1.1正弦定理和余弦定理

第一章 解三角形

章节总体设计

（一）课标要求

本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些

简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色

1．数学思想方法的重要性

数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系

加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置

相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”

3．重视加强意识和数学实践能力

学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。 （三）教学内容及课时安排建议 1.1正弦定理和余弦定理（约3课时） 1.2应用举例（约4课时） 1.3实习作业（约1课时） （四）评价建议

1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。

2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。

1.1正弦定理和余弦定理

1．1．1正弦定理

●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程

Ⅰ.课题导入

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？Ⅱ.讲授新课

[探索研究] (图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的A

则定

义

，

有

a

sinAc



，

b

sinBc

，又sCin

c

c

, 1

a

sin

b

sinc

sinc

从而在直角三角形ABC中，

a

sinA

b

sinB



c

sinC

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

证法一：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则

a

sinA



b

sinB

，

同理可得从而

c

sinC



b

sinB

， b a

A c B

sinAsinBsinC

(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。



证法二（向量法）：过点A作jAC， 由向量的加法可得 ABACCB

abc





则 jABj(ACCB)



∴jABjACjCB



jABcos900A0jCBcos900C

∴csinAasinC，即

ac bc

同理，过点C作jBC，可得 从而

a

sin

b

sin

c

sin

证法三（等积法）：在任意斜△ABC当中 111

S△ABC=absinCacsinBbcsinA

2221abc

两边同除以abc即得：==

2sinAsinBsinC

证法四（外接圆法）： 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

aaCD2R ∴

sinAsinD

同理

bc

=2R，＝2R sinBsinC

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinA

[理解定理]



b

sinB



c

sinC

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，bksinB，cksinC； （2）

a

sinAsinBsinC

从而知正弦定理的基本作用为：



b



c

等价于

a

sinA



b

sinB

，

c

sinC



b

sinB

，

a

sinA



c

sinC

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinAsinB。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 ⑴若A为锐角时:

ab

无解absinA



一解(直角)absinA 

bsinAab 二解(一锐, 一钝)ab 一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

⑵若A为直角或钝角时:

ab 无解



ab 一解(锐角)

[例题分析]

例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理，

C1800(AB)

1800(32.0081.80)

66.20；

根据正弦定理，

asinB42.9sin81.80b80.1(cm)；

sin32.00

根据正弦定理，

asinC42.9sin66.20c74.1(cm).

sin32.00

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）。

解：根据正弦定理，

bsinA28sin400

sinB0.8999.

因为00＜B＜1800，所以B640，或B1160. ⑴ 当B640时，

C1800(AB)1800(400640)760，

asinC20sin760c30(cm).

sin400

⑵ 当B1160时，

C1800(AB)1800(4001160)240，

asinC20sin240c13(cm).

sin400

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

Ⅲ.课堂练习

第4页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或aksinA，bksinB，cksinC(k0) （2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。



b



c



abc

kk0；

sinAsinBsinC

1.1.2余弦定理

●教学目标 知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程

Ⅰ.课题导入

如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和C，求边

A c B

(图1．1-4)

Ⅱ.讲授新课

[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A



如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则 bc

ccabab

 abb2ab C a2a2

ab2ab

从而 c2a2b22abcosC (图1．1-5)

2











同理可证 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a2

cosA

a2c2b2

cosB

2ac

b2a2c2

cosC

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

1、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系

在△ABC中，c=a+b-2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是

c=a+b-2ab·0=a+b．

说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．

2

2

2

2

2

2

2

2

2、三角形的有关定理：

内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

cos

CABCAB=sin, sin=cos

2222

面积公式：S=

111

absinC=bcsinA=casinB 222

S= pr =

p(pa)(pb)(pc) (其中p=

abc

, r为内切圆半径) 2

射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA 3、求解三角形应用题的一般步骤： （1）、分析题意，弄清已知和所求； （2）、根据提意，画出示意图；

（3）、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求； （4）、正确运用正、余弦定理。 [例题分析]

例1．在ABC

中，已知a

cB600，求b及A ⑴解：∵b2a2c22accosB

=222cos45

=1221) =8

∴b

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2c2a21

⑵解法一：∵

cosA,

∴A600.

asin450,

解法二：∵

sinAsinB2.41.4

3.8,

21.83.6, ∴a＜c，即00＜A＜900,

∴A600.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

例2．在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形 （见课本第7页例4，可由学生通过阅读进行理解） 解：由余弦定理的推论得：

b2c2a2

cosA

87.82161.72134.62



0.5543, A56020； c2a2b2

cosB

134.62161.7287.82



0.8398, B32053；

 C1800(AB)1800(5602032053)

[课时小结]

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。