"余弦定理"一课的教学设计

作者：张跃红

数学通报 2007年12期

　　 随着数学新课程改革的不断深入，“学生是课堂教学活动的主体”已经成为广大中学数学教师的共识.本文记录了笔者“余弦定理”（“余弦定理”是普通高中课程标准实验教科书《数学5》（必修）部分的内容）一课的教学过程，并就此谈一些感受和体会，供同行参考，不妥之处，敬请指正。

　　 一、创设情境，提出问题

　　 教师首先提出问题。修建一条高速公路时，要开凿隧道将一段山体打通，现要测量该山体底侧两点间的距离，也就是：如图1，要测量该山体两底侧A、B两点间的距离。

　　

　　 我请同学们先相互讨论一下，想办法解决这个问题。

　　 二、构建模型，解决问题

　　 对于这个问题，同学们都比较兴奋，相互间进行热烈地讨论，提出：先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等。也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出∠ACB。△ABC是确定的，就可以计算了AB的长了。

　　 笔者让3位学生板演。（为了便于阅读，对学生的解答笔者稍做了一些修饰）。

　　

　　 生1：（他构造了一个直角三角形）

　　

　　

　　 师：我们来看这3位同学的解答。你们怎样评价他们的解答？表达得是否规范？答案对不对？谁做的最好？

　　 因为各自都有了准备，结合自己的解答，可以进行判断。同时，在相互交流的过程中又指出在三种解法中需注意的问题（比如，在第二种解法中需注意向量的夹角等）。

　　 师：现在我想知道你们是怎么想到这些解法的？（分别请三位学生各自谈是如何想到的）

　　 三位学生大概地说出了他们的一些想法，同时又有其他同学补充，最后师生达成共识：第一种解法，是将一般的三角形转化为特殊的直角三角形；第二种解法，是利用向量从形的角度构造向量等式，再将向量等式数量化；第三种解法，是在建立适当的直角坐标系的条件下，利用两点间的距离公式，从而将问题解决。

　　 三、追踪成果，提出猜想

　　

　　 正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理：而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理。

　　 师：请同学们思考，刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程呢？

　　 学生相互间进行热烈地讨论，比较、分析，得出结论：若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程。

　　 在学生充分讨论、小结后，教师作适当总结：证明余弦定理，就是证明一个等式。而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等。

　　 四、探幽入微，深化理解

　　 师：我们刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，我们看一看它有什么特征？

　　 学生七嘴八舌地说出余弦定理的一些特征。

　　 生4：勾股定理是余弦定理的特例。反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广。（其他学生又说出：当角c为锐角或钝角时，边长之间有不等关系：。）

　　 生5：是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应。

　　 生6：等式右边有点象完全平方……（其他学生又讨论出，向量的完全平方与数量的完全平方间的相互联系与区别）。

　　 教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处。观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）。

　　 在对余弦定理认识的过程中，让学生充分了解余弦定理的外在特征，体会数学中和谐、对称的美，同时又为对余弦定理内在的理解奠定了基础。

　　 师：对于余弦定理我们已经谈了很多，同学们是否想过，我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？

　　 学生们略有所思，过了一会儿，大多数学生异口同声地说：可以解斜三角形。

　　 师：所有的斜三角形都可以解吗？

　　 生7：可以解已知三角形的两边和它们夹角的三角形。

　　 生8：如果已知三边，可以求角，进而解出三角形。

　　 师：已知三边，如何求角呢？

　　

　　 通过讨论，让学生真正体会到学习余弦定理的必要性。同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形。让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”。

　　 五、学以致用，拓展延伸

　　

　　 在解题2的过程中，同学们发现既可以用正弦定理又可以用余弦定理，我提出：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考。

　　 六、反思设计，反思过程

　　 数学教学是一个过程，在这个过程中要注意对学生的逻辑思维、分析问题、解决问题等能力的培养。不能把结论直接抛给学生，而是以问题引导，与学生共同分析、探究，参与到学生问题解决的探究活动中，成为学生思考、探究活动的组织者、指导者。数学教学是数学活动的教学，数学活动更应是体现在数学思维的活动中。笔者立足于这一基本理念，在设计本课时，让学生经历提出问题、解决问题、初步应用等过程，使他们成为余弦定理的“发现者”和“创造者”。同时采用了“问题串”的形式引领学生进行探索活动，使每位学生都能在教师精心设计的问题的探讨中，不断体验获得阶段性成果的喜悦。通过活动获得“思想”、“方法”、“价值”，知识目标、能力目标、情感目标均得到了良好的发展。

　　 在数学学习中，应让学生参与到应用数学知识解决实际问题的活动中来，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。让学生感觉到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。在本课设计中，笔者首先提出一个实际问题，引起学生的兴趣，让学生积极参与到相互问讨论中。在相互讨论之中，学生提出了若干种解决问题的方法，对培养学生解决实际问题的能力，不无裨益。同时学生在经历解决问题的过程中，也可以逐步体会到数学的应用价值，收到较好的成果。

　　 “板演”是我们在教学中经常使用的一种教学手法，如何用好这一教学手法还很值得我们研究。板演的目的是训练学生，了解学生的学习情况，及时发现教学中出现的问题，所以笔者在本课教学时，随机找出几位学生进行板演，而不是指定某个做得好的学生替代教师进行板书。如果都指定做得规范的学生进行板演，可能就很难发现学生中存在的问题，这样也就失去了板演的本意。在学生板演之后，由谁来评价比较好？笔者认为，评价不应该由老师一手包办，而应让学生也参与进来，可以先让学生进行自我评价，然后再相互评价，最后教师指导。这种学生间的相互评价，可以提高学生的观察能力、表达能力和思维能力。

作者介绍：张跃红 南京师范大学附属中学，210003