二元一次方程经典例题讲解

二元一次方程组

【学习重点与难点】

1．重点：准确熟练地解二元一次方程组

2．难点：（1）二元一次方程有无数个解；二元一次方程组一般只有一个解，在特殊情况下，二元一次方

程组也存在无数个解或无解的情况。

（2）正确地运用二元一次方程解决实际应用问题

【知识讲解】

1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二

元一次方程．

例1．关于x 、y 的方程3x m-2－2y 2n －1=7

(1) 当m 、n 为何值时，是一元一次方程？（2）当m 、n 为何值时，是二元一次方程？

2. 二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般

地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

⎧x =2⎧2x +(m -1) y =2例1： 已知⎨是方程组⎨的解，求（m+n）的值．

⎩y =1⎩nx +y =1

⎧ax -by =2⎧x =-2⎧x =3例2. 在解方程组⎨时，一同学把c 看错而得到⎨，正确的解应是⎨，那么cx +7y =8y =2y =2⎩⎩⎩

错误的C 是多少，正确的C 又是多少，并把a,b 的值求出来。

3. 二元一次方程组的解法一般有二种：（1）代入消元法（2）加减消元法，无论是“代入消元法”还是“加减消元法”其基本思想都是“消元”，即都是化“二元方程”为“一元方程” 例1. 已知|x -y +2|与(x +y -1) 2互为相反数，求x 、y 的值。

5x 2+2y 2-z 2

例2. 若4x -3y -6z =0，x +2y -7z =0，则2等于（ ） 2x -3y 2-10z 2

119 A. - B. - C. -15 D. -13 22

4. 运用二元一次方程在解决实际问题中，要找出问题中的相等关系弄清问题的意义，分析实

际问题中已知量、未知量间的相等关系，根据这种关系建立数学模型，在列方程组过程中，一般情况下，两个未知数就列出两个方程，三个未知数就列出三个方程。

例1：有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，求这个两位数。

例2: 为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．

（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？

（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B 型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）

【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（11x+1）万m 3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m 3，可列方程x+3x+x+1=11.8； 22

⎧30x +20y =600

⎩15x +30y =600 （2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，B 型车每辆每次运土石yt ，•依题意可列方程组⎨

解方程后可求解．

【解答】（1）设甲水厂的供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（1x+1）万m 3． 2

1x+1=11.8，解得x=2.4． 2 由题意得：x+3x+

则3x=7.2，x+1=2.2．

答：甲水厂日供水量是2.4万m 3，乙水厂日供水量是7.2万m 3，•丙水厂日供水量是2.2万m 3．

（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，每辆B 型汽车每次运土石yt ，由题意得：

⎧30x +20y =600⎧x =10 ∴ ⎨⎨⎩15x +30y =600⎩y =15

答：每辆A 型汽车每次运土石10t ，每辆B 型汽车每次运土石15t ．

【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．