北师大版高中数学选修1-1学案全集

第一章 常用逻辑语

1.1 命题

命题及其关系

学习目标：理解命题的概念和命题的构成，能判断命题的真假；了解四种命题的的含义，

能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题；会分析四种命题之间的相互关

系；

重点难点：命题的概念、命题的构成；分清命题的条件、结论和判断命题的真假。四种命

题的概念及相互关系.

自主学习

1. 复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2. 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集合的子集；

（2）若整数a 是素数，则a 是奇数；

（3）2小于或等于2；

（4）对数函数是增函数吗？

（5）2x 15；

（6）平面内不相交的两条直线一定平行；

（7）明天下雨.

合作探究

1. 根据下列命题完成填空

（1）如果两个三角形全等, 那么它们的面积相等；（2）如果两个三角形的面积相等, 那么它们全等；（3）如果两个三角形不全等, 那么它们的面积不相等；（4）如果两个三角形的面积不相等, 那么它们不全等.

命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？

1．上面的四个命题都是形式的命题，

可记为 ，其中p 是命题的条件，q 是命题的结论．

2．在上面的例子中，

命题（2）的 分别是命题（1）的 ，我们称这两个命题为互逆命题．

命题（3）的 分别是命题（1）的 ，这两个命题称为互否命题．

命题（4）的 分别是命题（1）的 ，这两个命题称为互为逆否命题．

第1页 1

3. 逆命题、否命题和逆否命题的含义：

一般地，设“若p 则q ”为原命题，那么

就叫做原命题的逆命题就叫做原命题的否命题； 就叫做原命题的逆否命题．

四种命题之间的关系：

3. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．

（1）若a =0, 则ab =0；（2）若a =b ，则a =b ．

4. 把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．（1）对顶角相等；（2）四条边相等的四边形是正方形．

5. 原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？ （1）原命题与逆否命题 ；（2）逆命题与否命题 ．

练习反馈

1．给出下列命题：

①若ac =bc ，则a =b ；②若a >b ，则

211③对于实数x ，若x -2=0，则x -2≤0；0，则p >p ；⑤正方形不是菱形．

其中真命题是 ；假命题是 ．（填上所有符合题意的序号）

2．将下列命题改写成“若p 则q ”的形式：

（1）垂直于同一直线的两条直线平行；（2）斜率相等的两条直线平行；（3）钝角的余弦值是负数．

3．写出下列各命题的逆命题、否命题 和逆否命题并判断真假：

（1）若两个事件是对立事件, 则它们是互斥事件；

（2）当c >0时，若a >b ，则ac >bc ．

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1.2 充分条件与必要条件

1.2.1 充分条件&1.2.2必要条件

学习目标：正确理解充分条件的概念；会判断命题的充分条件；通过对充分条件的概念的

理解和运用，培养自己分析、判断和归纳的逻辑思维能力；

重点：充分条件的概念

难点：判断命题的充分条件

自主学习

练习与思考

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（1）若x ＞ a + b，则x ＞ 2ab,

（2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.

置疑：对于命题“若p ，则q ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

合作探究

命题“若p ，则q ” 为真命题，是指由p 经过推理能推出q ，也就是说，如果p 成立，那么q 一定成立．换句话说，只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，这时我们称条件p 是q 成立的充分条件．

一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ．这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ．

充分条件的定义：___________________________________________________________. 必要条件的定义: ____________________________________________________________. 上面的命题(1)为真命题，即x ＞ a + b ⇒ x ＞ 2ab，所以“x ＞ a + b ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a + b”

例题分析：

例１：下列“若p ，则q ”形式的命题中，那些命题中的p 是q 的充分条件？

（1）若x ＝1，则x － 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；（3）若x 为无理数，则x 为无理数．

第3页 3 2222 ＂22 22 22的必要条件

分析：要判断p 是否是q 的充分条件，就要看p 能否推出q ．

例２：下列“若p, 则q ”形式的命题中，那些命题中的q 是p 的必要条件?

(1) 若x ＝ y，则x ＝ y；

(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

(3) 若a ＞b, 则ac ＞bc ．

分析：要判断q 是否是p 的必要条件，就要看p 能否推出q ．

练习反馈 22

1、从“充要条件（A ）、充分不必要条件（B ）、必要不充分条件（C ）、既不充分也不必要条件（D ）” 中选出适当的一种填空：

① “a =0”是“函数y =x 2+ax (x ∈R ) 为偶函数”的_____

② “sin α>sin β”是“α>β” 的_____

③ “M >N ”是“log 2M >log 2N ”的_____

④ “x ∈M N ”是“x ∈M N ”的_____

2、已知p 、q 是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么 ⑴s 是q 的什么条件？

⑵r 是q 的什么条件？

⑶p 是q 的什么条件？

3、已知 “a ≥b ⇒c >d ”和“a

则“c ≤d ”是“e ≤f ”的___________________条件

“c >d ”是“e >f ”的___________________条件

4、求圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2经过原点的充要条件。

课堂总结

充分、必要的定义．

在“若p ，则q ”中，若p ⇒q ，则p 为q 的充分条件，q 为p 的必要条件．

第4页 4

1.2.3 充要条件

学习目标： 1、正确理解充要条件的定义, 了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件,

既不充分也不必要条件的定义．

2、正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不

必要条件.

