求点到直线的距离的几种方法

编号

学士学位论文

求点到直线的距离的几种方法

学生姓名： 热彦古力·沙吾提 学 系 专 年 号： [1**********] 部： 数学系 业： 数学与应用数学 级： 2003-1 班 年 月 日

指导教师： 买米提依明·克力木 完成日期： 2008 4 25

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中文摘要

点到直线的距离指的是点到直线的垂直线段的长度。 本文讨论推出点到直线的距离公式的几种方法和有关的例题。

关键词：点，直线，距离。

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目

录

中文摘要 .................................................................................................................... 1 引言 ............................................................................................................................ 1 1.直线 Ax  By  C  0 中 A  0, B  0 的时候求点到直线的距离.......................... 1

1.1 用三角形的相似来推出点到直线的距离 ........................................................................ 1 1.2 用求三角形的面积来推出点到直线的距离 .................................................................... 2 1.3．用直线与圆的相切的条件来推出点到直线的距离 ..................................................... 2 1.4 用向量的性质来推出点到直线的距离............................................................................ 3 1.5 用点对直线的对称性来推出点到直线的距离 ................................................................ 4 1.6．用两点之间的距离公式来推出点到直线的距离 ......................................................... 5 1.7．用函数的最小值来推出点到直线的距离 ..................................................................... 6

2.直线方程中 A  0 的时候求点到直线的距离 ................................................. 11 3.直线方程中 B

 0 的时候求点到直线的距离 ................................................. 11

总结 .......................................................................................................................... 12 参考文献 .................................................................................................................. 13 致谢 .......................................................................................................................... 14 中文摘要 .................................................................................................................. 14 目 录 ........................................................................................................................ 1

2

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引言

在直角坐标系中给定点 po 的坐标为  xo , yo  ，直线 l 的方程为

Ax  By  C  0  A  0, B  0  。下面我们要讨论用不同的

方法来推出给定点 p0 到直

线 l 的距离。

1.直线 Ax  By  C  0 中 A  0, B  0 的时候求点到直线的距离

1.1 用三角形的相似来推出点到直线的距离

 C  设直线 l : Ax  By  C  0  A  0, B  0  与 x, y 轴分别相交于点 E   , 0  ，  A 

B  F  0,   。从点 C  Ax  C   p0 作 x 轴的垂线与直线 l 相交与点 Q  x0 ,  0  ，垂足为 B  

M ，从点 P0 再作直线 l 的垂线垂足为 N ，则 d  p0 N 。

因为 Rt EFO 所以

P0 N OE  P0Q EF

B  F  0,   C 

y

p0 ( x0 , y0 )

