裂项法_百科

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裂项法求和,这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

基本信息

中文名：裂项法

英文名：Split method

作用：求和

公式：1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]

示例

【例1】【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

解：an=1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]（裂项）

则 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n）- [1/(n+1)]（裂项求和）

= 1-1/(n+1)

= n/(n+1)

【例2】【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.

解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）

则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）

= [n(n+1)(n+2)]/3

【例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(91×94)使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。

原式=1/3 *[（1-1/4）+（1/4-1/7）+（1/7-1/10）+……+（1/91-1/94）]=1/3*(1-1/94)=31/94

小结

此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意：余下的项具有如下的特点

1余下的项前后的位置前后是对称的。

2余下的项前后的正负性是相反的。

易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）

附：数列求和的常用方法：

公式法、

裂项相消法

、

错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)

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1、分组法求数列的和：如an=2n+3n

2、错位相减法求和：如an=n·2^n

3、

裂项法求和

：如an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如an= n

5、求数列的最大、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性如an= an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差数列中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 a1>0,d

(2)当 a10时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.