3、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假, ．

重点：1、正确区分充要条件；

2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

自主学习

1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“⇒”的含义

2.指出下列各组命题中，“p ⇒q ”及“q ⇒p ”是否成立

（1）p ：内错角相等 q：两直线平行

（2）p ：三角形三边相等 q：三角形三个角相等

3. 充要条件定义：一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作：p ⇔q 。

这时，p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 的_______条件，简称

充要条件

合作探究

例1：指出下列各命题中，p 是q 的什么条件：

1) p ：x>1 q：x>2

2) p ：x>5 q：x>-1

3) p ：(x-2)(x-3)=0 q：x-2=0

4) p ：x=3 q：x =9

5) p ：x=±1 q：x -1=0

例2：1）请举例说明：p 是q 的充分而不必要条件；p 是q 的必要而不充分条件； p 是q 的既不充分也不必要条件；p 是q 的充要条件

2）从 “充分而不必要条件” “必要而不充分条件” “充要条件”“既不充分也

第5页 5 22

不必要条件”中选出适当一种填空：

①“a ∈N ”是“a ∈Z ”的______________________

②“a ≠0”是“ab ≠0”的_____________________

③“x 2=3x+4”是“x=x +4”的_______________________

④“四边相等”是“四边形是正方形”的________________________

3）判断下列命题的真假： ①“a>b”是“a 2>b2”的充分条件；②“a>b”是“a 2>b2”的必要条件；③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件；④“a>b”是“ac 2>bc2”的充分条件

例3、若甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件, 丁是丙的必要而不充分条件，问丁是甲的什么条件？

例4、求证：关于X 的方程ax +bx+c=0(a≠0) 有两个符号相反且不为零的实根充要条件是ac

例5、已知 P：-2x -122 ≤，q ：x -2x+1-m≤0 (m>0)且⌝p 是⌝q 的必要而3

不充分条件，求实数m 的取值范围。

练习反馈

1、下列各组命题中，p 是q 的什么条件：

1）p ： x是6的倍数。 q：x 是2的倍数

2）p ： x是2的倍数。 q：x 是6的倍数

3）p ： x是2的倍数，也是3的倍数。q ：x 是6的倍数

4）p ： x是4的倍数 q：x 是6的倍数

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2、 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的

[ ]

A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件

C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

3、 p 是q 的充要条件的是 [ ]

A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5

B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b

C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形

D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解．

4、 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 [ ]

A ．充分条件 B ．必要条件

C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

5、设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的 [ ]

A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

6、 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什么条件？

7、 关于x 的不等式

(a +1) 2(a -1) 2

|x－|≤2与x 2

2－3(a＋1)x ＋2(3a＋1) ≤0的解集依次为A

与B ，问“A ⊆B ”是“1≤a ≤3或a ＝－1”的充要条件吗？

第7页 7

1.3 全称量词与存在量词

1.3.1 全称量词与存在量词

学习目标： 1、通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见

的全称量词和存在量词．

2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量

词的命题及判断其命题的真假性．

重点:理解全称量词与存在量词的意义；

难点: 全称命题和特称命题真假的判定.

自主学习

问题1、下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？

（1）2x ＋１是整数；(2) x ＞３；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A 版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x ∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x ∈Ｚ，2x ＋１是整数。

问题2、命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做______量词，含有全称量词的命题，叫做_______命题。命题（5）－（8）都是全称命题。

问题3、在判断问题1中的命题（5）－（8）的真假的时候，可以得出这样一些命题：

（5）存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A 版的教科书；

（6）存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．

（7） 存在一个（个别、某些）实数x （如x ＝2），使x ≤３．（至少有一个x ∈Ｒ, x≤３）

（8）不存在某个x ∈Ｚ使2x ＋１不是整数．

这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做______量词。并用符号“∃”表示。含有存在量词的命题叫做______命题（或存在命题）命题（5）－（8）都是特称命题（存在命题）．

