01[大学物理学]质点运动学练习题(马)

质点运动学学习材料

一、选择题

1．质点沿轨道A B 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C 处的加速度? ( )

(A ) (B ) (C ) (D )

【提示：由于质点作曲线运动，所以，加速度的方向指向曲线的内侧，又速率逐渐减小，所以加速度的切向分量与运动方向相反】

2． 一质点沿x 轴运动的规律是x =t 2-4t +5（SI 制）。则前三秒内它的 ( )

(A ) 位移和路程都是3m ；

(B ) 位移和路程都是-3m ； (C ) 位移是-3m ，路程是3m ； (D ) 位移是-3m ，路程是5m 。

【提示：将t =3代入公式，得到的是t=3时的位置，位移为t =3时的位置减去t =0时的位置；显然运动规律是一个抛物线方程，可利用求导找出极值点：

d x d t

=2t -4，当t =2时，速度υ=

d x d t

=0，所以前两秒退

了4米，后一秒进了1米，路程为5米】

ω为正常数。3．一质点的运动方程是r =R cos ωt i +R sin ωt j ，R 、从t ＝π/ω到t =2π/ω

时间内

(1) 该质点的位移是 ( )

(A ) -2R i ； (B ) 2R i ； (C ) -2j ； (D ) 0。

(2) 该质点经过的路程是 ( ) (A ) 2R ； (B ) πR ； (C ) 0； (D ) πR ω。

【提示：轨道方程是一个圆周方程（由运动方程平方相加可得圆方程），t ＝π/ω到t ＝2π/ω时间内质点沿圆周跑了半圈，位移为直径，路程半周长】

4． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度υ滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度 ( )

(A ) 大小为(B ) 大小为(C ) 大小为(D ) 大小为

υ

2

，方向与B 端运动方向相同； ，方向与A 端运动方向相同； ， 方向沿杆身方向； υ

υ

2

υ

2

2cos θ

，方向与水平方向成 θ 角。

l ⎧l ⎧υ=x C =sin θ⎪cx 2cos θ⎪2【提示：C 点的坐标为⎪，则⎪⎨⎨

l ⎪υ=l sin θ⎪y =cos θ

cy C

⎪⎪2⎩2⎩

⋅⋅

d θd t d θd t

，有中点C 的速度大小：υC =

l

2d t

⋅

d θ

。

考虑到B 的横坐标为x B =l sin θ，知已知条件υ=l cos θ⋅

d θd t

，∴υC =

υ

2cos θ

】

1-5．如图所示，湖中有一小船，船在离岸边s 距离处， 有人在离水面高度为h 的岸边用绳子拉船靠岸，设该 人以匀速率v 0收绳，绳不伸长且湖水静止，小船的速度 为v ，则小船作 ( ) （A ）匀加速运动，υ=（C ）变加速运动，υ=

2

υ0

cos θ

； （B ）匀减速运动，υ=υ0cos θ； ； （D ）变减速运动，υ=υ0cos θ。

2

υ0

cos θ

2

【提示：先由三角关系知x =l -h ，两边对时间求导有x ⋅

d x d t

=l ⋅

d l d t

，考虑到υ=

d x d t

，υ0=

d l d t

，

且cos θ=

x l

有υ=

υ0

cos θ

】

6．一质点沿x 轴作直线运动，其υ-t 曲线如图所示， 如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5s 时，质点在 x 轴上的位置为： ( ) （A ）0； （B ）5m ；

（C ）2m ； （D ）－2m 。

【提示：由于是υ-t 曲线图，∴质点的位移为图中所围的面积。梯形面积为中位线乘高】

7．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为r =at i +bt j (其中a 、b 为常量) ， 则该质点作： ( ) （A ） 匀速直线运动；（B ）变速直线运动；（C ）抛物线运动；（D ）一般曲线运动.

