关于两个基本图形中的动点碰撞问题
问题如图1,有一种新型台球桌,桌面为等边三角形,顶点处各有一个球袋.从A点向BC的一个三等分点D1打出一个球,经过多次反弹后落袋.(1)球落到A、B、C哪个袋中,请画出球的运动轨迹;(2)请证明你的结论. 分析(1)由入射角等于反射角,从A向线段BC上的一个三等分点D1打出一个球,反弹到线段AB的中点处D2,经直线AB反弹至线段AC的靠近端点A的三等分点D3,经AC反弹,恰好反弹至B袋.球的轨迹为AD1D2D3B.图1图2(2)建立如图2所示的直角坐标系,设正三角形ABC的边长为6,则A(0,33),B(-3,0),C(3,0),D1(-1,0).直线AD1的斜率为33,则反弹线D1D2:y=-33(x+1),与直线AB:y=3(x+3)联立,得交点D2(-32,332). 设反弹线D2D3的斜率为kD2D3,由直线D2D3到直线D2A的角等于直线D2B到直线D2D1的角,得(-33)-31+(-33)・3=3-kD2D31+3・kD2D3,得kD2D3=35,直线D2D3:y-332=35(x+32),与直线AC:y=-3(x-3)联立,得交点D3(1,23).
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