斜拉索非线性振动的奇异摄动解法

西　南　交　通　大　学　学　报第41卷　第3期Vol . 41　No . 3

　　　　　　　　　　　　

2006

年6月Jun . 2006JOURNAL OF S OUT HW EST J I A OT ONG UN I V ERSI TY

　　文章编号:025822724(2006) 0320355205

斜拉索非线性振动的奇异摄动解法

冉志红, 　李　乔

(西南交通大学土木工程学院, 四川成都610031)

摘　要:为解决目前斜拉索振动计算的困难, 建立了考虑垂度和斜度的斜拉索振动微分方程. 用微分方程的奇异摄动解法, 导出了频率和振型函数的解析计算式, 从而可广泛用于斜拉索的参数识别、索力测试和修正等. 数值计算结果表明, 用奇异摄动解法导出的公式计算简便, 计算误差在0. 5%以内. 关键词:斜拉索; 非线性振动; 摄动法中图分类号:U448. 27　　文献标识码:A

S i n gul ar Perturba ti on M Non 2li n ear V i ti RAN I . J University, Chengdu 610031, China )

Abstract :T o s olve the difficult in the calculati on of cable vibrati on, a non 2linear dyna m ic model f or inclined cables was set up by taking the geometrical non 2linearity int o account . The equati on was s olved using the singular perturbati on method, and the analytical exp ressi ons of frequency and f or m functi on were derived . The exp ressi ons can be widely used f or the fields of the measure ment correcti on of cable force and the identificati on of para meters of a cable structure . The nu merical calculati ons indicate that the exp ressi ons are si m p le and p ractical, and the calculati on err or is less than 0. 5%.Key words :inclined cable; non 2linear vibrati on; perturbati ons method

　　近年来, 斜拉桥得到了广泛应用, 其主跨已超过1000m , 索的非线性振动已成为研究的热点. 考虑抗弯刚度、边界条件、垂度和斜度等影响因素后, 振动微分方程变得异常复杂, 目前只能对这些因素进行数值分析. 但非解析的分析方法很难用于工程实际, 因此, 寻求既能考虑这些非线性影响因素又能使解析式表达较为简单的计算方法具有重要意义.

Benedetini 和Rega 等研究了悬索的四自由度模型, 考虑了1∶1和1∶2两种内共振形式

[1]

. 他们的试验结

果表明, 当索的参数满足一定条件时, 索的非线性模态相互耦合. 文献[2]从非线性动力学的角度用Melnikov 方法和留数定理分析了非惯性参考系中斜拉索的全局分岔与混沌性质, 并用数值方法模拟该系

统的混沌运动. 文献[3], [4]中给出了两端固结时频率方程在实际应用范围内的近似解析解.

本文中从微分方程奇异摄动的基本思想出发, 导出了频率和振型函数的解析计算式. 这种精度较高的频率显式能够满足工程的实际需要, 具有较强的实用性.

1　微分方程的建立

　　采用以下假定(如图1) :

(1) 索为柔性, 且不考虑索力对索线密度的影响.

收稿日期:2005210213

作者简介:冉志红(1978-) , 男, 博士研究生, 研究方向为既有桥梁的损伤评估, 电话:[1**********]9, E 2mail:[email protected]

356西

　南　交　通　大　学　学　报

(2) 面内和面外摆振不具有耦合性, 可以将索的

第41卷

振动看成平面问题, 且不考虑沿索轴向的振动.

(3) 振动引起的挠度远小于索的静载挠度. (4) 用抛物线代替悬链线, 其静力方程为[2]:

y =-

()

L

2

2

,

式中:d 为垂度, d =m gL cos θ0/(8F h ) (m 为沿斜拉索均布的单位长度的质量, g 为重力加速度, 其余见图1) .

根据牛顿运动定律, 可以建立斜拉索的振动微分方程, 并基于上述假定对方程进行简化. 按泰勒级数

图1　斜拉索示意图

Fig . 1　The sketch of an inclined cable

将微分方程的变系数展开取前2项, 可得考虑垂度和斜度的微分方程(因旨在计算斜拉索的固有频率, 故

略去不含时间的非齐次项, 这些项可以通过坐标变换消去) :

2

(1) m 1+v E , -a +a 2v =F h -b b 4L co s 0式中:v =v (x, τ) 为索振动引起的斜拉索; a , a =32; , b =

2

4d sin θ0/(L cos θ0) ; v xx 和v ; E I 为斜拉索的抗弯刚度; τ.