⎧υx =2at ⎧a x =2a ⎧x =at 2

【提示：将矢量的表达式改写为⎨的轨迹方程为：y =

-

2

2

⎩y =bt

2

，则⎨

⎩υy =2bt

，⎨

⎩a y =2b

。可见加速度为恒量，考虑到质点

b a

x ，∴质点作直线运动】

2

8．一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度为υ=2m /s ，瞬时加速度为a =-2m /s ，则一秒钟后质点的速度： ( ) （A ）等于零；（B ）等于－2m/s；（C ）等于2m/s；（D ）不能确定。

【提示：由于质点运动的加速度是瞬时，∴不能判断一秒钟后质点的速度】

1-2．一运动质点在某瞬时位于位矢r (x , y ) 的端点处，对其速度的大小有四点意见，即： （1）；（2）；（3）；（4

( )

d t d t d t （A ）只有（1）（2）正确； （B ）只有（2）正确； （C ）只有（2）（3）正确； （D ）只有（3）（4）正确。

【提示：d r /d t 是位矢长度的变化率，d r /d t 是速度的矢量形式，d s /d t 是速率，由分量公式考虑：

d r

d s

d r

d x d y

，υy =

υx = d t d t 1--3．质点作半径为R 的变速圆周运动时，加速度大小为(v 表示任一时刻质点的速率) ( )

（A ）； （B ）； （C ）； （D

+。

d t d t R R d υυ

2

d υυ

2

【提示：半径为R 的变速圆周运动可由自然坐标系的加速公式考虑。即a t =

d υd t

，a n =

υ

2

R

】

11．一小球沿斜面向上运动，其运动方程为s =5+4t -t 2（SI ），则小球运动到最高点的时刻是： ( ) （A ）t =4s ； （B ）t =2s ；（C ）t =5s ；（D ）t =8s 。

【提示：小球运动到最高时速度为0，而将运动方程对时间求导可得速度表达式】

12．质点沿直线运动，加速度a =4-t 2，如果当t =3s 时，x =9m ，υ=2m /s ，质点

的运动方程为 ( ) （A ）x =-t +4t -3t +0.75； （B ）x =-t +2t -（C ）x =-7t +2t -

2

3

2

t

4

12t

+

3

34

；

t

4

12

+

214

； （D ）x =-7t +2t -

2

12

。

【提示：求两次积分可得结果。（1）υ=得υ0=-1m /s ；（2）x =得x 0=

⎰(4-t

t

3

2

) d t =4t -

2

t

3

3

+v 0，将t =3s ，υ=2m /s 代入可t

4

⎰(-1+4t -

3

) d t =-t +2t -

12

+x 0，将t =3s ，x =9m 代入可

34

m 】

13．一物体从某高度以v 0的速度水平抛出，已知它落地时的速度为υt ，那么它运动的时间是： ( ) （A ）

υt -υ0

g

；（B ）

υt -υ0

2g

；（C

）

g

（D

2g

【提示：平抛运动落地时水平分速度仍为υ

0】

14．质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 时间转一周，在2t 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为： ( )

（A ）

2πR t

，

2πR t

； （B ）0，

2πR t

； （C ）0，0； （D ）

2πR t

，0。

【提示：平均速度大小指的是一段时间的位移与该段时间的比值，平均速率指的是路程与该段时间的比值，显然2t 时间间隔中质点转2周，位移为0，但路程是4πR 】

1-3．质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，a t 表示切向加速度，下列表达式中， （1）

d υd t

（2）=a ；

d r d t

（3）=υ；

d s d t

（4）=υ；

d υd t

=a t 。

正确的是： ( ) （A ）只有（1）、（4）是正确的；（B ）只有（2）、（4）是正确的； （C ）只有（2）是正确的； （D ）只有（3）是正确的。

【提示：（1）d v /dt 应等于切向加速度；（2）d r /dt 在极坐标系中表示径向速度v r ，而（4）中∣ d v /dt ∣为加速度的大小，所以只有（3）是正确的】

16．质点由静止开始以匀角加速度β沿半径为R 作圆周运动，如果在某一时刻此质点的总加速度a 与切向加速度a t 成45 角，则此时刻质点已转过的角度θ为： ( ) （A ）

