长沙理工大学线性代数考试试卷答案3

长沙理工大学模拟试卷标准答案

课程名称：线性代数试卷编号：3

一，判断题（每小题2分，共10分） 1，√，2，√，3，×， 4，√，5，×；二：填空题：(每小题5分，共20分)

A *

1，0；2，；3，无关；4，2α+3β；

三：计算题（每小题10分，共60分）

111124

果（3分） 9根据范德蒙行列式的结

-11-2

1，原式=114

-11-[1**********]1

（10分） (1+1)(-2+1)(2+1)(3+1)(-2-1)(2-1)(3-1)(2+2)(3+2)(3-2) =2880；

5⎫⎛00⎫⎛10⎛15-5⎫2

⎪ ⎪ （3分）（3分）（4分） , BA =, A =⎪ -20-10⎪ -3010⎪⎪；00⎝⎭⎝⎭⎝⎭

3，（1）根据已知B ≠0，可知方程组有非零解，

2，AB =

则系数行列式2

2-11

-2

λ=0⇒λ=1；（6分）

-1

（2）因为已知齐次方程组有非零解，则解空间的维数≤2，所以B =0；（4分）

⎛1-12-1

02214，

3-18-2

1-30-2⎝1⎫⎛1-12-11⎫⎛1-1⎪ ⎪ 1⎪ 02211⎪ 02→→ ⎪ ⎪40221100⎪ ⎪

⎪ 0⎪⎭⎝0-2-2-1-1⎭⎝00

1-1

210000

1⎫⎪1⎪

（6分） ⎪0⎪0⎪⎭

因此第一列与第二列是一个最大无关组；（10分）

⎛100⎫

⎪-1

5，根据已知存在矩阵P =(p 1, p 2, p 3)，使得P AP = 000⎪，（4分）

00-1⎪⎝⎭⎛100⎫⎛12-2⎫⎛100⎫⎛ ⎪-1 ⎪ ⎪ 所以A =P 000⎪P = 2-2-1⎪ 000⎪ 00-1⎪ 31⎪ ⎪2⎭⎝00-1⎭ ⎝⎭⎝⎝-⎫⎪

⎪（8分） ⎪-⎪⎭

⎛ = -⎝⎛1 -1

6，A =

0 0⎝

-⎫⎪-⎪（10分） ⎪

⎪⎭-100⎫

⎪

502⎪

，（5分）

010⎪

⎪

200⎪⎭

1-10

1-=4>0, -150=4>0，=-40, （9分）

-15

001

因此f 既非正定也非负定；（10分）四：证明题：（10分）

证明；设存在一组数设k 1, k 2, k 3使得k 1(α+2β) +k 2(β+2γ) +k 3(γ+2α) =0，（3分）（4分） ⇒(k 1+2k 3) α+(2k 1+k 2) β+(2k 2+k 3) γ=0，

⎧k 1+2k 3=0

⎪

又向量组α1, α2, α3线性无关，因此⎨2k 1+k 2=0⇒k 1=0, k 2=0, k 3=0，（9分）

⎪2k +k =0

3⎩2

由此可知，α+2β, β+2γ, γ+2α也线性无关。（10分）

长沙理工大学线性代数考试试卷答案3

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