平行四边形的单元测试卷

平行四边形的单元测试卷

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=70°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）

A ．55° B ．65° C ．75° D ．85°

2．（3分）若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为（ ）

A ．22 B ．26 C ．22或26 D．28

3．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，点E 为AD 中点，点F 为BC 边上任一点，过点F 分别作EB ，EC 的垂线，垂足分别为点G ，H ，则FG +FH 为（ ）

A ． B

． C

． D

．

4．（3分）如图，在正方形ABCD 中，AB=2，延长AB 至点E ，使得BE=1，EF ⊥AE ，EF=AE．分别连接AF ，CF ，M 为CF 的中点，则AM 的长为（ ）

A ．

2 B．

3 C． D ．

5．（3分）如图，一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠2=50°，

则∠1+∠3=（ ）

A ．90° B ．100° C ．130° D．180°

6．（3分）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）

A ．对角线相等 B ．对角线互相平分

C ．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直

7．（3分）如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，连接AD ，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（ ）

A ．AB=BC B ．AC=BC C ．∠B=60° D．∠ACB=60°

8．（3分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）

A ．AB=AD B ．AC ⊥BD C ．AC=BD D ．∠BAC=∠DAC

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9．（3分）在菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=4

则∠PDC 的度数为 ．

10．（3分）在菱形ABCD 中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为 ．

11．（3分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，若∠EAC=2∠CAD ，则∠BAE= 度．

，点P 在菱形内，若PB=PD=4，

12．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为 ．

13．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AD=4，点P 是直线AD 上一动点，若满足△PBC 是等腰三角形的点P 有且只有3个，则AB 的长为

14．（3分）如图，矩形ABCD 中，已知AB=6，BC=8，BD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 于点F ，则△BOF 的面积为 ．

15．（3分）已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO=1，那么BD=

16．（3分）如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则菱形的边长为 cm ．

三．解答题（共7小题，满分52分）

17．（6分）如图，在菱形ABCD 中，点E 为AB 的中点，请只用无刻度的直尺作图

（1）如图1，在CD 上找点F ，使点F 是CD 的中点；

（2）如图2，在AD 上找点G ，使点G 是AD 的中点．

18．（6分）如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF=BE．

19．（8分）如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且AE=BF．

（1）求证：DE=AF；

（2）求∠AOE 的度数．

20．（8分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AB 中点，点F 在CB 的延长线上，且EF ∥BD ．

（1）求证；四边形OBFE 是平行四边形；

（2）当线段AD 和BD 之间满足什么条件时，四边形OBFE 是矩形？并说明理由．

21．（8分）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于F ，连接CF ．

（1）求证：BD=AF；

（2）判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．

22．（8分）四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE=BF，连接AE 、AF 、EF ．

（1）求证：△ADE ≌△ABF ；

（2）若BC=8，DE=6，求△AEF 的面积．

23．（8分）已知：如图，△ABC 中，D 是BC 上任意一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ． ①试说明四边形AEDF 的形状，并说明理由．

②连接AD ，当AD 满足什么条件时，四边形AEDF 为菱形，为什么？

③在②的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 为正方形，不说明理由．

平行四边形的单元测试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1．（3分）（2017•钦州一模）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=70°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）

A ．55° B ．65° C ．75° D ．85°

【分析】如图，连接BF ，想办法求出∠CBF=75°，再证明△BCF ≌△DCF （SAS ），即可解决问题．

【解答】解：如图，连接BF ，

在菱形ABCD 中，∠BAC=∠BAD=×70°=35°，∠BCF=∠DCF ，BC=DC，

∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣70°=110°，

∵EF 是线段AB 的垂直平分线，

∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=35°，

∴∠CBF=∠ABC ﹣∠ABF=110°﹣35°=75°，

∵在△BCF 和△DCF 中，

，

∴△BCF ≌△DCF （SAS ），

∴∠CDF=∠CBF=75°，

故选C ．

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．（3分）（2017•临沂模拟）若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为（ ）

