传递关系的充要条件

第２５卷 ４第期

　０Ｖ．５ｏ４Ｎ１ 　．　２

延安 业技 术学职院 学报　

Ｊ ｕ ａ　ｆＹ ａａ　 ｃ ｎｔ ＆ｌＴｅ ｈ ｉ　ａｎ ｔｅｕｏ ｒ ｌｏ 　’ｎ ｎＶ ｏａｉ ａｎ ｃ ｎｃｏ Ｉｓｌ ｔ　 ｉ

２ｔ ０１ １年８ 　

Ａ月ｕ． ０１ 　ｇ ２ １　

传关系递充的条件要

　 樊雪 双 ， 娟云 　

李 ． （安恩 源院， 学西西 安７ ０３； ．１ 西陕 １ ０ ２ 西８安汽车 技 科 院， 学 西安西７ ３０ ）陕 ０ １８

　

摘【

要１

对 过复 合关 的研 系 ，究 出关了系 Ｒ 具 有 递 传性的 一 个 要充 件 ， Ｒ条 　Ｒ 由该 ，要充条 件 得 出一 些重　 通 给 即

并

要 结 果。

　【

词】 系； 键关 传递 性 ； 关递闭 包 传 　

［ ！／￣￣ １ ５ 　ｉ 中，ｉ － －０ ８１ｌ） 　＂［ 献 标识】 码　文 ［ Ａ章文编 号】 ６４６ ９ ｛ ００１ — ０ ０ ９ 　１７— １８ ２ １ ） ４ ４ —０ ２

在许 多

散离 教材 中 给，出 了 关 具系有 反自 性 都，对称　 性 的 要 条 充 件， 关 于递传性 的 充要 条 件 研 较 究 ，少文　 但 给 下了出判定 一个关 系 是具否 传有 递性的 方 。 　 法定 义１ Ａ 。： 设 Ｂ是 个 两给定的 集 合 Ｒ，　Ａｘ 则 　若 Ｂ

，

递 性 充的 条 要是 件　 妄Ｒ Ｒ 　

。证明

充：性分若（ｂ Ｒ， ∈， Ｒ∈，ａ ） 　 ） ，ａ Ｃ（ ｂ） 则（ｃ∈

，再于由 Ｒ，　 ａ ）则（ ， Ｒ∈ ， 从而 ｂＲ有具递传。 性

　称 Ｒ

是 集 合从 到Ａ集 合 的 Ｂ一 关个 ，系 ）ａＬ 时 ，（当， ∈ １ｂ　 则 称

ａ与 ｂ有关 系 Ｒ 　

特。 别 ，Ａ 时，ＢＲ 是 上Ａ 关的系 。当 ＝ 称

　 　

必２性 若要 ａ Ｒ２）则在 ｂ存 ，∈ ∈，， ｃ Ａ 使（得ｂ ∈ ａ ） 　， Ｒ，， ∈１， （ ｃ Ｌ 由再 于具Ｒ有传递， 性 ａ ）） ｂ（则 ｃ ∈２ 　Ｒ ， 从，

Ｒ而 　Ｒ 　

。

义 ２定设Ｒ Ａ是上一的关个系，Ｒ满足以 性下质：： 若 　

推 论 １ 设

Ｒ是 空 非合集 上Ａ 一的 关 系个 。： 具 有Ｒ传 　 递性 充的要条 是件 于对任 意整 正 Ｎ都数 有　Ｒ， Ｎ

＋１　

若 ） ａＲ且（， ∈， ａ Ｒ） ， ∈ ｂ１ｃ） ）Ｎ（ｃ ∈Ｒ。 ， 　 则称

Ｒ 具有 传 递性， 为 Ａ上的一 个传 递 关 。系Ｒ称 　

Ｒ

Ｎ。

　证明

充分： 取性 Ｎ ＝ 时由定Ｉ １ 可理 Ｒ具得有传递性 　。必要

性 Ｎ当１ 时由定 理 １ 可得Ｒ 什 ： 　

．Ｒ

义定３ 设 Ｒ和 是ｓ集 合Ａ关上系 ， Ｒ和 Ｓ的复　义 定

合关 ：系 如下： 　

Ｒ・ 　 Ａ ×Ａ、 Ｓ

　假

设 　

当

ｋ 　 ＋

１

ｌｅ 　

ｋ＋’ 　

