r1r251

【解】 （1）5431211140

5211112111121

312

28 55111



543122r1r354312543125r355r3

012801280128

13179211110131790555

543121r2r35431213r354312r2r31325

013179013179013179

252501280011001313

x794x3x312463(1)12

6,x123. 所以： x31，x23

1355

235534762r1r234763476

r1r23113r2

（2）34762355010113

331335133513351335



1

r1r33

30

0

41537123



347663476

3r3r2r3301130529 

011330529



34765r33476305290529

0050012

2x394x27x3641726

1,x14. 所以： x32，x2

535

1

r2r35

2、（p.199，题9）计算下列三阶坡度阵的条件数：



11（1）

213

1

21314

131。 415

1

21314

131

，先求A-1。 415



00

10

01





11

【解】令：A

213



11213

1

[1**********]

11

10011123

2r1r2111

0100

12122

1110001345



112r2013

1

r2r312

12114

11

1001r1r21323

161200111

0001

512121

1

10013180r3

16120011

0011

1806

1

1003

16120

41

014531210

1

1003

16120



130180180





10

0

1210

1r3r20011

1001r3r11096060323

03619218001036192180 

13018018000130180180



1

r2r12

9363036301009

，所以 A136192180

01036192180

0013018018030180180

1

A

最后求得条件数为：cond(A)A





11

408748 6