对于a, L, 分子都含有垂度d, 因此可以预测, 相对垂度ξ=d /L是

[5]

, 这与实际物理事实相符. 研究表明:斜度对频率的影响很小, 可以忽略, 即可以令b =0. 而垂度只对低阶影响较大, 特征值λ展开式(见式(5) ) 中后几项在高阶时才起作用, 因此, 特征值级数展开式中仅考虑第1项的垂度修正. 计算过程中, 先按a =0计算, 然后修正频率函数第1项λ0.

用分离变量法不难证明, 微分方程中动挠度v (x, τ) 可以分离成:

) =φ(x ) sin (ωτ+; ) , (2) v (x, τ

式中:ω为角频率; ; 为初相; φ(x ) 为振幅函数.

将式(2) 代入方程(1) , 可得:

2(4)

1+-a t +a t 2φ=εφ-φ″(3a ) 　0≤t ≤1,

4

222

式中:λ为特征值, λ=m ωL /T (其中, T 为平均索力, T =(T 0+T 1) /2=F h /cos θ0) ; ε为高阶小量, ε=

(4) 2

E I /(TL ) ; t =x /L;φ(t ) 为φ(x ) 坐标变换后的函数; φ′, φ″和φ为φ(t ) 对t 的一阶、二阶和四阶导数.

边界条件按两端固结考虑, 可写为:

φ(0) =φ(1) =φ′(0) =φ′(1) =0. (3b )

　　由于ε是小量, 位于高阶项的系数上, 因此, 正则摄动将产生边界层效应, 所以用边界层型函数进行奇

[6]

异摄动求解.

2

2

2　奇异摄动解法

2. 1　不考虑垂度影响

　　不考虑垂度影响时a =0, 微分方程(3a ) 及其边界条件(3b ) 可简化为:

2(4) εφ-φ″=λφ,

φ(0) =φ(1) =φ′(0) =φ′(1) =0.

边值问题(4a ) 和(4b ) 可以转化为求特征值λ(ε) 和特征值函数φ(t, ε) , 其形式如下:

∞

(4a ) (4b )

λ(ε) =

λε, ∑

j j

j =0

φ(t, ε) =A (t, ε) +B (t, ε) exp (-t/ε) +C (t, ε) exp [-(1-t ) /ε]∞

∞

j

(5)

∞

j

j

　∑a j (t ) ε+exp (-t/ε)

j =0

∑b (t ) ε

j =0

ε]+exp [-(1-t ) /

∑c (t ) ε,

j

j

j =0

第

3期冉志红等:斜拉索非线性振动的奇异摄动解法357

式中:j 为迭代次数; A, B , C 均为t 和ε的函数; a j , b j 和c j 为对应函数的的第j 阶系数.

对A, B , C 3项分别对t 求偏导数并代入式(4a ) 和(4b ) , 得

2(4) εA -A ″=λA,

(4) 32εεB -4B +ε(5B ″-λB ) -2B ′=0,

(6)

3εC

(4)

εC +ε(5C ″+4-λC ) +2C ′=j

2

根据摄动的原则, 此处应满足ε的各阶系数相等. 于是, 对于j ≥0, 微分方程(6) 变为:

a j ″+λ0a j =a

(4)

j-2j-1

-

λa ∑

l

l =1l j-1-l

j-l

=-λj a 0(1-δ0j ) +αj-1,

(4)

2b j ′=5b j-1″-

λb ∑

l =0j-1

l

β-4b j-2 +b j-3=2j-1, γj-1, -4c j-2 -c j-3=2

(4)

(7)

2c j ′=-5c j-1″+

λc ∑

l =0

j-1-l

式中:α, β和γ均为递推的中间函数; δ为Kr oneker 符号. 0j

边界条件(4b ) 也可以写成:

(0-j ′a j (0) =-b j (0) =a j-1(0) , ) (a j -c j (11(8)

　　式(7) 和8) 中.