特称命题：“存在M 中一个x ，使p （x ）成立”可以用符号简记为：∃x ∈M , p (x ) 。读做“存在一个x 属于M , 使p （x ）成立”．

全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等；存在量词相当

第8页 8 ，，，，，，

于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等. 合作探究

（1）下列全称命题中，真命题是：

A. 所有的素数是奇数； B. ∀x ∈R ,(x -1) 0； C. ∀x ∈R , x +

（2）下列特称命题中，假命题是：

A. 21π1≥2 D.∀x ∈(0,),sin x +≥2 x 2sin x ∃x ∈R , x 2-2x -3=0 B.至少有一个x ∈Z , x 能被2和3整除

2C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.∃x ∈{x |x 是无理数},x 是有理数．

（3）已知：对∀x ∈R , a x +

（4）已知：对∀x ∈R , x -ax +1 0恒成立，则a 的取值范围是

（5）求函数f (x ) =-cos x -sin x +3的值域；

（6）已知：对∀x ∈R , 方程cos x +sin x -3+a =0有解，求a 的取值范围． 练习反馈

1、判断下列全称命题的真假：

①末位是o 的整数，可以被5整除； ②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

③负数的平方是正数； ④梯形的对角线相等。

2、判断下列特称命题的真假：

①有些实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形；

③有些菱形是正方形。

第9页 9 22+2+1恒成立，则a 的取值范围是 x

3、判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）

A ．所有奇数都是质数 B．∀x ∈R , x +1≥1

C ．对每个无理数x ，则x 也是无理数 D．每个函数都有反函数

4、将“x +y≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）

A ．∀x , y ∈R ，都有x +y ≥2xy B．∃x , y ∈R ，都有x +y ≥2xy

C ．∀x >0, y >0，都有x +y ≥2xy D．∃x

5、判断下列命题的真假，其中为真命题的是

A ．∀x ∈R , x +1=0 B．∃x ∈R , x +1=0

C ．∀x ∈R ,sin x

6、下列命题中的假命题是（ ）

A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcos β+sinαsin β

B ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcos β+sinαsin β

C ．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcos β－sin αsin β

D ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cos αcos β－sin αsin β

7、对于下列语句（1）∃x ∈Z , x =3（2）∃x ∈R , x =2 （3）∀x ∈R , x +2x +3>0（4）∀x ∈R , x +x -5>0其中正确的命题序号是 。（全部填上） [***********]

8

b +1=a +b

b +1是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命

题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。

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1.3.2 含有一个量词的命题的否定

学习目标：1、通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们

的否定在形式上的变化规律．

2、通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地

对含有一个量词的命题进行否定． 难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定． 自主学习

1、判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？ （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）∀x ∈R, x－2x ＋1≥0。 （4）有些实数的绝对值是正数； （5）某些平行四边形是菱形； （6）∃ x∈R, x＋1＜0。

2、从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变成了全称命题。

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。 合作探究

例1、判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定： （1）、p ：所有能被3整除的整数都是奇数； （2）、p ：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）、p ：对∀x ∈Z ，x 个位数字不等于3； （4）、p ：∃ x∈R, x＋2x ＋2≤0； （5）、p ：有的三角形是等边三角形； （6）、p ：有一个素数含三个正因数。

例2、指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。 （1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R ，x -2x+1≥0

例3、写出命题的否定（1）p ：∃ x ∈R ，x ＋2x +2≤0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；

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（3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分； 练习反馈

1、写出下列全称命题的否定：（1）p ：所有人都晨练；（2）p ：∀x ∈R ，x ＋x+1>0； （3）p ：平行四边形的对边相等；（4）p ：∃ x ∈R ，x －x +1＝0；

2、写出下列命题的否定。（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x 都是方程5x-12=0的根。 （3） 对任意实数x ，存在实数y ，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。 3、写出下列命题的否定。 （1） 若x ＞4 则x ＞2. 。 （2） 若m≥0,则x +x-m=0有实数根。

（3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。 （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

4、 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p ：若x ＞y, 则5x ＞5y ；（2）p ：若x +x﹤2, 则x -x ﹤2；（3）p ：正方形的四条边相等；（4）p ：已知a,b 为实数，若x +ax+b≤0有非空实解集，则a -4b≥0。

5、命题p ：存在实数m ，使方程x ＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A. 存在实数m ，使得方程x ＋mx ＋1＝0无实根； B. 不存在实数m ，使得方程x ＋mx ＋1＝0有实根； C. 对任意的实数m ，使得方程x ＋mx ＋1＝0有实根； D. 至多有一个实数m ，使得方程x ＋mx ＋1＝0有实根；

6、有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为（ ）

A ．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 7、命题“∀x ∈R ，x -x+3>0”的否定是 8、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的

否定形式是 否命题是 9、写出下列命题的否定，并判断其真假：

（1）p ：∀m ∈R ，方程x +x-m=0必有实根； （2）q ：∃∈R ，使得x +x+1≤0；

10、写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：

（1）若m>1，则方程x -2x+m=0有实数根．（2）平方和为0的两个实数都为0． （3）若∆ABC 是锐角三角形， 则∆ABC 的任何一个内角是锐角．（4）若abc=0，则a,b,c 中至少有一为0．（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x ≠1,x ≠2．

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1．4 逻辑联结词“且”“或”“非”

学习目标：1、掌握逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；

2、正确应用逻辑联结词“或、且、非”解决问题；

重点、难点：通过数学实例，了解逻辑联结词“或、且、非”的含义，使学生能正确地表

述相关数学内容。

自主学习：

1、问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？

（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。 （2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。 2、下列各组命题中的两个命题间有什么关系？

（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除； （2） ①方程x +x+1=0有实数根。 ②方程x +x+1=0无实数根。

2、归纳定义

（1）一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作_____读作________。

（2）一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作_______,读作_________。

（3）一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作________；读作__________

3、命题“p 且q ”、 “p 或q ”与“非P ”的真假的 规定

2

2

重庆市江津几江中学导学案

当p ，q 都是真命题时，p 且q 是______命题；当p ，一个命题是假命题时，p 且q 是_____命题；当p ，q

q 两个命题中有两个命题中有

一个是真命题时，p 或q 是______命题；当p ，q 两个命题都是假命题时，p 或q 是_____命题。 合作探究

例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p ∧q ” 与“p ∨q ”的形式，并判断它们的真假。

（1）p ：平行四边形的对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线相等。 （2）p ：菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分； （3）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数.

