青岛版九年级上册数学学案第1章[1]

1.1 平行四边形及其性质（第1课时）

学习目标：1、理解并掌握平行四边形的定义

2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2

3、提高综合运用知识的能力

学习重点：平行四边形的定义，对角、对边相等的性质，以及性质的应用．

学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

预习指导：

1、在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，生活中也常见平行四边形的实例，如

_______________________________________________________等，都是平行四边形。

2、____________________________________是平行四边形。

3、平行四边形的性质是：_________________________________________.

学习过程：

一、 学习新知

1、平行四边形的定义

（1）定义：________________________________________叫做平行四边形。

（2）几何语言表述: ∵ AB∥CD AD∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形

（3）定义的双重性: 具备__________________的四边形，才是平行四边形，

反过来，平行四边形就一定具有性质。

（4）平行四边形的表示：平行四边形ABCD 记作_________,读作___________.

2、平行四边形的性质

平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？

已知：如图ABCD ，

求证：AB ＝CD ，CB ＝AD ．

分析：要证AB ＝CD ，CB ＝AD ．我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等，因此我们可以作辅助线__________________,它将平行四边形分成_________和__________，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论．

证明：

总结：本题提供了证明线段相等的方法，也体现了数学中的转化思想。

在上题中你能证明∠B=∠D, ∠BAD=∠BCD 吗？利用我们学过的方法试一试。

证明：

通过上面的证明，我们得到了：

平行四边形的性质定理1是_______________________________________.

平行四边形的性质定理2是_______________________________________.

二、应用举例：

例1、如图，在平行四边形ABCD 中，AE=CF，求证：AF=CE．

0例2、（1）在平行四边形ABCD 中，∠A=50，求∠B 、∠C 、∠D 的度数。

0（2）在平行四边形ABCD 中，∠A=∠B+40，求∠A 的邻角的度数。

三、随堂练习

1、如图，在平行四边形ABCD 中，AE=CF，求证AF=CE.

2、平行四边形的两邻边的比是2：5，周长为28cm ，求四边形的各边的长。

3、在平行四边形ABCD 中，若∠A ：∠B=2：3，求∠C 、∠D 的度数。

四、课堂小结 ：1、平行四边形的概念。 2、平行四边形的性质定理及其应用。

五、当堂检测

1．填空：（1）在ABCD 中，∠A=50︒，则∠度．

（2）如果ABCD 中，∠A —∠B=240°，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．

（3）若ABCD 的周长为28cm ，且AB ：BC=2∶5，则AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．

2. （选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）．

（A ）对角相等 （B ）对角互补 （C ）邻角互补 （D ）内角和是360︒

3. （选择）如图，在ABCD 中，如果EF ∥AD ，GH ∥CD ，

EF 与GH 相交与点O ，那么图中的平行四边形一共有（ ）．

（A ）4个 （B ）5个 （C ）8个 （D ）9个

4．如图，在ABCD 中，AC 为对角线，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，求证：BE ＝DF ．

5、如图，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证：AB=CE

1.1 平行四边形及其性质（第2课时）

学习目标：1、掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．培养学

生的推理论证能力和逻辑思维能力．

学习重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

学习难点：能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．

学习过程：

二、 学习新知 如图，EFGH 中，连接对角线EG 、HF ，设它们分别交于点O ．分别度量OH 、OF 的长度，你发现它们存在的数量关系是_________________.

猜想线段OG 、OE 之间的数量关系是_______________________.

证明你的猜想：

由此我们可以得到平行四边形的性质定理3_____________________________．

二、应用举例：

例题

已知：

ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ．

求证：OE ＝OF ．

分析：要证OE ＝OF ，根据图形分析，只要证明OE 、OF 所在的两个三角形__________≌___________. 证明：

若例1中的条件都不变，将EF 转动到图b 的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c 和图d ），例1的结论是否成立，说明你的理由．

三、随堂练习

1、在平行四边形中，周长等于48，

① 已知一边长12，求各边的长

② 已知AB=2BC，求各边的长

③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长

2、如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，

AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长

是____ ___cm．

3、ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm ，7cm 的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ．

四、课堂小结 ：

平行四边形的对角线具备的性质是_________________________.

五、当堂检测

1．判断对错

（1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD． （ ）

（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ）

（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ）

（4）平行四边形是轴对称图形． （ ）

2．在 ABCD中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是__ ______．

3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．

4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC⊥BC，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积．

1.2平行四边形的判定（第1课时）

学习目标：1、在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边来判定平行四边形的方法．

2、会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．

3、培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．

学习重点：理解和掌握平行四边形的判定定理。

预习指导：1、平行四边形定义是____________________________________.

2、平行四边形性质是(1)_____________________________________________.

(2)_______________________________________________________________.

3、平行四边形的判定定理是（1）_____________________________________.

(2)________________________________________________________________.

学习过程：

三、 学习新知

小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？

请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：

（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？

（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？

（3）你能说出你的做法及其道理吗？

（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？

（5）证明以上发现的平行四边形的判定发方法。

平行四边形的判定定理（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

已知：

求证：

证明：

平行四边形的判定定理（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

已知：

求证：

证明：

二、应用举例 例题：已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，

求证：BE=DF．

三、随堂练习 已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ．

求证：四边形BEDF 是平行四边形．

四、课堂小结

平行四边形的判定定理（1）是________________________________________.

