第3章 剪切和挤压的实用计算

第3章 剪切和挤压的实用计算

3.1 剪切的概念

在工程实际中，经常遇到剪切问题。剪切变形的主要受力特点是构件受到与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对外力的作用(图3-1a) ，构件的变形主要表现为沿着与外力作用线平行的剪切面(m -n 面) 发生相对错动(图3-1b) 。

图3-1

工程中的一些联接件，如键、销钉、螺栓及铆钉等，都是主要承受剪切作用的构件。构件剪切面上的内力可用截面法求得。将构件沿剪切面m -n 假想地截开，保留一部分考虑其平衡。例如，由左部分的平衡，可知剪切面上必有与外力平行且与横截面

F Q 称为剪力，相切的内力F Q (图3-1c) 的作用。根据平衡方程∑Y =0，可求得F Q =F 。

剪切破坏时，构件将沿剪切面(如图3-la 所示的m -n 面) 被剪断。只有一个剪切面的情况，称为单剪切。图3-1a 所示情况即为单剪切。

受剪构件除了承受剪切外，往往同时伴随着挤压、弯曲和拉伸等作用。在图3-1中没有完全给出构件所受的外力和剪切面上的全部内力，而只是给出了主要的受力和内力。实际受力和变形比较复杂，因而对这类构件的工作应力进行理论上的精确分析是困难的。工程中对这类构件的强度计算，一般采用在试验和经验基础上建立起来的比较简便的计算方法，称为剪切的实用计算或工程计算。

3.2 剪切和挤压的强度计算

3.2.1 剪切强度计算

剪切试验试件的受力情况应模拟零件的实际工作情况进行。图3-2a 为一种剪切试验装置的简图，试件的受力情况如图3-2b 所示，这是模拟某种销钉联接的工作情形。当载荷F 增大至破坏载荷F b 时，试件在剪切面m -m 及n -n 处被剪断。这种具有两个剪切面的情况，称为双剪切。由图3-2c 可求得剪切面上的剪力为

F Q =F 2

图3-2

由于受剪构件的变形及受力比较复杂，剪切面上的应力分布规律很难用理论方法确定，因而工程上一般采用实用计算方法来计算受剪构件的应力。在这种计算方法中，假设应力在剪切面内是均匀分布的。若以A 表示销钉横截面面积，则应力为

(3-1) A

τ与剪切面相切故为切应力。以上计算是以假设“切应力在剪切面上均匀分布”为基τ=F Q 础的，实际上它只是剪切面内的一个“平均切应力”，所以也称为名义切应力。

当F 达到F b 时的切应力称剪切极限应力，记为τb 。对于上述剪切试验，剪切极限应力为

τb =

将τb 除以安全系数n ，即得到许用切应力 F b 2A

[τ]=τb

n

这样，剪切计算的强度条件可表示为

τ=F Q

A ≤[τ] (3-2)

3.2.2 挤压强度计算

一般情况下，联接件在承受剪切作用的同时，在联接件与被联接件之间传递压力的接触面上还发生局部受压的现象，称为挤压。例如，图3-2b 给出了销钉承受挤压力作用的情况，挤压力以F bs 表示。当挤压力超过一定限度时，联接件或被联接件在挤压面附近产生明显的塑性变形，称为挤压破坏。在有些情况下，构件在剪切破坏之前可能首先发生挤压破坏，所以需要建立挤压强度条件。图3-2a 中销钉与被联接件的实际挤压面为半个圆柱面，其上的挤压应力也不是均匀分布的，销钉与被联接件的挤压应力的分布情况在弹性范围内如图3-3a 所示。