16

rad ；（B ）

14

rad ；（C ）

13

rad ；（D ）

2

12

rad 。

【由ω=βt 知v =βtR ，则a n =

(βtR )

R

；而a t =βR ，加速度a 与切向加速度a t 成45角意味着

t 0

a t =a n ，有βt 2=1；又质点已转过的角度θ=

d υd t

⎰

βd t =

12

βt ，∴θ=

2

12

】

17．某物体的运动规律为

2

=-k υt ，式中的k 为大于零的常量，当t =0时，初速为υ0，

则速度υ与时间t 的函数关系为： ( ) （A ）υ=

12

k t +υ0；（B ）υ=-

d υ

2

12

k t +υ0；（C ）

υ

2

1

υ

=

k t 2

2

+

+；（D ）=-。

υ2υ0υ0

11k t

2

1

【提示：利用积分。考虑

υ

2

=-k td t ，有⎰

d υ

υ0

υ

2

=-⎰k td t 】

t

二、填空题

⎧x =-10t +30t 2

1．质点的运动方程为⎨，（式中x ，y 的单位为m ，t 的单位为s ），则该2

y =15t -20t ⎩

质点的初速度υ0=；加速度a =

【提示：对时间一次导得速度-10i +15j ，两阶导得加速度60i -40j 】

2

2．升降机以加速度为2.2m /s 上升，当上升速度为3m /s 时，有一螺丝自升降机的天花

板上松落，天花板与升降机的底面相距3m ，则螺丝从天花板落到底面所需要的时间为 秒。

【提示：考虑螺丝作初速为0，加速度为9.8+2.2=12m/s

的自由落体运动，则t =

=

1】

3．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P 点处速度大小为角。则物体在P 点的切向加速度 υ，其方向与水平方向成30°

a t =ρ=。

【提示：只要是抛体运动，加速度就一定是竖直向下的重力加速度。考虑自然

坐标系a t =a cos θ（θ为切向和a 之间的夹角）和ρ=

υ

2

a n

，有a t =-g sin 30，a n =g cos 30】

4．试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（v ≠0）： （A ）a t ≠0，a n ≠0； （B ）a t ≠0，a n =0； （C ）a t =0，a n ≠0；

【提示：（A ）变速曲线运动；（B ）变速直线运动；（C ）匀速曲线运动】

5．一质点作直线运动，其坐标与时间的关系如图所示， 则该质点在第 秒时瞬时速度为零；在第 秒 至第 秒间速度与加速度同方向。

【提示：由于速度是曲线的斜率，所以第3秒时斜率为零也就是瞬时速度为零；从第1秒到第3秒，斜率为正，但逐渐变小，表明速度为正但加速度为负，从第3秒到第6秒，斜率为负且逐渐负方向增加，表明速度为负且加速度为负】

6．一质点沿半径为0.2m 的圆周运动, 其角位置随时间的变化规律是θ=6+5t （SI 制）。在t =2时，它的法向加速度a n =a t =。

【由ω=

2

d θd t

知υ=

Rd θd t

，再利用公式a n =

υ

2

R

和a t =

d υd t

可得a n =80m /s ，a t =2m /s 】

22

7．在x y 平面内有一运动质点，其运动学方程为：r =10cos 5t i +10sin 5t j ，则t 时刻其

速度v = ；其切向加速度的大小a t = ；该质点的运动轨迹是： 。

【∵υ=

d r d t

有υ=-50sin 5t i +50cos 5t j ；而υ=

=50（与

时间无关），∴切向加速度a t =0；运动轨迹由⎨

⎧x =10cos 5t ⎩y =10sin 5t

消去时间求得：x +y

22

=0】

8．悬挂在弹簧上的物体在竖直方向上振动, 振动方程为y =A sin ωt ，其中A 、ω均为常量, 则：(1) 物体的速度与时间的函数关系为 ；(2) 物体的速度与坐标的函数关系为 。