P0 N  C C A

Ax  C y0  0 B A B AB

2 2

N

Ax  C   Q  x0 ,  0  B  

o

M E

x

因为 P0 N  d 所以

d  C C A

y0 

Ax0  C B A2  B 2 AB

1

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d

Ax  C C y0  0 A B C A2  B 2 AB



Ax 0  By0  C A2  B 2

1.2 用求三角形的面积来推出点到直线的距离

C  C   如 图 所 示 直 线 L 与 x, y 轴 分 别 相 交 于 点 E   , 0  , F  0,   ， 从 点 P0 作 B  A  

P0 N  L 于 N

因为

S EP0 F

C 01 A C  Ax0  By0  C  1  x0 y0 1  2 2 AB C 0  1 B 

又因为

S EP0 F

1 C A2  B 2  EF P0 N  d 2 2 AB  C A2  B 2 d 2 AB

所以

C  Ax0  By0  c  2 AB

C  Ax0  By0  C  Ax0  By0  C 2 AB d  2 2 C A B A2  B 2 2 AB

1.3．用直线与圆的相切的条件来推出点到直线的距离

设点 P0 为圆心，直线 L 为圆的切线则点 P0 到直线 L 的距离是指圆的半径 r 所以 r  d ，直线与圆的方程为

L : Ax  By  C  0  A  0, B  0 

①

2

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P0 :  x  x0    y  y0   d 2

2 2

②

从式①解出 y 

 Ax  C 代入②得 B

 Ax  C   y0   d 2  x  x    B  

2 2

整理得

A

2

 B 2  x 2  2  B 2 x0  A  By0  C   x  

2   B 2  x0 2  d 2   By 0  C   0    





因为直线与圆相切所以它们具有一个公共点即   0

  4  B 2 x0  A  By0  c    

2

4  A2  B 2   B 2  x0 2  d 2   By 0  C  





2

0  

整理得

 Ax0  By0  C 

d

2

2

  A2  B 2  d 2

2

 Ax0  By0  C  

A2  B 2 Ax0  By0  C A2  B 2

d

1.4 用向量的性质来推出点到直线的距离

uuur 设点 Q  x, y  , Q1  x1 , y1  是直线 L 上的不同的两个点则 Q1Q  x  x1, y  y1  ， 由直线

r 的方程 Ax  By  C  0  A  0, B  0 把直线 L 的法向量可以表示为 n   A, B  ，从点

P0 作 OP0  L 于 O

则

 Ax  By  C  0   Ax1  By1

 C  0

3

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A  x  x1   B  y  y1   0

所以

r uuur n  Q1Q  0

uuu r r r 可见 n 与直线 L 互相垂直，设 PQ 与 n 所成的角为  于是

uuu r uuu r r r P0Q  n  P0Q n cos

uuu r r uuu r r P0Q  n P0Q  n cos   uuu r  cos   uuu r r r P0Q n P0Q n

Rt P0OQ 中

①

uuu r OP0 uuu r d cos  uuu  uuu  d  P0Q cos  r r P0Q P0Q

②

把式①代入②得

uuu r r uuu r r P0Q  n uuu P0Q  n r  x0  x, y0  y  A, B  d  P0Q uuu r   r r n A2  B 2 P0Q n

 Ax0  Ax  By0  By A2  B 2  Ax0  By0   Ax  By  A2  B 2



Ax0  By0  C A2  B 2 Ax0  By0  C A2  B 2

所以

d

5．用点对直线的对称性来推出点到直线的距离

设点 P0  x0 , y0  对直线 L : Ax  By  C  0 的对成点是 P  x1 , y1  则 1

 B y1  y0   1 A x1  x0

4

①

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因为线段 P0 P 的中点 1

 x  x y  y0  N 1 0 , 1  在直 2   2

线 L 的上面所以点 N 的坐标 满足直线 L 的方程即 x x y y A 1 0  B  1 0  C  0 2 2 由式①②可以得点 P1 的坐标

②

  A2  B 2  x0  2 ABy0  2 AC 2 ABx0   A2  B 2  y0  2BC   P   1   A2  B 2 A2  B 2  

P0 P  2d  1

 x0  x1    y0  y1 

2

2

  A2  B2  x0  2 ABy0  2 AC    y  2 ABx0   A2  B2  y0  2BC   x0          A2  B 2 A2  B 2    

2

2



2 Ax0  By0  C A2  B 2 d Ax0  By0  C A2  B 2

所以

1.6．用两点之间的距离公式来推出点到直线的距离

过 点 P0 作 直 线 L 的 垂 线 L ， 垂 足 为 Q  x, y  由 L  L 可 知 L 的 斜 率

k  B B  A  0  ， 据 直 线 的 点 斜 式 写 出 L 的 方 程 ： y  y0   x  x0  即 A A

 Bx  Bx0  Ay  Ay0  0

 L : Ax  By  C  0   L :  Bx  Bx0  Ay  Ay0  0  

5

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 ABx  B 2 y  BC  0   2 2  ABx  ABx0  A y  A y0  0 

B 2 y  A2 y  BC  A2 y0  ABx0  0

y  B 2  A2   BC  A2 y0  ABx0  0

A2 y0  ABx0  BC A2  B 2

y

③

从式 1 解出 x 

 By  C ， y 的位置代入式③可以得 A

x  ABy0  B 2 x0  AC A2  B 2

所以点 Q 的坐标为

  ABy0  B 2 x0  AC A2 y0  ABx0  BC  ,   A2  B 2 A2  B 2  

  ABy0  B 2 x0  AC   A2 y0  ABx0  BC  P0Q    x0     y0  2 2 2 2 A B A B    

整理得

P0Q 

2

2

A

2

 B 2   Ax0  By0  C 

2

A

2

B

2 2





Ax0  By0  C A2  B 2

所以

d

Ax0  By0  C A2  B 2

1.7．用函数的最小值来推出点到直线的距离

点 P0 到直线 L 的距离就是点 P0 到直线 L 上的任意一点的距离的最小值 设 M  u , v  是直线 L 上的任意一点则 P0 M 

u  x0    v  y0 

2

2

1

点 M 是 L 上的任意一点所以它满足直线的方程即

Au + Bu + C = 0 ( A 构0, B 0)