例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。 （1）1既是奇数，又是素数；（2）2是素数且3是素数；（3）2≤2．

例3、判断下列命题的真假；（1）6是自然数且是偶数；（2） 是A 的子集且是A 的真子；（3）集合A 是A ∩B 的子集或是A ∪B 的子集；（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．

例4：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假 （1）p ：y ＝ sinx 是周期函数； （2）p ：3＜2；

（3）p ：空集是集合A 的子集。 练习反馈

1、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题： （1）24既是8的倍数，也是6的倍数； （2）李强是篮球运动员或跳高运动员； （3）平行线不相交

2、分别指出下列复合命题的形式（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3）π不是整数；

3、写出下列命题的非命题：（1）p:对任意实数x ，均有x －2x+1≥0；（2）q ：存在一个实数x ，使得x －9=0（3）“AB ∥CD ”且“AB=CD”；（4）“△ABC 是直角三角形或等腰三角形”．

4、判断下列命题的真假：

（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5 （4）对一切实数x , x 2+x +1≥0

5、分别指出由下列各组命题构成的p 或q 、p 且q 、非p 形式的复合命题的真假 （1）p ：2+2=5； （2）p ：9是质数； （3）p ：1∈{1，2}； （4）p ：Φ⊂{0}；

6．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p １是“第一次射击中飞机”，命题p ２是“第二次射击中飞机”试用p １、p ２以及逻辑联结词或、且、非表示下列命题： 命题S ：两次都击中飞机；命题r ：两次都没击中飞机； 命题t ：恰有一次击中了飞机； 命题u ：至少有一次击中了飞机.

7、分别写出由下列各种命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题, 并判断它们的真假：

（１）p ：末位数字是0的自然数能被5整除 q ：5∈{x |x +3x -10=0} （２）p ：四边都相等的四边形是正方形 q ：四个角都相等的四边形是正方形

2⊂ R （３）p ：0∈∅ q ：{x |x -3x -5

2

2

2

q ：3>2

q ：8是12的约数； q ：{1}⊂{1，2} q ：Φ={0}

≠

（４）p ：不等式x +2x -8

22

x 2}

第二章 圆锥曲线与方程

2.1 椭圆

2.1.1椭圆及其标准方程

学习目标：1、理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；

2、理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法； 3、了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．

重点、难点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无

理方程的常用的方法

自主学习

1. 引导学生一起探究P 41页上的问题，准备无弹性细绳子一条（约60cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？

2. 由上述探究过程容易得到椭圆的定义： ．其中这两个定点叫做椭圆的 ，两定点间的距离叫做椭圆的 ．即当动点设为

合作探究

1. 椭圆标准方程的推导过程（见教材）：

思考：（1）已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．

时，椭圆即为点集

．

（2）无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． （3）设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a ，b ，c 的关系有明显的几何意义．

y 2x 2

（4）类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程2+2=1(a >b >0)．

a b

2

2

2

2. 如何用几何图形解释 b=a－c

？

在椭圆中分别表示哪些线段的长？

3. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是方程．

4. 如图，设

，

的坐标分别为

，，并且经过点，求它的标准

，

．直线，相交于点，且它

们的斜率之积为

，求点的轨迹方程．

图2-1-1

练习反馈 1. 在圆上运动时，线段

2. 已知B,C 是两个定点，|BC|=10，且∆ABC 的周长等于22，求顶点A 满足的一个轨迹方程。

3. 已知椭圆两焦点坐标分别是（0，-2），（0,2），并且经过点(-方程。

上任取一点的中点

，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆

的轨迹是什么？

35，），求椭圆的标准22

2.1.2椭圆的简单性质

学习目标：1. 了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称

轴，对称中心、离心率、顶点的概念；

2. 掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．

重点、难点：理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；

掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题.

自主学习

1. 把平面内与两个定点

，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹叫做

椭圆．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为

时，椭圆即为点集

．

2. 写出焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

3. 写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 合作探究

1. 椭圆的简单几何性质

y 2x 2

①范围：由椭圆的标准方程可得，2=1-2≥0，进一步得：-a ≤x ≤a ，同

b a

理可得：-b ≤y ≤b ，即椭圆位于直线x =±a 和y =±b 所围成的矩形框图里；

②对称性：由以-x 代x ，以-y 代y 和-x 代x ，且以-y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e =

c

叫做椭圆的离心率（0

⎧⎨当e →0时，c→0，b→a ⎧当e →1⎩椭圆越接近于圆⎨

时，c→a ，，b→0 ⎩椭圆图形越扁

2. 求椭圆16x 2

+25y 2

=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

3. 已知椭圆mx 2

+5y 2

=5m (m >

0)的离心率为e =

m 的值． 练习反馈

1. 说出椭圆的焦点和顶点坐标；

2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程，并画出草图： （1）a=6, e=13； （2）C=3， e=3

5

, 焦点在y 轴上；

（3）长轴长是短轴长得3倍，椭圆经过点P （3，0）；

（4）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别是10和4.

3. 如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径

R 6371km ．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．

图2-1-2

2.2.1抛物线及其标准方程

学习目标：1. 掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

2. 进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等

方面的能力

重点、难点：1. 掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程

2. 掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力。

自主学习

复习椭圆知识：

（1）把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹

叫做椭圆．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为

（2） 写出焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

时，椭圆即为点集．

＿。

（3）写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 合作探究

由教材提供的方法画出抛物线的图像，归纳出抛物线的定义和推导标准方程：

（1) 定义： ．定点F 叫做抛物线的 ，定直线l 叫做抛物线的 .