【提示：由υ(t ) =

d y d t

有υ(t ) =A ωcos ωt ，与振动方程联立有：υ(y ) =

1--4．在x 轴上作变加速直线运动的质点, 已知其初速度为υ0，初始位置为x 0，加速度为

a =C t (其中C 为常量) ，则其速度与时间的关系υ(t ) =2

x (t ) = 。

【提示：利用积分。

⎰υ

υ

d υ=

4

⎰

t 0

2

C t d t ，有υ(t ) =υ0+

C 3

t ，在由⎰d x =

x

3

x

⎰

t 0

(υ0+

1C t )

d t 有

3

x (t ) =x 0+υ0t +

C 12

t 】

10．灯距地面高度为h 1, 一个人身高为h 2, 在灯下以匀速率v 沿水平直线行走, 如图 所示。则他的头顶在地上的影子M 点沿 地面移动的速度v m =。

【由三角形相似有

x x -vt

=

h 1h 2

，两边对时间求导，考虑到υm =

d x d t

有υm =

h 1h 1-h 2

υ】

11．如图示，一质点P 从O 点出发以匀速率1m /s 作顺时针 转向的圆周运动，圆的半径为1m ，当它走过

23

圆周时，

走过的路程是 ；这段时间内的平均速度大小为 ； 方向是 。

【由于圆的半径为1m ，所以走过的路程（弧长）即为对应的角度，为

4π3

O

（240）；平均速度却为位

4π3

，则=

4π

m /s ；从图中不难看出，平均速

度方向与y 成30角向右下方】

12．一质点沿半径为R 的圆周运动，在t = 0时以v 0的速率经过圆周上的P 点， 此后它的

速率按υ=υ0+b t (υ0、b 为正的已知常量) 变化，则质点沿圆周运动一周再经过P 点时的切向加速度a t = ；法向加速度a n = 。

【利用公式a t =

d v d t

和a n =

υ

2

R

可得a t =b ；a n =

2

υ

2

R

=

(υ0+bt )

R

2

=

υ0+2υ0bt +b t

R

222

，考虑到运动

一周的时间可由2πR =υ0t +

12

b t 得出，代入上式得a n =

υ0R

2

+4πb 】

13．以一定初速度斜向上抛出一个物体，如果忽略空气阻力，当该物体的速度v 与水平面的夹角为θ 时，它的切向加速度的大小为a t =a n =

【见填空第3题提示，得：-g sin θ和g cos θ】

三、计算题

1-14． 一石块从空中由静止下落，由于空气阻力，石块并非作自由落体运动，现已知加速度为a =A －B v（式中A 、B 为常量），求石块的速度和运动方程。

1-22．一质点沿半径为R 的圆周按规律s =v 0t -圆周运行了多少周？

3．在离地面高度为h 的平台，有人用绳子拉小车，当人的速率v 0匀速时，试求小车的速率

和加速度大小。

1--6．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v 0，并且v 0与水平面的夹角为θ。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。

5． 质点P 在水平面内沿一半径为R =1m的圆轨道转动，转动的角速度ω与时间t 的函数关系为ω=kt 2，已知t =2s时，质点P 的速率为16m/s，试求t =1s时，质点P 的速率与加速度的大小。

12

bt 而运动，v 0，b 都是常数。（1）求t

2

时刻质点总的加速度；（2）t 为何值时在数值上等于b ？（3）当加速度达到b 时，质点已沿

1-20．一直立的雨伞，张开后其边缘圆周半径为R ，离地面的高度为h ，当伞绕伞柄以匀角速ω

旋转时，求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为r =

1-24．一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动，其角位置为θ=2+4t 3。（1）求t =2. 0 s 时质点的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？（3）t 为何值时，法向加速度和切向加速度的值相等？

解答

一、选择题

1．C 2．D 3．(1) B (2) B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．D 10．D 11．B 12．B 13．C 14．B 15．D 16．D 17．C 三、计算题 1．