图3-3

与上面解决抗剪强度的计算方法类同，按构件的名义挤压应力建立挤压强度条件

σbs =F bs ≤[σbs ] (3-3) A bs

式中A bs 为挤压面积，等于实际挤压面的投影面(直径平面) 的面积，见图3-3b 。σbs 为挤压应力，[σbs ]为许用挤压应力。

由图3-2b 可见，在销钉中部m -n 段，挤压力F bs 等于F ，挤压面积A bs 等于2td ；在销钉端部两段，挤压力均为F ，挤压面积为td 。 2

许用应力值通常可根据材料、联接方式和载荷情况等实际工作条件在有关设计规范中查得。一般地，许用切应力[τ]要比同样材料的许用拉应力[σ]小，而许用挤压应力则比[σ]大。

对于塑性材料 [τ]=(0. 6~0. 8)[σ]

[σbs ]=(1. 5~2. 5)[σ]

对于脆性材料 [τ]=(0. 8~1. 0)[σ]

[σbs ]=(0. 9~1. 5)[σ]

本章所讨论的剪切与挤压的实用计算与其它章节的一般分析方法不同。由于剪切和挤压问题的复杂性，很难得出与实际情况相符的理论分析结果，所以工程中主要是采用以实验为基础而建立起来的实用计算方法。

例3-1 图3-4中，已知钢板厚度t =10m m ，其剪切极限应力τb =300MPa 。若用冲床将钢板冲出直径d =25mm 的孔，问需要多大的冲剪力F

?

图3-4

解 剪切面就是钢板内被冲头冲出的圆柱体的侧面，如图3-4b 所示。其面积为

A =πdt =π⨯25⨯10m m 2=785m m 2

冲孔所需的冲力应为

F ≥A τb =785⨯10-6⨯300⨯106N =236kN

例3-2 图3-5a 表示齿轮用平键与轴联接(图中只画出了轴与键，没有画齿轮) 。

已知轴的直径d =70mm ，键的尺寸为b ⨯h ⨯l =20⨯12⨯100mm ，传递的扭转力偶矩T e =2kN ⋅m ，键的许用应力[τ]=60MP a ，[σbs ]=100MPa 。试校核键的强度。

图3-5

解 首先校核键的剪切强度。将键沿n -n 截面假想地分成两部分，并把n -n 截面以下部分和轴作为一个整体来考虑(图3-5b) 。因为假设在n -n 截面上的切应力均匀分布，故n -n 截面上剪力F Q 为

F Q =A τ=bl τ

对轴心取矩，由平衡条件∑M o =0，得

F Q d d =bl τ=T e 22

故

2T e 2⨯2⨯103

τ==Pa =28. 6MPa

可见该键满足剪切强度条件。

其次校核键的挤压强度。考虑键在n -n 截面以上部分的平衡(图3-5c) ，在n -n 截面上的剪力为F Q =bl τ，右侧面上的挤压力为

F bs =A bs σbs =h l σbs 2

h l σbs 2由水平方向的平衡条件得 F Q =F bs 或 bl τ=

由此求得

σbs =2b τ2⨯20⨯28. 6=MPa =95. 3MPa

故平键也符合挤压强度要求。

例3-3 电瓶车挂钩用插销联接，如图3-6a 所示。已知t =8m m ，插销材料的许用切应力[τ]=30MP a ，许用挤压应力[σbs ]=100MPa ，牵引力F =15k N 。试选定插销的

直径d 。

图3-6

解 插销的受力情况如图3—6b ，可以求得

F Q =F 15=kN =7. 5kN 22

先按抗剪强度条件进行设计

A ≥F Q

τ=7500

30⨯106m 2=2. 5⨯10-4m 2

即

πd 2

≥2. 5⨯10-4m 2 4

d ≥0. 0178m =17. 8mm

再用挤压强度条件进行校核

σbs =F bs F 15⨯103

==Pa =52. 7MPa

所以挤压强度条件也是足够的。查机械设计手册，最后采用d =20mm 的标准圆柱销钉。

例3-4 图3-7a 所示拉杆，用四个直径相同的铆钉固定在另一个板上，拉杆和铆钉的材料相同，试校核铆钉和拉杆的强度。已知F =80k N ，b =80m m ，t =10m m ，d =16mm ，[τ]=100MP a ，[σbs ]=300MPa ，[σ]=150MP a 。