(t +λ(t ) =0, c 0′(t ) =0, a 0(0) =-b 0(0) =0, a 0(1) 当j =7) 8:0″0a 0(t ) =0, b 0′=-c 0(1) =0.

22

显然, 上述微分方程中, 只有当λ0=n π(n 为频率阶数, n =1, 2, …) 时, 才存在a 0(t ) 的非平凡解

πt a 0(t ) =A 0sin n . 为了确定A 0, 按式两边同时乘以a 0, 可得

a (t ) a (t ) d t =δ的要求统一规范化, 得A

∫

j

1

0j 0

=.

当j =l ≥1时, 已知λi , a i (t ) , b i (t ) , c i (t ) , αi (t ) , βi (t ) 和γi (t ) (i =0, 1, 2, …, l ) , 将式(7) 中第1个等

(a 0′) ′=λj a 0-a 0αj-1. a j -a 0a j ′

2

(9)

积分可得:

λj =a j (1) a 0′(1) -a j (0) a 0′(0) +

a (t ) α∫

01

j-1

(t ) d t . (10)

　　a j (x ) , b j (x ) 和c j (x ) 可按下述微分方程组求得:

a j ″+λ0a j =-λj a 0+αj-1,

b j =b j (0) +βj-1(t ) d t,

0x

c j =c j (1)

∫

+γ(t ) d t ∫.

1

j-1

x

(11)

　　式(10) 中a j (1) 和a j (0) 及式(11) 的边界条件b j (0) 和c j (1) , 均可按式(7) 递推而得. 按上述方法递

222244222

推得到的特征值λ=n π+4n πε+(n π+12n π) ε+…

2. 2　考虑垂度影响时特征值的修正

　　当j =0时, 考虑垂度影响(计入a 1) , 微分方程(4a ) 及边值条件(4b ) 变为:

(t ) +λa 0″0

3

1+

4

2

-a t +a t a 0(t ) =0, (12a ) (12b )

(t ) =0, 　c 0′(t ) =0, 　a 0(0) =-b 0(0) =0, 　a 0(1) =-c 0(1) =0. b 0′

3

式中, λ0为λ0的垂度修正.

式(12a ) 和(12b ) 是典型的斯图姆2刘维尔问题, 可以用多种方法求其特征值, 本文中采用正交基函数

求解. 求解的基本过程:构造一组满足边界条件的正交基函数, 利用正交性积分, 可得一线性方程组, 利用

358西

　南　交　通　大　学　学　报第41卷

系数行列式等于零的性质即可求其特征值.

假设满足边界条件的基函数ψi =sin πi t (i =1, 2, …, N ) . 在微分方程(12a ) 中令a 0(t ) =∑c ψi i , 并将

i =1N

方程两边同时乘以ψk (k =1, 2, …, N ) , 积分并整理, 得

N

∑(a

i =1

ik

-λ0b ik ) c i =0,

3

(13)

i ≠k,

式中:

a ik =

10

ψ′ψ′d t =

∫

i

k

1

22

i π　i =k; 2

b ik =

1+

i-k

4

]-

2

ψk ′d t =-a t +a t ψi ′

2(i -k ) π

2

2

[1+(-1)

2(i +k ) π

2

2

[1+(-1)

i+k

　i ≠k,

i =i+k]1+-22[1+(-1) 2122(i +k ) π

322

λ0λ, 即. 其与n π的差就是修正量Δ

32

Δ0-　　要使c i 有非零解, 方程组(13) , (14)

　　显然, . , 对于一般斜拉索, 相对垂度小于0. 1, 垂度影响

约为1%, . 0. 1, 垂度的影响超过2%, 实际工程中应予以重视.

3　数值计算及讨论

3. 1　与有限元计算结果的比较

　　综上分析, 可以得出考虑几何非线性后斜拉索的频率特征值的级数形式:

244222

λ=n 2π2+Δλ(n, ξ) +4εn 2π2+εεn π+12n π.

将λ, ε的表达式代入式(15) , 可得斜拉索频率的计算显式:

ππωn =2+Δλ(n, ξ) 2+3mL mL mL

2

2

2

2

2

(15)

2

2

ππ

E IT ++. 44

mL mL

4

4

44

(16)

常见的两端铰接斜拉索频率的计算式为:

ππ

ωn =2+4.

mL mL

2

2

2

(17)

　　比较式(16) 和(17) 可知:式(17) 是式(16) 的第1和第4项; 式(16) 中第2项是垂度修正, 第3, 5项是边界条件的修正.