(2) 抛物线标准方程的推导过程：

a) 建系设标：

b) 建立等量关系，推导方程：

练习反馈

1. 已知抛物线的标准方程是y =6x，求它的焦点坐标和准线方程；

2. 已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程；

2

3. 一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m 深度为0.5m ，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

2.2.2抛物线的简单性质

学习目标:1. 使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这

些性质．

2. 从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力

重点、难点：理解并掌握抛物线的几何性质；能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。 自主学习

1. 平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F 不在定直线l 上) ．定点F 叫做抛物线的＿＿＿，定直线l 叫做抛物线的＿＿＿.

2. 抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。

3. 已知抛物线的标准方程是y2=8x，求它的焦点坐标和准线方程

4. 已知抛物线的焦点是F(-2，0) ，求它的标准方程 合作探究

1. 抛物线的几何性质：通过和椭圆几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？ (1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．

(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，

抛物线没有中心．

(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．

(4)抛物线的离心率要联系椭圆第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．

2. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M(-3，m) 到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．

3. 过抛物线y2=2px(p＞0) 的焦点F 的一条直线与这抛物线相交于A 、B 两点，且A(x1，y1) 、B(x2，y2)

图2-2-1

练习反馈

1. 点M 到点F(4,0)的距离比它到直线l ：x + 6 =0的距离小2，求M 得轨迹。

2. 求顶点在原点，通过点（3，-6），且以坐标为轴的抛物线的标准方程。

3. 某单行隧道横断面由一段抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图，某卡车载一集装箱，车宽3m, 车与箱总高4.5m, 此车能否安全通过隧道？说明理由。

图2-2-2

2.3.1双曲线及其标准方程

学习目标：1. 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；

2. 理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；

重点、难点：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义；

会用双曲线的定义解决实际问题.

自主学习

复习旧知:1.

把平面内与两个定点

，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点

的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为

时，椭圆即为点集

．

2. 平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F 不在定直线l 上) ．定点F 叫做抛物线的＿＿＿，定直线l 叫做抛物线的＿＿＿.

3. 抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。 合作探究

1. 由教材探究过程容易得到双曲线的定义．

叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P 。 2. 双曲线标准方程的推导过程

思考：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法自己建立直角坐标系．

类比椭圆：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a , b , c 的关系有明显的几何意义．

类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程

y 2x 2

-=1(a >0, b >0)．推导过程： b 2a 2

3. 已知双曲线两个焦点分别为F 1(-5,0)，F 2(5,0)，双曲线上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

4. 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为

340m /s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

练习反馈

1. 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）a=3,b=4,焦点在x 轴上；

（2）焦点为（0，-10），（0，10），双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16；

（3）焦点为（0，-5），（0,5），经过点（2，

35

）。 2

2x 2y 22

2. 证明：椭圆+=1与双曲线x -15y =15有相同的焦点。

259

2.3.2双曲线的简单性质

学习目标:1. 了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）

通过方程，研究曲线的性质．

2. 理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；

3. 掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念．

重点、难点：理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的

概念；

掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题

自主学习 复习旧知

1. 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于＿＿＿（小于F 1F 2）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的＿＿＿，两定点间的距离叫做双曲线的＿＿＿．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P

=M MF 1-MF 2=2a 2. 写出焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,

3. 写出焦点在Y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 合作探究

1. 通过图像研究双曲线的简单性质：

{}

y 2x 2

①范围：2=2-1≥0，进一步得：x ≤-a ，或x ≥a ．这

b a

说明双曲线在不等式x ≤-a ，或x ≥a 所表示的区域；

②对称性：由以-x 代x ，以-y 代y 和-x 代x ，且以-y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

x 2y 2b

④渐近线：直线y =±x 叫做双曲线2-2=1的渐近线；

a a b

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比e =

2

2

c

叫做双曲线的离心率（e >1） a

2. 求双曲线9y -16x =144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．

x 2y 2

-=

1共渐近线，且经过A -3点的双曲线的标准方及离心率．3. 求与双曲线 169

()

练习反馈

1. 求下列双曲线的实轴和虚轴的长，焦距和离心率： （1）9

x

2

—

y

2

y 2x 2

=81； （2） - =1

925

x 2y 2x 2y 2

2. 已知双曲线-=1与双曲线 -+ =1，它们的离心率e 1，e 2是否满足等式

916916

e e

1

-2

+

-22

=1

3. 如图，设M (x , y )与定点F (5,0)的距离和它到直线l ：x =求点M 的轨迹方程．

分析：若设点M (x , y )，则

M F =

165的距离的比是常数，

45

到直线

l ：x =

1616

的距离d =x -，则容易得点M 的轨迹方程．

55

图2-3-1

第三章 变化率与导数

3.1 变化的快慢与变化率

3.1.1 平均变化率

学习目标：1、通过大量实例，了解平均变化率的计算，并能掌握求一个函数在某一区间

内的平均变化率。

2、理解平均变化率的几何意义。

重点、难点：平均变化率的几何意义。 自主学习

（1）令∆f =f (x 2) -f (x 1) 或∆f =f (x 1+∆x ) -f (x 1) , ∆x =x 2-x 1，函数f (x ) 在

[x 1, x 2]上的平均变化率可简记作∆x , ∆f 可正可负。

（2）平均变化率的几何意义：函数f (x ) 在[x 1, x 2]上的平均变化率是过点 两点的割线的斜率。 合作探究

例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

例2水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t 秒后容器甲中的水的体积V (t ) =5e 位cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率。