图3-7

解 根据受力分析，此结构有三种破坏可能，即铆钉被剪断或产生挤压破坏，或拉杆被拉断。

(1)铆钉的抗剪强度计算

当各铆钉的材料和直径均相同，且外力作用线通过铆钉组剪切面的形心时，可以假设各铆钉剪切面上的剪力相同。所以，对于图3-7a 所示铆钉组，各铆钉剪切面上的剪力均为

F Q =F 80=kN =20kN 44

相应的切应力为

τ=F Q

A =20⨯103

π⨯162⨯10-6

4Pa =99. 5MPa

(2)铆钉的挤压强度计算

四个铆钉受挤压力为F ，每个铆钉所受到的挤压力F bs 为

F bs =F =20kN 4

由于挤压面为半圆柱面，则挤压面积应为其投影面积，即

A bs =td

故挤压应力为

σbs =F bs 20⨯103

=Pa =125MPa

其危险面为1-1截面，所受到的拉力为F ，危险截面面积为A 1

=(b -d )t ，故最大

拉应力为

F 80⨯103

σ==Pa =125MPa

根据以上强度计算，铆钉和拉杆均满足强度要求。

习 题

3-1 试校核图示联接销钉的抗剪强度。已知F =100k N ，销钉直径d =30mm ，材料的许用切应力[τ]=60MP a 。若强度不够，应改用多大直径的销钉？

题3-1图

3-2 在厚度t =5m m 的钢板上，冲出一个形状如图所示的孔，钢板剪切极限应力τ0=300MPa ，求冲床所需的冲力F 。

题 3-2图 题3-3图

3-3 冲床的最大冲力为400k N ，被剪钢板的剪切极限应力τ0=360MPa ，冲头材料的[σ]=440MP a ，试求在最大冲力下所能冲剪的圆孔的最小直径d min 和板的最大厚度t max 。

3-4 销钉式安全联轴器所传递的扭矩需小于300N ⋅m ，否则销钉应被剪断，使轴停止工作，试设计销钉直径d 。已知轴的直径D =30m m ，销钉的剪切极限应力τ0=360MPa 。

题 3-4图

3-5 图示轴的直径d =80mm ，键的尺寸b =24mm ，h =14m m 。键的许用切应力[τ]=40MP a ，许用挤压应力[σbs ]=90MPa 。若由轴通过键所传递的扭转力偶矩T e =3. 2kN ⋅m ，试求所需键的长度l 。

题3-5图 题3-6图

3-6 木榫接头如图所示。a =b =120mm ，h =350mm ，c =45m m F =40k N 。试求接头的剪切和挤压应力。

3-7 图示凸缘联轴节传递的扭矩T e =3kN ⋅m 。四个直径d =12mm 的螺栓均匀地分布在D =150m 材料的许用切应力[τ]=90MP a ，试校核螺栓的抗剪强度。

m 的圆周上。

题3-7图

3-8 厚度各为10mm 的两块钢板，用直径d =20mm 的铆钉和厚度为8mm 的三块钢板联接起来，如图所示。已知F ＝280kN ，[τ]=100MP a ，[σbs ]=280MPa ，试求所需要的铆钉数目n 。

题3-8图

3-9图示螺钉受拉力F 作用。已知材料的剪切许用应力[τ]和拉伸许用应力[σ]之间的关系为[τ]=0. 6[σ]。试求螺钉直径d 与钉头高度h 的合理比值。

题3-9图

3-10 两块钢板用7个铆钉联接如图所示。已知钢板厚度t =6m 宽度b =200mm ，m ，铆钉直径d =18mm 。材料的许用应力[σ]=160MP a ，[τ]=100MP a ，[σbs ]=240MPa 。载荷F =150k N 试校核此接头的强度。

题 3-10图

3-11用夹剪剪断直径为3m m 的铅丝。若铅丝的剪切极限应力为100MPa ，试问需要多大的力F? 若销钉B 的直径为8m m ，试求销钉内的切应力。

题3-11图