抛物线焦点弦性质

抛物线焦点弦性质（1）

过抛物线y22px(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点 且A与B在准线上的射影分别为A1与B1 结论1：ABx1x2p

ABAFBF(xp1

2)(xp

22

)x1x2p 结论2：若直线L的倾斜角为，则弦长AB2p

sin2



证: (1)若



2

时, AB为抛物线的通径,

AB2p,结论得证

(2)若

pp

2时,设直线L的方程为：y(x2)tan即xycot2

代入抛物线方程得

y22pycotp20由韦达定理y21y2p,y1y22pcot

由弦长公式得ABcot2

y2

1y22p(1cot)2p

sin2

结论3： 过焦点的弦中通径长最小，最小值为2p.

p2

结论4：抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数4

和p2。(证明见结论9)

结论5： 焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，

1m1n2p

即

11FB2

p 证法1：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为

E,因为直线L的倾斜角为

 则EREFFRPAFcosAFAF

P11cos1cos AF

P

同理可得

1BF1cosP 112

FBp

证法2：m

p2x， mp

1 2

x2 代入整理即可。 结论6：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则

1AB1CD

1

2p

结论7：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点即为A1B1的中点。

·

证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1，过M点作准线的

垂线 MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知

MM1

AA1BB1

2



AFBF

AB2



2

结论得证。

结论8：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．

事实上，|AF|=xpxp

1

12

. 设AF的中点为D，则D（

2,y12），∴ D到y轴的距离

d=

12(xp1

12)2

|AF|圆心D到y轴的距离等于半径，与y轴相切． 1

结论9：抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。

证法1：要证明A1FB1是直角，因为A1F和B1F斜率都存在，只需证明斜率相乘得-1即可，

Ap2,yp

2,yyy1(

1),B1(2),可求得k1.k212p

2，其中y1y2由直线AB和抛物线方程联立可求得。证法2：由抛物线定义知AA1AF,BB1BF则AA1FAFA1

BB1FBFB1，又AA1FA1FO,BB1FB1FO，则

B1FOA1FO

AFB

90

由射影定理得

FK

2

A1KB1Kp2

y1y2

，因y1,y2异号，所以y1y2p2

p2

抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数4

和p2。（结论4）

结论10：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。

·

（点F在以为A1B1为直径的圆上，直线AA1,BB1是圆M1的切线，焦点弦AB与圆相切于焦点。）方法1：点F在圆上，只需证明M1FAB，设APy1(P1y2 2

,y1),B1(P2

,y2)则M（1

2

2

)y1y2

kyFM1y1y2y1y22p1

ppy22p kABx1x2y22 12

2

2py2y1y2

2pkABkFM11，即FMAB，所以，以A1B1为直径的圆与AB相切于点F。

方法2：几何的方法，由抛物线定义AA1AF知AA1FAFA1，又M1A1FM1FA1所以M1FAAA1M190

。

2