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将 Au + Bu + C = 0 ( A 构0, B

0) 可写成

A  u  x0   B  v  y0    Ax0  By0  C   0

记   Ax0  By0  C 则 u  y0   代入式①得

P0 M 

1  A  u  x0      B

2

 u  y0 



2 1  A  u  x0      B2 

2



A2  B 2  A  2 ux 2  2   B2  A  B2  A  B2

因为 值

A  Ax0  By0  c  A2  B 2 A  x0  时 P0 M 取最小  0 所以当 u  x0  2 2 2 A B A2  B 2 B

用同样的方法可以知 u = y0 -

B ( Ax0 + By0 + C ) A2 + B 2

 A2  B 2

时 P0 M 取最小值

Ax0  By0  C A2  B 2

P0 M

min



2  A2  B 2



所以

d

Ax0  By0  C A2  B 2

例 1：求点 P0  1, 2  到直线 L : 2 x  y  10  0 的距离。

解法一：直线 L 与 x, y 轴分别相交于点 E  5, 0  , F  0,10  从点 P0 作 x 轴的垂线与 直线 L 相交于点 Q  1,12 

Rt EFO : Rt P0 NQ

P0 N OE  P0Q EF P0Q OE EF  10  5 2 5 5 5

P0 N 

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解法二：直线 L 与 x, y 轴分别相交于点 E  5, 0  , F  0,10  因为

5 0 1 1  1 2 1  25 2 0 10 1

S EP0 F

又因为

S EP0 F  25 

1 5 5 P0 N EF  P0 N 2 2

所以

5 5 P0 N  P0 N  2 5 2

解法三：设 P0  1, 2  为圆心，直线 L : 2 x  y  10  0 为圆的切线则直线 L 与圆

 P0 的方程为

2 x  y  10  0   2 2 2 2  x  1   y  2   r  d 

由式 1 解出 y  10  2 x 代入式 2 得

 

 x  1

整理得

2

 8  2 x   d 2

2

5x2  30 x  65  d 2

  302  4  5   65  d 2   0

因为圆与直线相切所以它们具有只要一个公共点即   0

d 2  400  d  2 5

uuu r 解法四：设 Q  x, y  , Q1  x1 , y1  是直线 L 上的不同的两个点则 Q1Q  x  x1 , y  y1  ，

r 由于 A, B 不同时为零，把直线 L 的法向量可以表示为 n  2,1 则

2 x  y  10  0  2 x1  y1  10  0

2  x  x1    y  y1   0

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r r uuu r 所以 n  Q1Q  0 可见向量 n 与直线 L 互相垂直， uuu r r 设 P0Q 与 n 之间的夹角为  则

r r uuu r r uuu n  P0Q n  P0Q cos   r uuu  cos  

r uuu r r n P0Q n P0Q

①

从点 P0 作 P0O  L 于点 O ， Rt P0OQ 中

uuu r P0Q uuu r d cos   uuu  uuu  d  P0Q cos  r r P0Q P0Q

②

把式①代入②得

r r uuu n  P0Q  A, B  x0  x, y0  y   d r n A2  B 2

 Ax0  By0  c 5  10 5

所以 d  2 5 解法五：设点 P0 关于直线 L 的对称点为 P  x1 , y1  , P P0 的斜率与直线 L 的斜率的 1 1 积

 B y1  y0   1 A x1  x0

①

x x y y  因为 PP0 的中点 N  1 0 , 1 0  在直 1 2   2

线 L 的上面所以点 N 的坐标 满足直线 L 的方程即

2

 1  x1    2  y1   10  0

2 2

2

由式①②得点 P1 的坐标  7, 6 

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P0 P  2d  1



所以

d 2 5

 x0  x1    y0  y1 

2

2 2

2

 1  7    2  6

4 5

解法六： 设点 P0  1, 2  到直线 L : 2 x  y  10  0 的垂线为 L ， 垂足为 Q ， L  L 可 由 知 L 的斜率 K  

1 1 ，根据点斜式写出 L 的方程： y  2   x  1 即 x  2 y  5  0 2 2

 L : 2 x  y  10  0  x  3    L : x  2 y  5  0 y  4

所以点 Q 的坐标为  3, 4 

P0Q 

所以

d 2 5

 x2  x1    y2  y1 

2

2



3  1   4  2

2

2

2 5

解法七：我们所求的距离就是点 P0 到直线 L 上的任意一点 M 的距离的最小 值，因为点 M  u , v  是直线 L : 2 x  y  10  0 的上面 所以