A ．22 B ．26 C ．22或26 D．28

【分析】根据AD ∥BC ，理解平行线的性质，以及角平分线的定义，即可证得∠ABE=∠AEB ，利用等边对等角可以证得AB=AE，然后分AE=3cm，DE=5cm和AE=5cm，DE=3cm两种情况即可求得矩形的边长，从而求解．

【解答】解：∵AD ∥BC ，

∴∠AEB=∠EBC

又∵BE 平分∠ABC ，即∠ABE=∠EBC ，

∴∠ABE=∠AEB ，

∴AB=AE．

当AE=3cm，DE=5cm时，AD=BC=8cm，AB=CD=AE=3cm．

∴矩形ABCD 的周长是：2×8+2×3=22cm；

当AE=3cm，DE=2cm时，AD=BC=8cm，AB=CD=AE=5cm，

∴矩形ABCD 的周长是：2×8+2×5=26cm．

故矩形的周长是：22cm 或26cm ．

故选C ．

【点评】此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，

注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．

3．（3分）（2017•平南县一模）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，点E 为AD 中点，点F 为BC 边上任一点，过点F 分别作EB ，EC 的垂线，垂足分别为点G ，H ，则FG +FH 为（ ）

A ． B

． C

． D

．

【分析】连接EF ，由矩形的性质得出AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，由勾股定理求出BE ，由SAS 证明△ABE ≌△DCE ，得出BE=CE=

积=△BEF 的面积+△CEF 的面积，即可得出结果．

【解答】解：连接EF ，如图所示：

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，

∵点E 为AD 中点，

∴AE=DE=1，

∴

BE=

==，

， ，再由△BCE 的面在△ABE 和△DCE 中，

∴△ABE ≌△DCE （SAS ），

∴

BE=CE=，

∵△BCE 的面积=△BEF 的面积+△CEF 的面积， ∴BC ×

AB=BE ×FG +CE ×FH ，

即BE （FG +FH ）=BC×AB ， 即（FG +FH ）=2×3，

；

解得：FG +FH=

故选：D ．

【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

4．（3分）（2017•和县一模）如图，在正方形ABCD 中，AB=2，延长AB 至点E ，使得BE=1，EF ⊥AE ，EF=AE．分别连接AF ，CF ，M 为CF 的中点，则AM 的长为（ ）

A ．

2 B．

3 C． D ．

【分析】连接AC ，易得△ACF 是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：连接AC ，

∴四边形ABCD 是正方形，

∴∠BAC=45°．

∵EF ⊥AE ，EF=AE，

∴△AEF 是等腰直角三角形，

∴∠EAF=45°，

∴∠CAF=90°．

∵AB=BC=2，

∴AC=

=2．

∵AE=EF=AB+BE=2+1=3，

∴

AF==3，

∴

CF=

==．

∵M 为CF 的中点，

∴AM=CF=

故选D ．

．

【点评】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

5．（3分）（2017春•句容市月考）如图，一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠2=50°，则∠1+∠3=（ ）

A ．90° B ．100° C ．130° D．180°

【分析】根据三角形的外角和为360°列出方程即可解决问题．

【解答】解：∵正方形的内角为90°，等边三角形的内角为60°，

又∵△ABC 的外角和为360°，

∴（∠1+90°）+（∠2+60°）+（60°+∠3）=360°，

∵∠2=50°，

∴∠1+∠3=100°，

故选B ．

【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角和定理等知识，解题的关键是利用三角形外角和等于360°列出方程解决问题，属于中考常考题型．

6．（3分）（2016•无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）

A ．对角线相等 B ．对角线互相平分

C ．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直

【分析】菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．

矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．

【解答】解：（A ）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；

（B ）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；

（C ）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；

（D ）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．

故选：C ．

【点评】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．

7．（3分）（2016•河池）如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，连接AD ，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（ ）

