[等比数列]教学设计(

《等比数列》教学设计（共2课时）

一、教材分析：

1、内容简析：

本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。

2、教学目标确定：

从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）：

第一课时：

（1）理解等比数列的概念 ，掌握等比数列的通项公式及公式的推导

（2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力

（3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识

第二课时：

（1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概

念，掌握等比数列的性质

（2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用

3、教学重点与难点：

第一课时：

重点：等比数列的定义及通项公式

难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题

第二课时：

重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用

难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题

二、学情分析：

从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。

高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。

多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。

三、教法选择与学法指导：

由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握数列的相关知识。因此，在教法和学法上可做如下考虑：

1、教法：采用问题启发与比较探究式相结合的教学方法

教法构思如下：提出问题−−−−−−−→引发认知冲突−−−−−−−−→观察分析−−−−−→归纳概括−−−−→得出结论−−−−→总结提高。在教师的精心组织下，对学生各种能力进行培养，并以促进学生发展，又以学生的发展带动其学习。同时，它也能促进学生学会如何学习，因而特别有利于培养学生的探索能力。

2、学法指导：

学生学习的目的在于学会学习、思考，达到创新的目的，掌握科学有效的学习方法，可增强学生的学习信心，培养其学习兴趣，提高学习效率，从而激发强烈的学习积极性。我考虑从以下几方面来进行学法指导：

（1） 把隐含在教材中的思想方法显化。如等比数列通项公式的推导体现了从特殊

到一般的方法。其通项公式a n =a 1q n -1是以n 为字变量的函数，可利用函数

思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。

（2） 注重从科学方法论的高度指导学生的学习。通过提问、分析、解答、总结，

培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。训练逻辑思维的严密性和

深刻性的目的。

四、教学过程设计：

第一课时

1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片）

情境1：本章引言内容

提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？

引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为：

1，2，2, 2, 2, „„，2 （1）

于是发明者要求的麦粒总数是 1+2+22+23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+263

情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，„„，还款数额依次满足什么规律？

10000(1+r),10000(1+r ) ,10000(1+r ) , „„ （2）

情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继2323463作用于原来的认知结构在原有认知的基础上分析在特殊情况下一般情况下例题和练习

111, , , „„ （3） 248

17问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得() 2

2、自主探究，找出规律：

学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常续取其一半，„„各次取得的木棒长度依次为多少？

数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q (q ≠0) 表示，即a n :a n -1=q (n ∈N , n ≥2, q ≠0) 。

1 2

点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。

3、观察判断，分析总结：

观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：

1，3，9，27，„„

111-1, -, -, -, „„ 248

1，-2，4，-8，„„

-1，-1，-1，-1，„„

1，0，1，0，„„ 如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,

思考：①公比q 能为0吗？为什么？首项能为0吗？

②公比q =1是什么数列？

③q 0数列递增吗？q 0数列递减吗？

④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：

这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。

选题分析；因为等差数列公差d 可以取任意实数，所以学生对公比q 往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比q 有防患意识，问题③是让学生明白q

要注意与等差数列的区别。 0时等比数列的单调性不定，而q 0时数列为摆动数列，

备选题：已知x ∈R 则x , x 2, x 3, „„x n ，„„成等比数列的从要条件是什么？

4、观察猜想，求通项：

方法1：由定义知道a 2=a 1q , a 3=a 2q =a 1q 2, a 4=a 3q =a 1q 3, „„归纳得：等

比数列的通项公式为：a n =a 1q n -1(n ∈N *)

（说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对

这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶

段我们只承认它是正确的就可以了）

方法2：迭代法

根据等比数列的定义有

a n =a n -1⋅q =a n -2⋅q 2=a n -3⋅q 3=„„=a 2⋅q n -2=a 1⋅q n -1

方法3：由递推关系式或定义写出：a a a 2a =q , 3=q , 4=q , „„n =q ，通过观a 1a 2a 3a n -1

察发现a a 2a 3a 4∙∙∙„„n =q ⋅q ⋅q „„q =q n -1 a 1a 2a 3a n -1

∴a n =q n -1，即：a n =a 1q n -1(n ∈N *) a 1

（此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用） 公式a n =a 1q n -1(n ∈N *) 的特征及结构分析：