平行四边形的判定定理（2）是________________________________________.

五、当堂检测

1、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，与CD 交于F 。求证：四边形AECF 是平行四边形。

2、已知：如图，△ABC ，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，EF ∥AC ， 求证：BE=CF

1.2平行四边形的判定（第2课时）

学习目标：1、在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用对角线

来判定平行四边形的方法．

2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．

3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．

学习重点：理解和掌握平行四边形的判定定理。

学习难点：几何推理方法的应用。

学习过程：

四、 学习新知

已知:如图，平行四边形HGFE 中，HF 与GE 交与点O ，HO=OF,GO=OE,

求证：四边形HGFE 是平行四边形。

由此，我们可以得到平行四边形的判定方法：平行四边形的判定定理（3）

__________________________________________________________.

五、 应用举例 例题：已知：如图ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 是AC 上的两点，并且AE=CF．

求证：四边形BFDE 是平行四边形．

分析：欲证四边形BFDE 是平行四边形可以根据判定方法2来证明．

证明：

三、随堂练习

1．如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，

（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD 为平行四边形；

（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD 为平行四边形．

2．已知：如图，ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、AB 上，DF ∥BE ，EF 交BD 于点O ．求证：EO=OF．

3．证明：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

从边看：③ 的四边形是平行四边形．

从对角线看： 的四边形是平行四边形．

从角看： 的四边形是平行四边形．

五、当堂检测

1、在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,则四边形ABCD 是平行四边形。（ ）

2、在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，若OC= 且 ,则四边形ABCD 是平行四边形。

3、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）．

A 、对角线互相垂直 B、对角线相等 C对角线互相垂直且相等 D对角线互相平分

4、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，与CD 交于F 。求证：四边形AECF 是平行四边形。

5、已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是OA 、OC 的中点，求证：BM ∥DN ，且BM=DN 。

1.3 特殊的平行四边形（第1课时）

学习目标：1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系。

2、掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。

3、掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用。

学习重点：掌握矩形的性质定理，会用定理进行有关的计算与证明。

学习难点：掌握直角三角形斜边上中线的性质与应用

学习过程：

一、学习新知

自学教材13页—15页内容完成以下题目：

1、 叫做矩形。矩形是________的平行四边形。

2、从矩形的意义可以探究矩形具有的性质：

（1）矩形具有平行四边形具有的一切性质。

（2）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:

特殊在“角”上的性质是_____________________________________________.

特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________.

3、从矩形的性质可以说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的________.

二、应用举例：

例题：在直角三角形ABC 中，∠C=90°，CD 是AB 边上的中线，∠A=30°，

AC=5 3，求△ADC 的周长。

三、随堂练习

1、由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（ ）

A 、22.5° B、45° C、30° D、60°

2、已知：如图2，矩形ABCD 中，E 是BC 一点，DF ⊥AE 于F ，若AE =BC

3、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。

四、课堂小结

五、当堂检测

1

2、如图5

3、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A′位置上，折痕为DG 。AB=2，BC=1。求AG 的长。

1.3 特殊的平行四边形（第2课时）

学习目标：1、能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力。

2、培养综合应用知识分析解决问题的能力。

学习重点：能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力。

学习难点：培养综合应用知识分析解决问题的能力

学习过程：

二、学习新知

自学教材16页—17页内容完成以下题目：

1、运用定义证明一个平行四边形是矩形，只需证明__________________.

2、矩形相对于一般平行四边形来讲，特殊在“对角线”和“角”上。通过自学，我们可以从“对角线”

和“角”两方面得到矩形的判定定理：

矩形的判定定理（1）：________________________________________________.

矩形的判定定理（2）：________________________________________________.

二、应用举例

例题：

如图，M 、N 分别是平行四边形ABCD 对

边AD 、BC 的中点，且AD=2AB，

求证：四边形PMQN 是矩形。

分析：（1）从条件出发：由M 、N 分别是平行四边形ABCD 对边AD 、BC 的中点，且AD=2AB，我们很容易得到AM=________,从而得到∠AMB=∠_______.又因为AD ∥BC, 可得∠AMB=∠_______，所以可得∠_______=∠_______。同理可得∠BAN=∠MAN.

(2)要证四边形PMQN 是矩形，根据矩形的判定定理，可证四边形PMQN 有三个角是直角。

根据分析完成证明：

三、随堂练习 已知

的面积

ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△ABC 是等边三角形，AB 4cm ，求这个平行四边形

四、课堂小结

五、当堂检测

1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）．

A ．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等

C ．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角

2、能判断四边形是矩形的条件是（ ）

A 、两条对角线互相平分 B、两条对角线相等

C 、两条对角线互相平分且相等 D、两条对角线互相垂直。

3、如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC, 证明:四边形ABCD 是矩形

.