P0 M 

u  1   v  2

2

2

①

由点 M 满足直线 L 的方程则 2u  v 10  0 将 2u  v 10  0 可以写成 2 (u + 1) + (u - 2)- 10 = 0 从这个方程解出 v  2  2u  8 代入式①得

P0 M 

整理得

u  1   2u  8

2 2

2

P0 M  5  u  3  20

当 u  3  0 时 P0 M 取最小值所以当 u  3 时 P0 M 取最小值 20 用同样方法可 知 u = 4 时 P0 M 取最小值 所以

P0 M

min

 20  2 5

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上面我们讨论了点 P0  x0 , y0  到直线 L : Ax  By  C  0  A  0, B  0 ，下面要讨 论直线 L 的方程 Ax  By  C  0 中 A  0 或 B  0 的时候怎样求点 P0 到直线 L 的距离 的问题。 实际上 A  0 或 B  0 的时候公式仍然成立，但不用公式也可以求到。

2.直线方程中 A  0 的时候求点到直线的距离

求点 P0  x0 , y0  到直线 L : By  C  0 的距离；

C  解：先作直线 L 的垂线 P0Q ，垂足为 Q  x0 ,   ， P0Q 与 x 轴相交与点 N  x0 , 0  B 

P0Q  P0 N  QN  y0  C C ，所以 d  y0  B B

例：求点 P 1,1 到直线 L : 2 y  1  0 的距离 解法 1：用距离公式

Ax  By  C A B

2 2

Ax  By  C A2

 B 2

d



0  2 1 4



1 2

解法 2：用公式 d  y0 

C 1 1  1  B 2 2

C B

d  y

文字部分，宋体小四号字，行间距 1.25。

3.直线方程中 B  0 的时候求点到直线的距离

求点 P  x0 , y0  到直线 L : Ax  C  0 的距离；

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 C  解：先作直线 L 垂线 P0Q ，垂足为 Q   , y0   A 

P0Q  NQ  NP0  C  x0 A

与 y 相交与点 N  0, y0 

例 2：求点 P  1, 2  到直线 L : 3x  2  0 的距离 解法 1：用公式

Ax0  By0  C A2  B 2 d Ax0  By0  C A B

2 2



3  2 9



5 3

解法 2：用公式 d 

C  x0 A C 2 5  x0   1  A 3 3

d

总结

上面我们讨论了，求点到直线的距离的几种方法，在中学解析几何教课书中 只有提出了一两种方法，本文提出的方法比中学解析几何书中提出的方法可能较 难，但是每一种方法都有它的独特性。 另外， 点到直线的距离公式 d  或 B  0 时仍然成立。 特别的，当 2 : Ax  By  C2  0 点 P0 在直线上时 d  0 。原点到 Ax  By  C  0 的距离是 d 

C A  B2

2

Ax  By  C A2  B 2

是直线方程 Ax  By  C  0 中 A  0

。

C2  C1 A2  B 2

两个平行线 L1 : Ax  By  C1  0 与 L2 : Ax  By  C2  0 的距离为 d 

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参考文献

[1] 78 页 [2] [3] [4] [5] [6] 张绍春，赵莉红. 高中数学（平面解析几何）. 东北师范大学出版社，2003-5 吐尔孙江·肉孜. 高中数学（二册上）. 人民教育出版社，2002-6 51 页 教学通讯，2002-1 教学通讯，2000-1 喀什市师范学院学报，1996 年 孙丰良. 高中总复习全程教与学丛书. 地震出版社，2000-7 145 页

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致谢

在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很 提高。 在老师的指导下我的毕业论文顺利通过，他帮我批阅了好多次，提供了这方面 的资料和很好的意见，非常感谢她的帮助，在老师耐心的指导下，我学会了论文的 三步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束。 非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，再他们的教育下，使我在各 方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础。

此致

敬礼 。 热彦古力 。沙吾提

中文摘要

关键词：

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此处为英文摘要，Times new roman 字体，12pt. ，行间距 1.25。

Key words：多个关键词之间用分号隔开

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目

录

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