例3已知函数f (x ) =x ，分别计算f (x ) 在下列区间上的平均变化率： （1）[1, 3] （2）[1, 2] （3）[1, 1. 1] （4）[1, 1. 001]

2

-0. 1t

（单

3

例4已知函数f (x ) =2x +1, g (x ) =-2x ，分别计算在区间[-3, -1]，[0, 5]上f (x ) 及

g (x ) 的平均变化率。

练习反馈

1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？

2、国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（其中W 1(t ) ，W 2(t ) 分别表示甲、乙两企业的排污量），试比较两个企业的治污效果。

3、已知f (x ) =3x +1，求f (x ) 在区间[a , b ]上的平均变化率： （1）a =-1, b =2 （2）a =-1, b =1 （3）a =-1, b =-0. 9

4、求经过函数y =x 图像上两点A , B 的直线的斜率：

（1）x A =1, x B =1. 001 （2）x A =1, x B =0. 9

（3）x A =1, x B =0. 99 （4）x A =1, x B =0. 999

2

3.1导数的概念及其几何意义&3.2计算导数

3.1.2 瞬时变化率

学习目标：1、认清平均变化率与瞬时变化率的区别和联系。

2、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。

3、掌握在物理学中，瞬时变化率的应用：瞬时速度和瞬时加速度。

重点、难点：理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。

自主学习

1、f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率是

2、f (x ) 在x =x 0处的瞬时变化率是合作探究

例1、圆面积A 和直径d 的关系由A =

时变化率是多少？

π9d 2表示，当直径d =10时，面积关于直径的瞬

例2、设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t 秒时的速度为v (t ) =t +3，求t =t 0秒时轿车的加速度。

例3、物体作直线运动的方程为s =s (t ) =3t -5t

（1） 求物体在2秒到4秒时的平均速度；

（2） 求物体在2秒时的瞬时速度；

（3） 求物体在t 0秒时的瞬时速度。

练习反馈

1、一质点的运动方程为s =t +10（位移单位：米，时间单位：秒）试求该质点在t =3秒的瞬时速度。

2、自由落体运动的位移S (m ) 与时间t (s ) 的关系为S =

（1） 求t =t 0秒时的瞬时速度。

（2） 分别求t =0、1、2秒时的瞬时速度。

22212gt （g 为常数） 2

3、某个物体走过的路程s （单位：m ）是时间t （单位：s ）的函数：s=t2—1，通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：

（1）x=1 （2）x=—1 （3）x=4

4、通过平均变化率估计函数y=1+2在下列各点的瞬时变化率： x

（1）x=—1 （2）x=3 （3）x=4

3.2 导数的概念及其几何意义&3.3计算导数

3.2.1 导数的概念

学习目标：1、理解导数的定义，并能求出一般函数的导数，理解某点处导数的几何意义；2、理解导数与瞬时速度、瞬时加速度的关系。重点、难点：理解导数的定义，并能求出一般函数的导数

自主学习

1、函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 上有定义，x 0∈(a , b ) ，当∆x 无限趋近于0时，比值∆y

∆x

无限趋近于一个常数A ，则称f (x ) 在点x =x 0处 ，并称该常数A 为函数f (x ) 点x =x 0处的，记作 。2、把上式中的x 0看成变量x 时，f ' (x ) 即为f (x ) 的3、函数y =f (x ) 在点x =x 04、瞬时速度是运动物体位移S (t ) 对时间t 的导数，即为v (t ) = 。

合作探究

例1、 已知f (x ) =x +2（1）求f (x ) 在x =1处的导数；（2）求f (x ) 在x =a 处的

导数。2

例2、 曲线y =t +t +t +1的一条切线与已知直线x +y +1=0垂直，求切点坐标。

例3、 求过点(2, 0) 且与曲线y =

练习反馈

1、一物体的运动方程是s =1-t +t ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在t =3时的瞬时速度为__________。（

2、质点运动方程为S =3t +1（位移单位：米，时间单位：秒），分别求t =1s , t =2s 时的速度。3、求下列函数在已知点处的导数：

（1）y =3x +1在x =3处的导数；

（2）y =x 在x =a 处的导数；

（3）y =

22321相切的直线方程。x 1在x =2处的导数。 x

4、f ' (1) 与f (1) 的含义有什么不同？f ' (1) 与f ' (x ) 的含义有什么不同？

3.2.2 导数的几何意义及应用学习目标：1、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。

2、会求曲线上一点P 处的切线方法。

重点：求曲线上一点P 处的切线方程。

难点：利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率

自主学习

（1）导数的几何意义：

函数y =f (x ) 在x =x 0处的导数等于在该点处的切线的斜率，

即 f '(x 0) =lim ∆x →0f (x 0+∆x ) -f (x 0) =k ∆x

点的坐标; ②求出函数在点说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P x 0处的变化率

f '(x 0) =lim ∆x →0f (x 0+∆x ) -f (x 0) =k ，得到曲线在点(x 0, f (x 0)) 的切线的斜率； ∆x

③利用点斜式求切线方程.