4、已知四边形ABCD 中AC ⊥BD,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 是矩形。

1.3 特殊的平行四边形（第3课时）

学习目标：1、理解菱形的定义。

2、探究归纳菱形的性质。

3、掌握菱形的判定方法。

4、培养综合运用知识分析解决问题的能力。

学习重点：理解菱形的定义。探究归纳菱形的性质。掌握菱形的判定方法。

学习难点：培养综合运用知识分析解决问题的能力。

学习过程：

三、学习新知

自学教材17页—19页内容完成以下题目：

1、 叫做菱形。菱形是________的平行四边形。

2、从菱形的意义可以探究菱形具有的性质：

（1）菱形具有平行四边形具有的一切性质。

（2）菱形与平行四边形比较又有其特殊的性质:

特殊在“边”上的性质是_____________________________________________.

特殊在“对角线”上的性质是：_______________________________________.

3、我们可以从“对角线”和“角”两方面得到菱形的判定定理：

菱形的判定定理（1）：________________________________________________.

菱形的判定定理（2）：________________________________________________.

二、应用举例：

例题：如图，已知AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线交AD 于M 交AC 于E ，∠DAC 的平分线交CD 于N. 证明：四边形AMNE 是菱形.

分析：(1)由已知AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高

很容易得到∠ABC=∠________,

又∠ABC 的平分线交AD 于M 交AC 于E ，∠DAC 的平分线交CD 于N ，可得∠_____=∠_____=∠_____=∠_____.

(2)要证四边形AMNE 是菱形可证其四条边相等，或证对角线互相垂直平分。

根据分析完成证明：

三、随堂练习

1、菱形周长为40，一条对角线长为16，则另一条对角线长为 ,这个菱形的面积为 。

2、已知菱形的一边长为，4厘米，则它的周长为

3、在四边形ABCD 中，若已知AB ∥CD ，则再增加条件 即可使四边形ABCD 成为平行四边形。若再补充条件__________,则四边形ABCD 为菱形

4、矩形ABCD 的对角线相交于O ，DE ∥AC,CE ∥SD, 求证四边形OCED 是菱形。

四、课堂小结

五、当堂检测

1、棱形的周长为8.4cm ，相邻两角之比为5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（ ）

A 、1.05cm B、0.525cm C、4.2cm D、2.1cm

2、菱形ABCD 中∠A=120°，周长为14.4，则较短对角线的长度为 。

3、菱形的面积为50平方厘米，一个角为30°，则它的周长为 。

4、在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交AC 于F ，交AB 于E ，

则，∠CDF=（ ）

A 、80° B、70° C、65° D、50°

5、小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 ，使得四边形ABCD 是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（ ）

A 、小明、小亮都正确 B、小明正确，小亮错误

C 、小明错误，小亮正确 D、小明、小亮都错误

6、下列命题中是真命题的是（ ）

Ａ. 对角线互相平分的四边形是菱形

Ｂ. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形

Ｃ. 对角线互相垂直的四边形是菱形

D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形

7、在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF，过点C 做CG ∥EA 交FA 于H ，交AD 于G ，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数。

8、AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，求证四边形AEDF 是菱形。

1.3 特殊的平行四边形（第4课时）

学习目标：1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

学习重点：掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算

学习难点：理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

学习过程：

四、学习新知

自学教材19页—20页内容完成以下题目：

1、 叫做正方形。正方形是________的矩形，也是_______的菱形。

2、从正方形的意义可以探究正方形具有的性质：

（1）正方形具有平行四边形具有的一切性质。

（2）正方形具有矩形具有的一切性质。

（3）正方形具有菱形具有的一切性质。

（4）正方形的对角线具有的性质是___________________________________.

3、正方形的判定方法是：

（1）_____________________________________的矩形是正方形。

（2）_____________________________________的菱形是正方形。

二、应用举例：

例题1：已知：如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，AF 平分∠DAE 交CD 于F ，

求证：AE=BE+DF．

例题2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC于E ，DF⊥AC于F ．求证：四边形CFDE 是正方形．

三、随堂练习

1．已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且DE=BF． 求证：EA ⊥AF ．

2．已知：如图，正方形ABCD 中，对角线的交点为O ，E 是OB 上的一点，DG ⊥AE 于G ，DG 交OA 于F ．求证：OE=OF

四、课堂小结：

正方形的概念、性质和判定，正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

五、当堂检测

1、正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．

2、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）

（A ）AC=BD，AB ∥CD ，AB=CD （B ）AD ∥BC ，∠A=∠C

（C ）AO=BO=CO=DO，AC ⊥BD （D ）AO=CO，BO=DO，AB=BC

3、如图，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH 为（ ） D

A. 平行四边形 B.矩形 C.菱形 D. 正方形

4、下列说法是否正确，并说明理由．

F

①对角线相等的菱形是正方形；（ ）

②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）

④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）

⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）

5、如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，

将△BCE 绕点C•顺时针方向旋转90°得到△DCF ，连接EF ．

若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为（ ）

（A ）10° （B ）15° （C ）20° （D ）25°

6、已知：如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，且DE ＝BF ．求证：∠AFE ＝∠AEF

F

B C