##

图2为用有限元法和本文方法计算的南京长江三桥1和21斜拉索的频率(斜拉索参数见表1) . 2种

图2　斜拉索频率的误差分布Fig . 2　The frequency err or of cables

第

3期冉志红等:斜拉索非线性振动的奇异摄动解法359

方法计算的频率在20阶内的相对误差小于0. 5%, 可见, 本文方法具有较高的计算精度.

表1　斜拉索参数

Tab . 1　Physical para meters of cables

索号

1

##

-1

索长/m线密度/(kg ・m ) 91. 4442. 65

拉索面积/m2

0. 00489

0. 00858

) 拉索角度/(°

80. 6

27. 2

拉索惯性矩/m4

3. 37×108. 98×10

-6-6

索力/kN

1089

3165

21354. 3674. 12

3. 2　支撑条件对频率的影响

　　为了分析支撑条件对频率的影响, 去掉垂度修正项. 根据式(16) 和(17) 可知, 两端固结和两端铰接对频率的相对影响系数

β=

+-1. 222

TL /(E I ) +n π

2

(18)

　　由式(18) 可知, 相对影响系数β与阶数n 和参数χ

2

=TL /(E I ) 有关, 见图3. 从图3可见, 当参数χ较小时, 低阶频率的误差急剧增大(对应于短索、45

况) . 对于一般斜拉索(5) , 2%以内.

3　相对影响系数与阶数的关系

Fig . 3　Coefficient βvs . frequency order n

4　结　论

　　(1) 奇异摄动解法是求解复杂微分方程的常用方法, 对于工程实际问题, 级数形式的解答完全能够满足工程精度要求, 本文中导出斜拉索的频率和振型函数的解析式对工程实际具有重要意义.

(2) 数值计算结果表明, 奇异摄动解法具有精度高、计算简便的特点, 且各项的物理意义明确, 因此, 适合于用频率法对结构的边界条件、截面积、抗弯刚度等进行参数识别.

(3) 用频率法测试索力时, 可根据导出的公式反求索力, 从而可以避开传统的迭代计算, 并且能够考虑边界条件和垂度(斜度的影响也可以按上述方法推导) 等诸多因素, 为结构监测(检测) 提供更可靠的索力值. 参考文献:

[1]　BE NE DETI N I F, REG A G, ALAGGI O R. Non 2linear oscillati ons of a f our 2degree 2of 2freedom modal of a sus pended cable

under multi p le internal res onance conditi ons[J ].Journal of Sound and V ibrati on, 1995, 23(182) :7552798. [2]　蒋丽忠, 赵跃宇, 刘光栋. 转动基中斜拉索的非线性动力学分析[J ].计算力学学报, 2003, 20(1) :85289.

J I A NG L izhong, ZHAO Yueyu, L I U Guangdong . Nonlinear vibrati on of a flexible cable in r otati on base[J ].Chinese Journal of Computati onalM echanics, 2003, 20(2) :85289.

[3]　宋一凡, 贺栓海. 斜拉索动力计算长度研究[J ].中国公路学报, 2001, 14(3) :70272.

S ONG Yifan, HE Shuanhai . Research on dynam ic calculati on length of cable in cable stayed bridges[J ].China Journal of H igh way and Trans port, 2001, 14(3) :70272.

[4]　H I RO S Z, T OHRU S K, Y OSH I O N I . Practical f or mulas f or esti m ati on of cable tensi on by vibrati on method[J ].Journal of

Structural Engineering, 1996, 122(6) :6512656.

[5]　张宏跃, 田石柱. 提高斜拉索索力估算精度的方法[J ].地震工程与工程振动, 2004, 24(4) :1482151.

ZHANG Hongyue, TI A N Shizhu . A method t o enhance the esti m ati on accuracy of stay cable tensi on [J ].Earthquake Engineering and Engineering V ibrati on, 2004, 24(4) :1482151.

[6]　苏煜城, 吴启光. 奇异摄动问题的数值方法引论[M].重庆:重庆出版社, 1991:10227.

(中、英文编辑:付国彬)