（2）导函数：

由函数f (x ) 在x =x 0处求导数的过程可以看到, 当时, f '(x 0) 是一个确定的数，那么, 当x 变化时, 便是x 的一个函数, 我们叫它为f (x ) 的导函数. 记作：f '(x ) 或y '，

即: f '(x ) =y '=lim ∆x →0f (x +∆x ) -f (x ) ∆x

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（3）函数f (x ) 在点x 0处的导数f '(x 0) 、导函数f '(x ) 、导数 之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数f '(x 0) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数

3）函数f (x ) 在点x 0处的导数f (x 0) 就是导函数f '(x ) 在x =x 0处的函数值，这也是 求函数在点x 0处的导数的方法之一。

合作探究

例1. 已知f (x ) =x ，求曲线y =f (x ) 在x =2

例2. 已知函数f (x ) =x 的图像上点P (

点的切线斜率。

例3. 求曲线y =x 在x =

练习反馈322' 39, ) ，则在该点的切线斜率是多少？并写出该4163处切线的倾斜角。 3

x 211．已知曲线y =的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） 42

A ．1

3 B ．2 2 ' C ．3 D ．4 2. f (x ) =ax +3x +2, 若f (1)=0, 则f (a ) 的值等于（ ）

A ．-2 B．30 C．-36 D．32

3．曲线y =x -2x -4x +2在点(1，-3) 处的切线方程是＿＿＿＿．

4．设曲线y =ax 在点（1，a ）处的切线与直线2x -y -6=0平行，则a =（ ）

A ．1 B．

5. 设曲线y =23211 C．- D．-1 22x +12) 处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a =（ ） 在点(3，x -1

A ．2 B．

31 2 C．-1 2 D．-2 6. 曲线y =x -2x +4在点(1，3) 处的切线的倾斜角为（ ）

7、分别求曲线f (x ) =x 在x =0，x =-2，x =3

8、曲线y =2x 上过点 的切线与直线x -2y +5=0平行。

29、曲线f (x ) =x 的一条切线的斜率时-4，求切点的坐标。

3.4 导数的四则运算法则

3.4.1 常见函数的导数

学习目标：掌握定义法求函数导数的方法，求熟练运用基本初等函数的求导公式，求常见

函数的导数

重点、难点：用定义推导常见函数的导数公式

自主学习

①：(kx +b )' = ②：C ' (C为常数) ③：(x )' =④：(loga x )' = ⑤：(a )' = ⑥：(e )' = ⑦：(lnx )' = ⑧：(sinx )' = ⑨：(cosx )' =

合作探究：

例1下列各项中，正确的为 （ ）

①：(2x +1)' =2；②：(ln2)' =x x a 1；③：[f (x 0)]'=f ' (x 0) ④：[f (x 0)]'=0 2

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

例2一质点的运动方程是S =2sin t

①：求t =π

3时的速度；

②：求该质点运动的加速度。

例3求抛物线y =x 2和直线y =x -1间最短距离。

练习反馈

1. 用定义法推导(x 3)' =3x 2；(x )' =1

2x

2. 求函数y =1

x 的图像在点（2，1

2）处的切线的方程。

3. 若直线y =-x +b 是函数y =1

x 图像的切线，求b 及切点坐标。

4. 若对于任意x ，有f ' (x ) =4x ，f (1) =-1，则此函数f (x ) =5.

6. 直线y =31x +3能作为函数y =f (x ) 图像的切线吗？若能，求出切点坐标，若不能，2

14x ②f (x ) =x ③f (x ) =sin x ④f (x ) =e x 简述理由： ①f (x ) =

3.4.2 函数的和、差、积、商的导数

学习目标：1、能利用导数公式及四则运算求简单函数的导数；

2、体会建立数学理论过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步发

展学生的思维能力。

重点、难点：利用求导法则求导

自主学习

①：[f (x ) ±g (x )]'=

②：[f (x ) ∙g (x )]'= ，若g (x ) =c 时，有[cf

③：[(x )]'= f (x ) ]'= ，(g (x ) ≠0) g (x )

=x 2+x 的导数。 合作探究 例1：求y

例2：. 求下列函数的导数

（1）

3f (x ) =x 2+sin x (2) g (x ) =x 3-x 2-6x +2 2

例3：求下列函数的导数（1）h (x ) =x ∙sin x （2）s (t ) =t 2+1

t

例4：求曲线y =x 2+2x -3在x =2处的切线方程。

练习反馈

1、求下列函数的导数

（1）y =x 2+cos x （2）y =2x -2ln x

（3）f (x ) =1

x 2 （4）f (x ) =x

2x +3

（5）f (x ) =sin x

x 2 （6）f (x ) =x 2-3x +1

2、求曲线y =e x 在x =0处的切线方程。

3、求曲线y

=πx -cos x 在x =62处的切线方程。

第四章 导数应用

4.1 函数的单调性与极值

4.1.1 导数与函数的单调性

学习目标：1、理解导数正、负与函数单调性之间的关系；2、能利用导函数确定函数的单调区间重点、难点：利用导函数求单调性

自主学习

已知y =f (x ) , x ∈(a , b ) , b ) ，有f '(x ) >0，则f (x ) 在区间(a , b ) 内

, b ) ，有f '(x )