A ．AB=BC B ．AC=BC C ．∠B=60° D．∠ACB=60°

【分析】首先根据平移的性质得出AC ED ，得出四边形ACDE 为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．

【解答】解：∵将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，

∴AC ED ，

∴四边形ACDE 为平行四边形，

当AC=BC时，则DE=EC，

∴平行四边形ACED 是菱形．

故选：B ．

【点评】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AB CD 是解题关键．

8．（3分）（2016•遵义）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）

A ．AB=AD B ．AC ⊥BD C ．AC=BD D ．∠BAC=∠DAC

【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．

【解答】解：A 、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD 是菱形；

B 、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD 是菱形；

C 、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；

D 、∠BAC=∠DAC 时，

∵▱ABCD 中，AD ∥BC ，

∴∠ACB=∠DAC ，

∴∠BAC=∠ACB ，

∴AB=BC，

∴▱ABCD 是菱形．

∴∠BAC=∠DAC ．故命题正确．

故选C ．

【点评】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键．

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

9．（3分）（2017春•南岗区校级月考）在菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=4P 在菱形内，若PB=PD=4，则∠PDC 的度数为

【分析】分成P 在OA 上和P 在OC 上两种情况进行讨论，根据△ABD 是等边三角形可得

BD=AB=4，OB=OD=

BD=2，∠ADO=60°，再利用三角函数值可得，点

∠PDO=30°，进而可得答案．

【解答】解：设AC 和BE 相交于点O ．

当P 在OA 上时，

∵AB=AD，∠A=60°，

∴△ABD 是等边三角形，

∴BD=AB=4

∴cos ∠PDO=∴∠PDO=30°，

∴∠ADP=60°﹣30°=30°，

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB ∥CD ，

∴∠ADC=180°﹣60°=120°，

∴∠PDC=120°﹣30°=90°，

当P 在OC 上时，∵四边形ABCD 是菱形，

∴∠DCB=∠DAB=60°，DC=BC，

∴△DBC 是等边三角形，

∴∠BDC=60°，

∵∠PDO=30°，

∴∠PDC=30°，

故答案为：90°或30°．

，OB=OD=BD=2=， ，∠ADO=60°，

【点评】本题考查了菱形的性质，注意到P 在AC 上，应分两种情况进行讨论是

解题的关键．

10．（3分）（2016•杭州）在菱形ABCD 中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为．

【分析】如图当点E 在BD 右侧时，求出∠EBD ，∠DBC 即可解决问题，当点E 在BD 左侧时，求出∠DBE′即可解决问题．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C=30°，

∠ABC=∠ADC=150°，

∴∠DBA=∠DBC=75°，

∵ED=EB，∠DEB=120°，

∴∠EBD=∠EDB=30°，

∴∠EBC=∠EBD +∠DBC=105°，

当点E′在BD 右侧时，∵∠DBE′=30°，

∴∠E′BC=∠DBC ﹣∠DBE′=45°，

∴∠EBC=105°或45°，

故答案为105°或45°．

【点评】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，属于中考常考题型．

11．（3分）（2016•包头）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，若∠EAC=2∠CAD ，则∠BAE= 22.5 度．

【分析】首先证明△AEO 是等腰直角三角形，求出∠OAB ，∠OAE 即可．

【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，

∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，

∴OA=OB═OC ，

∴∠OAD=∠ODA ，∠OAB=∠OBA ，

∴∠AOE=∠OAD +∠ODA=2∠OAD ，

∵∠EAC=2∠CAD ，

∴∠EAO=∠AOE ，

∵AE ⊥BD ，

∴∠AEO=90°，

∴∠AOE=45°，

∴∠OAB=∠

OBA==67.5°，

∴∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．

故答案为22.5°．

【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO 是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．