Ｎ

＝有 Ｒ

　 ｋ

　 ．Ｒ当 ＝ ＋ ｋＮ１ 时 ， ∈，　 Ｒ（ｃａ）

，

，

则　

且Ｒ

＝ ・（ｃｌｂ Ｉ） ） ｓａ｛ ， 　 （Ａ∈（ｇｂ∈ ，Ｒ ∈，Ｓ）ａ ）） ， （ｃｂ ， 　

特）别 地 ， Ｓ 则ＲＲ ・ 为 记Ｒ。 若 ， Ｓ可 ＝ 　　

存 在

∈ｂＡ ，得使，）（ ａ∈ｋＲ ｂ＋ （ ，Ｒ∈ ．于 　Ｒ ｂｃ　 ）由

定义 ４

设 Ｒ 是非 集合空 Ａ上 的一个 关 系． Ａ上 　的 ： 若关 系

满 足 Ｒ以条下件 　：

　

　Ｒ， ａ） 则 （ｂ∈ 　Ｒ ．于（由，∈Ｒ ，ａ ） ， ｂｃ再 ）（ｃ ∈Ｒ则　　， ．Ｒ， （

ｃ ∈ １】　． 而Ｒ　 ｚＲ１ ｋ 即ａ ） ｋＬ 从 ，　＋ Ｋ 十 　 　 　

．＋

此因由 归 　纳

（） 　 Ｒ１ 具有传递 性 （ ）； ２　Ｒ ｌ ｑ；　． 　 ） （上 Ａ何任 包 含Ｒ传的 关递系 Ｒ ３对 都 　 Ｒ 有Ｒ。 　 　　 则 Ｒ 称 是Ｒ的 传递 闭 ， 包 记为 　Ｒｔ ）（。 　 理 定 １设：Ｒ是 非空 集 合上Ａ 的 个关 系 一 Ｒ，具有传 　

可 得 Ｒ法Ｎ Ｒ　 ＋

　　。

推

论 ２ Ｒ是 设非空集合 Ａ 上 一 个 关的 系． ：Ｒ具 有　传递

性的 要 条件是 对 充于任正意整 数 ＰＮ 都　有 Ｎ ｐ 一　，＋ 　 Ｎ 。 　 　。

证 ：明 分 性 Ｐ Ｉ由 取推论 １ 转（ 第 充 ＝５　 下 １页） 　

［ 稿 期日 ２】 １－ ７ ０　 收 ００ １—

５

【 简者介 １雪 双樊 （ ０９ 男， １作 －） 山８省 洪洞西人 ， 安 西源思 学教 师院， 方向 ： 究代 效数 研 。 有

４　 ・９ 　

・

第

５卷２ 第期　４

正

矩定 阵的质　性

ＢＸ％ ａ Ｕ　 ｉＴ Ｘ￣ｊＸ 。 ｋ ｋ Ｘ＞

现 须证： ｋ－ ．ｋ ＞， ￣ ａｊ＞ 由Ｂ０ ｔＸ ｊＸ ０存知在ｎ阶可 矩逆阵　

ｊ ，

（ａ）ｑｋ ＞　 ，） （ｋｊ Ｃ故０ 是Ｃｎ阶正定对 　ｊ ｉｊ ｑ］０２ ａ＝） ｂ ，ｋ￣ ｘｘ Ｘ（ ｉ １ｊ ＞ｋ

称 阵 矩 。

　

以上是 我 们 根 据前 面 所 给 的 定 理 得 的 一出 结　

些Ｑ ｉ（ ，Ｂ （ Ｔ ） ｂ＝ ∑ｑ ，＝ｌｑ２．） ＝ ） ｑｉ使＝ ＱＱ即 ｋｊ Ｊ￣０ ，ｋ…． ｊ１１

　所以 　

　