解：（1）选石块静止处为原点，竖直向下方向为y 正向。 由a =

d v d t

有A -Bv =

d v d t

，则d t =

d v A -B v

⇒

⎰d t =⎰

d v (A -Bv )

，

积分有t =-

1B

ln A -B v +C 。

1B

ln A ，∴石块的速度为v =

A B (1-e

-B t

考虑到t =0时，v 0=0，有C =

) ；

（2）由v =

d y d t

有d y =

A B

(1-e

-B t

) d t ，则：石块的运动方程为：

y =

⎰B

A

t 0

(1-e

-B t

) d t =

A B A

(t +A B

1B

e

-B t

)

t 0

=

A B

t +

A B

2

(e

-B t

-1) 。

∴石块的运动方程为y =

B

t +

2

(e

-B t

-1)

2．

解：（1）对圆周方程求导得速度大小：v =

ds dt

=v 0-bt （注意圆周方程中是“s ”而不是“r ”）

dv ⎧

a ==-b t ⎪⎪dt

可利用自然坐标系得切向和法向加速度： ⎨

22

⎪a =v =(v 0-bt ) n ⎪⎩R R

则总的加速度：

a ==；

加速度与半径的夹角为：ϕ=arctan

a t a n

=

-Rb (v 0-bt )

2

（2

）由题意应有：

20

=b ⇒(v 0-bt ) 4=0，∴当t =

20

20

v 0b

时，a =b 。

（3）当t =

v 0b

时，s =

v

2b

，∴n =

v

2b

/2πR ，有n =

v

4πRb

3．

解：v 车=

d x d t

，v 人=

d s d t dx dt

=v 0 =

2

由于绳长不变，∴v 车=

2

2

d l d t

，

又由几何关系：s =l -h ，两边对t 求导有：

2s

ds dt

=

2l

dl dt

，解得：v 车=

v s a =

dv 车dt

=

v 0h

22

32

。

(s

2

+h

2

)

（类似问题：在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s 距离处，当人以速率v 0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。）

4．

解：（1）抛物线顶点处子弹的速度v x =v 0cos θ，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g 。 因此有：

g =

v

2

ρ1

2

=

(v 0cos θ)

2

ρ1

2

，

ρ1=

v 0cos θ

g

；

（2）在落地点时子弹的v 0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成θ角，则：a n =g cos θ，有：g cos θ=

v 0

2

ρ2

则： ρ2=

v 0

2

g cos θ

。

5．

解：由线速度公式：υ=R ω=Rkt =1⨯kt ，将已知条件代入求得k ：

2

2

k =

υ

t

2

=

162

2

2

=4。P 点的速率：υ=4t 。P 点的切向加速度大小：a t =

d υd t

=8t 。

P 点的法向加速度大小：a n =

υ

2

4

=16t 。所以，t =1时：

R

4222

υ=4t =4(m/s)；a t =8t =8(m/s) ，a n =16t =16(m/s) 。

a =

=

=≈17.9(m/s2)

6．

解：由平抛公式，水滴沿边缘飞出后落在地面上所需时间为：t =

则落地距离为，s =ωRt =ω

s

考虑到水滴是沿伞的边缘切线方向飞出，有：r =

则r ==

7．

解：可由角位置求出角速度：ω=

d θd t

=12t ，则速率v =R ω=1.2t 。

22

dv ⎧

a ==2.4t t ⎪⎪dt

可利用自然坐标系得切向和法向加速度： ⎨

24v 1.44t 4⎪a ===14.4t n

⎪R 0.1⎩

总的加速度大小：a =

=

；

⎧a t =4.8m /s 2

（1）当t =2 s 时，⎨ 2

⎩a n =230.4m /s

（2

）由题意应有：2.4t =

12

⨯

2.414.4

16

⇒t =

3

6

，∴θ=2+4⨯

6

=3.15rad 。

（3）令2.4t =14.4t ，得t =相等。

43

=

，∴t =1/

=0.55s 时，法向加速度和切向加速度的值