12．（3分）（2016•成都）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD

【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD 即可．

【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，

∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，

∴OA=OB，

∵AE 垂直平分OB ，

∴AB=AO，

∴OA=AB=OB=3，

∴BD=2OB=6，

∴AD=故答案为：3=． =3；

【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

13．（3分）（2016•宿迁）如图，在矩形ABCD 中，AD=4，点P 是直线AD 上一动点，若满足△PBC 是等腰三角形的点P 有且只有3个，则AB

【分析】要求直线AD 上满足△PBC 是等腰三角形的点P 有且只有3个时的AB 长，则需要分类讨论：①当AB=AD时；②当AB ＜AD 时，③当AB

＞AD 时．

【解答】解：①如图，当AB=AD时

满足△PBC 是等腰三角形的点P 有且只有3个，

△P 1BC ，△P 2BC 是等腰直角三角形，△P 3BC 是等腰直角三角形（P 3B=P3C ）， 则AB=AD=4．

②当AB ＜AD ，且满足△PBC 是等腰三角形的点P 有且只有3个时，如图，

易知P 2是AD 的中点，BC=BP1=BP2=CP2=CP3

∴BP 2

=又∵BP 1=BC， ∴

∴

AB=2=4 ． =，

③当AB ＞AD 时，直线AD 上只有一个点P 满足△PBC 是等腰三角形．

故答案为：4或2．

【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．

14．（3分）（2016•泰安）如图，矩形ABCD 中，已知AB=6，BC=8，BD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 于点F ，则△BOF 的面积为

．

【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD ，证明△BOF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出BF ，根据勾股定理求出OF ，根据三角形的面积公式计算即可．

【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，

∴BD==10，

∵EF 是BD 的垂直平分线，

∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，

∴△BOF ∽△BCD ， ∴=，即=

，

=，

， ， 解得，

BF=则

OF=则△BOF 的面积=×OF ×OB=

故答案为：．

【点评】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．

15．（3分）（2016•茂名）已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO=1，那么BD= 2 ．

【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．

【解答】解：在矩形ABCD 中，

∵对角线AC 与BD 相交于点O ，AO=1，

∴AO=CO=BO=DO=1，

∴BD=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质．

16．（3分）（2016•南京）如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则菱形的边长为 13 cm ．

【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．

【解答】解：因为正方形AECF 的面积为50cm 2，

所以AC=cm ，

因为菱形ABCD 的面积为120cm 2，

所以BD=

所以菱形的边长

=

故答案为：13．

【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．

三．解答题（共7小题，满分52分）

17．（6分）（2016•江西模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 为AB 的中点，请只用无刻度的直尺作图

（1）如图1，在CD 上找点F ，使点F 是CD 的中点；

（2）如图2，在AD 上找点G ，使点G 是AD 的中点．

cm ， cm ．

【分析】（1）先连接对角线AC 和BD ，相交于点O ，再连接EO 并延长交CD 于F ；

（2）先连接AC 和ED 相交于点O ，再连接BO 并延长交AD 于点G ．

【解答】解：

（1）如图所示：

（2）如图所示：

【点评】本题考查的是作图的应用，掌握菱形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．

18．（6分）（2016•广安）如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF=BE．

【分析】连接AC ，根据菱形的性质可得AC 平分∠DAE ，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL 证明Rt △CDF ≌Rt △CBE ，即可得出DF=BE．

【解答】证明：连接AC ，

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AC 平分∠DAE ，CD=BC，

∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，

∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．

在Rt △CDF 与Rt △CBE 中，

，

∴Rt △CDF ≌Rt △CBE （HL ），

∴DF=BE．

【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．

19．（8分）（2017•永仁县一模）如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且AE=BF．

（1）求证：DE=AF；

（2）求∠AOE 的度数．

【分析】（1）首先证明△ABE ≌△BCF ，再证明△ADF ≌△DCE 即可解决问题．

（2）根据平角的定义即可解决．

【解答】（1）证明：在△ABE 和△BCF 中，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC=CD，