合作探究例1、确定函数

例2、确定函数

f (x ) =x 2-4x +3在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数？ f (x ) =2x 3-6x 2+7在哪些区间上是增函数。

例3、确定函数f (x ) =sin x , x ∈(0,2π) 的单调区间。

例4、证明：当x >

1时，有>3-1

x 。

练习反馈

1、确定下列函数的单调区间

（1）y =x -x 2 （2）y =x -x 3

2、讨论函数f (x ) 的单调性：

（1）f (x ) =kx +b

（2）f (x ) =k

x

（3）f (x ) =ax 2+bx +c

3、用导数证明： （1）f (x ) =e x 在区间(-∞, +∞) 上是增函数；

（2）

f (x ) =e x -x 在区间(-∞,0) 上是减函数。

4.1.2 函数的极值

学习目标：1、掌握函数极值点的定义与求解步骤；

2、体会导数方法在研究函数性质中的一般性与有效性。

重点、难点：利用导数求极大、极小值

自主学习

1、极大值

2、极小值

3、极值与导数之间的关系：

（1）极大值与导数的关系：

（2）极小值与导数的关系：

合作探究

例1、求函数

例2、求函数

练习反馈 f (x ) =x 2-x -2的极值。 131f (x ) =x -4x +的极值。 33

1、求下列函数的极值：

(1)y

2、设函数

3、作出符合下列条件的函数图像

（1）

=x 2-7x +6 (2)y =x +1 x f (x ) 有极小值f (a ) 、极大值f (b ) ，f (a ) 一定小于f (b ) 吗？试作图说明。 f (4)=3, f '(4)=0, x 0, x >4时，f '(x )

（2）

f (1)=1, f '(1)=0, x ≠1时，f '(x ) >0

4.2 导数在实际问题中的应用

4.2.1 实际问题中导数的意义

学习目标：1、掌握解应用题的思路与方法，能分析出变量间的关系，建立起函数模型，

确定自变量的定义域。

2、能用导数的知识对实际问题求解。

重点、难点：1、建立起函数模型，确定自变量的定义域。

2、用导数的知识对实际问题求解

自主学习

解应用题的思路与方法：

1、审题：理解题意，分析问题的主要关系

2、建模：

3、求解：求得数学问题的解

4、反馈： 合作探究

例1、在边长为60厘米的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

例2、某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底半径，使得所用材料最省？

例3、在平面直角坐标系内，过点（1，4）引一直线，使它与两坐标轴上的截距都为正，且两截距之和最小，求这条直线的方程。

练习反馈

1、内接于半径为R 的半圆的矩形周长最大时，它的边长为 ；2、做一个容积为256L 的方底无盖水箱，它的高为 ，材料最省？

3、把长为60㎝的铁丝围成矩形，它的长为 ，宽为 时，面积最大。

4、把长100㎝的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？

4.2.2 最大值与最小值

学习目标：1．掌握函数最值的概念，会从几何直观理解函数的最值与其导数的关系，并

会灵活应用；

2．掌握求闭区间[a , b ]上的函数f (x ) 的最大值和最小值的思想方法和步骤；

3．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问

题的能力；

重点：正确理解函数最值的概念，掌握求函数最值的方法和步骤并能灵活应用；

难点：正确掌握“点是最值点”的充要条件，灵活应用导数求有关函数最值方面的问题。 自主学习

1．最大值与最小值的概念：

2．最值与极值的区别与联系：

3．求解函数最值的步骤是：

合作探究

例1．求函数f (x ) =x -3x +3在区间[-2, 4]上的最大值与最小值．

3

例2．求函数f (x ) =e -ex 在区间[-2, 2]上的最大值与最小值．

例3．求函数f (x ) =

x 1x +sin x 在区间[0, 2π]上的最大值与最小值． 2

x 2+2x +a 1, x ∈[1, +∞)． 例4．已知函数f (x ) =（1）当a =时，求函数f (x ) 的最小x 2

值；（2）若对于任意x ∈[1, +∞), f (x ) >0恒成立，试求实数a 的取值范围．

练习反馈

1．求下列函数在所给区间上的最值：

（1）f (x ) =x -x , x ∈[0, 2] （2）f (x ) =

2．求下列函数的值域：

（1）f (x ) =3x -9x +5, x ∈[-2, 2] （2）f (x ) =x -ln x , x ∈[, 3]

（3）y =

3．已知实数x 、y 满足x +y =2x ，求x y 的取值范围．

4．若函数f (x ) =x -2x +5在区间[-2, 2]上恒有f (x )

42222233x -1, x ∈[0, 2] x +2131ππx -cos x , x ∈[-, ] 222

围。

5．设函数f (x ) =ax -6ax +b 在区间[-1, 2]上的最大值为3，最小值为-29，且a >0，32

试求实数a 、b 的值

6．已知正四棱柱的体积为V ，试求：当正四棱柱的底面边长多大时其表面积最小．