正方形的判定和性质--教案

教学过程

一、复习预习

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等．

② 角的性质：邻角互补，对角相等．

③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

二、知识讲解

1、图形旋转的性质：旋转前后的图形 ，对应点到 ，每一对对

应点与 。

2、中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原

来的图形互相 ，那么这个图形叫做中心对称图形。

3、Ⅰ、平行四边形的性质：（1）平行四边形的 ；

（2）平行四边形的 ；（3）平行四边形的 。 Ⅱ、平行四边形的判定：（1）两组对边分别 的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别 的四边形是平行四边形。

（3）一组对边 的四边形是平行四边形；

（4）两条 的四边形是平行四边形；

4、Ⅰ、正方形的性质：一般性质________________;特殊性质_______________。

Ⅱ、正方形的判定：从四边形角度________________;从平行四边形角度_____________；从矩形角度____________;从菱形角度___________.

考点/易错点1

正方形的特殊性质和判定的理解和记忆。

考点/易错点2

正方形和平行四边形性质判定的综合题型，注意区分。

三、例题精析

【例题1】

【题干】如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：

222①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE+PF=PO；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点

P是AB的中点．

其中正确的结论有（ ）

【答案】

【解析】

【题干】如图，正方形ABCD中，AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC,CD运动，到点C,D时停止运动，设运动时间为t(s),△OE的

【答案】B

【解析】解析：经过t秒后，BE＝CF＝t，CE＝DF＝8－t，SBEC2cm2)与

（C） （D） 1t42t， 2

111SECF(8t)t4tt2，SODF(8t)4162t， 222

1212所以，SOEF322t(4tt)(162t)t4t16，是以（4,8）为顶点，开口22

向上的抛物线，故选B。

【例题3】

【题干】如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）SAOBS四边形DEOF中正确的有（ ）

A. 4个

B. 3个 C. 2个 D. 1个

【答案】：B.

【解析】解析：在正方形ABCD中，因为CE=DF，所以AF=DE，又因为AB=AD，所以ABFDAE，所以AE=BF，AFBDEA，DAEABF，因为DAEDEA90，所以DAEABF90，即AOF90，所以AE⊥BF，因为SAOBSAOFSAOFS四边形DEOF，所以SAOB S四边形DEOF，故（1），（2），（4）正确.

【例题4】

【题干】如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）

A．14 B．15 C．16 D．17

【答案】：解答：解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=4，

∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，

故选C．

【解析】考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．

分析：根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．

点评：本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长．

【例题5】

【题干】如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）

【解析】

【例题6】

【题干】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（ ）个．

【解析】

【例题7】

【题干】如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）

A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】：解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，

根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=

∴AC=2CD，CD==2，

222∴EC=2+2，即EC=；

2∴S2的面积为EC==8；

∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，

∴S1+S2=8+9=17．

故选B． CD，

【解析】考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．

专题：计算题．

分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=

然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答． CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；

点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．

【例题8】

【题干】如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已

知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）

【解析】

【例题9】

【题干】如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连接BG．根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系何者正确？（ ）

A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4

【答案】：解答：解：∵四边形ABCD、AEFG均为正方形，

∴∠BAD=∠EAG=90°，

∵∠BAD=∠1+∠DAE=90°，

∠EAG=∠2+∠DAE=90°，

∴∠1=∠2，

在Rt△ABE中，AE＞AB，

∵四边形AEFG是正方形，

∴AE=AG，

∴AG＞AB，

∴∠3＞∠4．

故选D．

【解析】考点：正方形的性质．

分析：根据正方形的每一个角都是直角求出∠BAD=∠EAG=90°，然后根据同角的余角相等可得∠1=∠2，根据直角三角形斜边大于直角边可得AE＞AB，从而得到AG＞AB，再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出∠3＞∠4．

点评：本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用．

【例题10】

【题干】附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重迭情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC

的距离为何？（ ）

A．2

【答案】：解答：解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=60°，

∵BD=BE，

∴△BDE是等边三角形，

∴∠BDE=60°，

∴∠A=∠BDE，

∴AC∥DE，

∵四边形DEFG是正方形，GF=6，

∴DE∥GF，

∴AC∥DE∥GF，

∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6， B．3 C．12﹣4 D．6﹣6

∴F点到AC的距离为6

故选D． ﹣6．

【解析】考点：正方形的性质；等边三角形的性质．

分析：过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，两直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，

再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解．

点评：本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的高线等于边长的倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键．

四、课堂运用

【基础】 1.已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程： 。

答案

本题答案不唯一，如(x1)=25；

析 解析：把缺口补回去，得到一个面积 分25的正方形，边长为x＋1。

2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为

． 2

分析

【巩固】

1. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为 6 ，小球P所经过的路程为 6

．

分析

2. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 10 ．

3. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．

4.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：

①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．

其中正确的序号是 ①②④ （把你认为正确的都填上）．

【拔高】

如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为 ．

课程小结

1、认识图形的旋转及性质，会根据要求画旋转图形。

2、认识中心对称图形及其性质，会设计一些中心对称图案。

3、理解并掌握中心对称图形（平行四边形）的性质、判定及其应用。

课后作业

【基础】

1.如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC,AE=1，连接BE，则tanE=_____________. 答案：2 3

解析：

2. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接

BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度

的最小值是 ．

AD答案：1 解析：

B第16题图C

【巩固】

1. 对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为 14 。 ［解析］连接AC，四边形ABCD是正方形，

AC⊥BD，E、F分别BC、CD的中

点，EF//BD，AC⊥EF，CF=CE，△EFC是等腰

直角三角形，直线AC是△EFC底边上的高所

在直线，根据等腰三角形“三线合一”，AC

必过EF的中点G，点A、O、G和C在同一条

直线上，OC=OB=OD，OC⊥OB，FG是△DCO的

1中位线，M、N分别是OB、OD2

111的中点，OM=BM= OB，，OG=OM=BM=ON=DN= BD，等腰直角三角形GOM的面积224

11222

为1， OM•OG= OM=1，2 ,2AD= BD=32,AD=4,

图2中飞机面积图122

中多边形ABEFD的面积，飞机面积=正方形ABCD面积-三角形CEF面积=16-2=14。

2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分

ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂

足分别为M、N。

(1) 求证：ADB=CDB；

(2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。

解析：

证明：(1) ∵BD平分ABC，∴ABD=CBD。又∵BA=BC，BD=BD，

∴△ABD  △CBD。∴ADB=CDB。 (4分)

(2) ∵PMAD，PNCD，∴PMD=PND=90。

又∵ADC=90，∴四边形MPND是矩形。

∵ADB=CDB，PMAD，PNCD，∴PM=PN。

∴四边形MPND是正方形。 (8分)

3. 如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．

（1）求证：△ADE≌△ABF．

（2）求△AEF的面积． D

4. 四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．

（1）求证：△ADE≌△ABF；

（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到；

（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．

【拔高】

1. 如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．

2. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：证明题；探究型．

分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．

（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，

∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS）．

∴CE=CF．（3分）

（2）解：GE=BE+GD成立．（4分）

理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF，（5分）

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，（6分）

又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG（SAS）．

∴GE=GF．（7分）

∴GE=DF+GD=BE+GD．（8分）

点评：本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．