在△ABE 和△BCF 中，

∴△ABE ≌△BCF （HL ），

∴BE=CF，

∵BC=CD，

∴EC=DF，

在△ADF 和△DCE 中，

，

∴△ADF ≌△DCE ，

∴DE=AF．

（2）∵∠AOE 是平角，

∴∠AOE=180°．

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是相交添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

20．（8分）（2017•长安区一模）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AB 中点，点F 在CB 的延长线上，且EF ∥BD ．

（1）求证；四边形OBFE 是平行四边形；

（2）当线段AD 和BD 之间满足什么条件时，四边形OBFE 是矩形？并说明理由．

【分析】（1）首先证明OE 是△ABC 的中位线，推出OE ∥BC ，由EF ∥OB ，推荐可提出四边形OBFE 是平行四边形．

（2）当AD ⊥BD 时，四边形OBFE 是矩形． 只要证明∠EOB=90°即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴点O 是AC 的中点．

又∵点E 是边AB 的中点，

∴OE 是△ABC 的中位线，

∴OE ∥BC ，

又∵点F 在CB 的延长线上，

∴OE ∥BF ．

∵EF ∥BD ，即EF ∥OB ，

∴四边形OBFE 是平行四边形．

（2）当AD ⊥BD 时，四边形OBFE 是矩形．

理由：由（1）可知四边形OBFE 是平行四边形，

又∵AD ⊥BD ，AD ∥BC ，且点F 在BC 的延长线上，

∴FC ⊥BD ，

∴∠OBF=90°，

∴四边形OBFE 是矩形．

【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、矩形的判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．

21．（8分）（2017•蓝田县一模）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于F ，连接CF ．

（1）求证：BD=AF；

（2）判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）根据AAS 证△AFE ≌△DBE ，即可得出结论；

（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF 是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论．

【解答】（1）证明：∵AF ∥BC ，

∴∠AFE=∠DBE ，

∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE 和△DBE 中，

∴△AFE ≌△DBE （AAS ），

∴BD=AF； ，

（2）解：四边形ADCF 是菱形；理由如下：

由（1）知，AF=DB．

∵DB=DC，

∴AF=CD．

∵AF ∥BC ，

∴四边形ADCF 是平行四边形，

∵∠BAC=90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，

∴AD=DC=BC ，

∴四边形ADCF 是菱形．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．

22．（8分）（2017•石城县一模）四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE=BF，连接AE 、AF 、EF ．

（1）求证：△ADE ≌△ABF ；

（2）若BC=8，DE=6，求△AEF 的面积．

【分析】（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE ≌△ABF ；

（2）先利用勾股定理可计算出AE=10，再根据△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90°得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，

而F 是CB 的延长线上的点，

∴∠ABF=90°，

在△ADE 和△ABF 中，

，

∴△ADE ≌△ABF （SAS ）；

（2）解：∵BC=8，

∴AD=8，

在Rt △ADE 中，DE=6，AD=8，

∴

AE==10，

∵△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE=AF，∠EAF=90°，

∴△AEF 的面积=AE 2=×100=50．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质以及勾股定理等知识点．

23．（8分）（2017•临沂模拟）已知：如图，△ABC 中，D 是BC 上任意一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ．

①试说明四边形AEDF 的形状，并说明理由．

②连接AD ，当AD 满足什么条件时，四边形AEDF 为菱形，为什么？

③在②的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 为正方形，不说明理由．

【分析】①根据DE ∥AC ，DF ∥AB 可判断四边形AEDF 为平行四边形；

②由四边形AEDF 为菱形，能得出AD 为∠BAC 的平分线即可；

③由四边形AEDF 为正方形，得∠BAC=90°，即当△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形即可．

【解答】解：①∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，

∴四边形AEDF 为平行四边形；

②∵四边形AEDF 为菱形，

∴AD 平分∠BAC ，

则AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 为菱形；

③由四边形AEDF 为正方形，∴∠BAC=90°，

∴△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形即可．

【点评】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质以及矩形的性质．