（1） 公式中有四个基本量：a 1, n , q , a n ，可“知三求一”，体现方程思想。

（2） a 1的下标与的q n -1上标之和1+(n -1) =n ，恰是a n 的下标，即q 的指数比

项数少1。

5、问题探究：通项公式的应用

例、已知数列{a n }是等比数列，a 3=-2, a 8=64，求a 14的值。

44备选题：已知数列{a n }满足条件：a n =p () n ，且a 4=-。求a 8的值 525

6、课堂演练：教材138页1、2题

5 备选题1：已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 3=10, a 4+a 6=，求a 4的值 4

备选题2：公差不为0的等差数列{a n }中，a 2, a 3, a 6依次成等比数列，

则公比等于

7、归纳总结：

（1）等比数列的定义，即a n =q n -1(q ≠0) a 1

（2）等比数列的通项公式a n =a 1q n -1(n ∈N *) 及推导过程。

8、课后作业：

必作：教材138页练习4；习题1（2）（4）2、3、4、5

选作：1、已知数列{a n }为等比数列，且a 1+a 2+a 3=7, a 1a 2a 3=8，求a n

2、已知数列{a n }满足a 1=1, a n +1=2a n +1

（1）求证：{a n +1}是等比数列；。

（2）求{a n }的通项a n 。

第二课时

1、复习回顾：

上节课，我们学习了„„（打出幻灯片）

（1） 等比数列定义：a n :a n -1=q (n ∈N , n ≥2, q ≠0)

（2） 通项公式：a n =a 1q n -1(n ∈N *, q ≠0)

（3）若n -1n -1a n n -1) 对不对？ ，数列{a n }是等比数列吗？a n =a 1⋅(=n a n -1n

（注意：考虑公比q 为常数）

2、尝试练习：

在等比数列{a n }中

（1）a 2=18, a 4=8，求a 1, q

（2）a 5-a 1=15, a 4-a 2=6, 求a n

（3）在－2与－8之间插入一个数A ，使－2，A ，－8成等比数列，求A

（鼓励学生尝试用不同的方法求解，相互讨论分析不同的解法，然后归纳出等比数列的性质）

3、性质探究：

（1）若a,G,b 成等比数列，则G 2=ab 有，称G 为a,b 的等比中项，

即G =(a 与b 同号）；

思考：a 2是谁的等比中项？a 3呢？a n 呢？

总结归纳得到性质（2）

2 （2）a n =a n -1⋅a n +1(n ≥2)

2 逆向思考：若数列{a n }满足a n =a n -1⋅a n +1(n ≥2) ，它一定是等比数列吗？

（3）若m +n =p +q ，则a m ⋅a n =a p ⋅a q (m , n , p , q 为正整数）

（4）a n =a m ⋅q n -m (n m , n , m ∈N *)

4、灵活运用：

下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题。

例1、 在等比数列{a n }中，a 3⋅a 5=100，求a 4

变式1、等比数列{a n }中，若a 2=2, a 6=162，则a 10=变式2、等比数列{a n }中，若a 7⋅a 12=5，则a 8⋅a 9⋅a 10⋅a 11=

变式3、等比数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3=7, a 1⋅a 2⋅a 3=8，则a n ＝例2、 已知数列{a n }, {b n }是项数相同的等比数列，求证：{a n ⋅b n }是等比数列。

变式1、已知数列{a n }, {b n }是项数相同的等比数列，问数列{a n +b n }是等比数列吗？ 变式2、已知数列{a n }是等比数列，若取出所有偶数项组成一个新数列，此数列还是等比数列

吗？若是，它的首项和公比分别为多少？

变式3、已知数列{a n }是等比数列，若取出a 10, a 20, a 30, „„组成一个新数列，此数列还是等比

数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？

变式4、已知数列{a n }是等比数列，若每一项乘以非零常数C 组成一个新数列，此数列还是等

比数列吗？若是，它的首项和公比分别为多少？

（通过上述问题的讨论求解，归纳、总结、推广得出等比数列的一些性质）

例3、 三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，求这三个数。

备选题、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这

四个数。

5、课堂演练：

教材138页3、4、5

备选题：已知数列{a n }为等比数列，且a n 0, a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25则a 3+a 5=备选题：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项

的和为18，求这四个数。

6、归纳总结：

（1）等比中项的概念

（2）等比数列有关性质

7、课后作业：

必作：教材139页习题6、7、10、11

选作：1、在数列{a n }, {b n }中，a n 0, b n 0，且a n , b n , a n +1成等差数列，b n , a n +1, b n +1成

等比数列，a 1=1, b 1=2, a 2=3，求a n :b n 的值。

2、设x

y x -y x , y , 2，且x +y , y 能按某种顺序构成等比数列，求这个等比数列。 x