ｎ

论 ，解 这了 些性 质 使我们 一 将个复 杂 的 问 题 简 单 化 ， 　处理

起 来 也比较方 便，对 于 平 时解 决 问 题也 有 意 想 不 　到的

效 。 果

　ｋｊ　

ｑｊ　 ｋｋｇ茎 ｂｘｑ 。　Ｘ 善。善ｊＸ ｊ　 ａ） ｑｊ ｑａ　ｋ ：　　 ｌｋ Ｘ （）ｘ ｊｊ￣ （）Ｘ

（

对 任＝ｘ，Ｘ…． ¨≠ ０因为 可 Ｑ逆， 总以　 存】（ ２， ） Ｘ ｘ　 ， 所

参

文考 　献 ［ 华］ ．阵 论 ［ 戴１矩 Ｈ］ 京 ． 学 ．出版 社 北，

科 　２

．１Ｏ０ 　

在个 １一 使， （得Ｉｌ ２ ｑｘ≠ 因０若≠ｏｘ ，　 ｑｘ， ｑ　 ｘ 　一 　 　ｊ（ ｌ）

由则Ｑ可 逆 知 Ｑ 的 第 一列 总 有 一中个 元 素 为 零不， 为 　

ｑｌ设＝￣ ｑｌ ０ Ｘ ｌＪ ，。＝ｌ ｌ ）　≠

又 因

＞Ａ 知，　 ｋ。ｊＸ ，ｊ ｘ　＞１ 立 ， 故有 　Ｏ （ｑａｋｋ ）ｔ ｊｏｌ ｑ ） Ｘ（

成［ 许

华甫． 性 代 典数型 题 精 讲 ［ ． ： ２连］ 线Ｈ］ 大 　

大连理 工 大 出 社版 ０， ２．２ ０　

ｆ 接第 ４ 上 ９ 页） 可得 Ｒ具 有 传递 性。 　 要必

性Ｎ

　由推论 ｌ可得 ＮＲ ＲＮ 　卜 ＋ 　

＋ 　

…Ｒ 　 斗Ｎ

由上以可知ｔ ＝ Ｕ　。 （Ｒ） 　

推 ４设 Ｒ是 论非空 合 Ａ上 集的一 关个系 ， Ｒ具：有 　传

Ｎ

＋ Ｐ 　

Ｎ　

Ｒ

， 而Ｒ　 从

Ｒ 。

推　论３ ：Ｒ 是非空集 合Ａ 的一上个关 ， 系 ｔ 设＝ 则 （ 　Ｒ）

递 的充 性要条 件是ｔ ： 。（ 　 ＲＲ）证

明 ：充 分 性由 义定４可 知显Ｒ 然有 具递 性． 　 必要传性 若 Ｒ 具有传 性 递由推论．２可得 对任意 正　

Ｕ 　。Ｒ。

１　　

证

：明 Ｕ Ｒ ＝。 令 　ｓ

ｆ１　 先 证 Ｓ明具有传 递 性。 １ 首 　

数整ｉ 　 都

∞ 　

有

Ｒ 从， Ｕ　而

ｉ＝ 　

１

。再由Ｒ ＲＵ 　 　Ｒ　

ｉ ＝ｌ 　

可

Ｒ：知　Ｕ 　 ， Ｒ根据再推论 ３可知 ｔ Ｒ） 。＝（ 　Ｒ由以

上 定理 推和 可论 得以下结果 ：　

若

Ｃ（ Ｓ∈ ａ，） 则存 在 ，ｂ∈Ａ， 使得（ ∈ｂ， Ｓ， ∈ ，）ａ， （ＣＳ 　ｂ）

而进存在 Ｍ ， Ｎ， Ｒ∈ Ｍ，（∈ Ｒ　，， （ｂ ） ｂａｃ） 而从（ ｃ ＲＭ∈．ａ ，）　 ，

推论 ５设 是 非 空 合集上 一的个 关 系 ，下各 以条　 ： 则

件 互等相 价： 　

Ｒ， ａ） （，即∈Ｒ ，　 ｃ 一进步可得 ｃ （Ｓ∈此由得 Ｓ ａ） ，可 ，

　再 Ｓ定 由 ｌ可理 Ｓ具有 知递传 。 ，性　

∞ 　

（

）１ Ｒ具 传有 递性 （； ）＝Ｒ ； （任） 意正整 　 　数 ２Ｒ Ｃ。　 ３

都 Ｎ 有　 ，Ｒ Ｒ； 　

（ 然显有 ＲＵ 　 　２） 　 。 Ｒ　

＝ ｉ １　

） ４ （于 对意 任整 数 正，，ＮＰ都 Ｒ有Ｎ　 Ｒ　 　＋ ；

（ ３

）若 Ｔ Ａ是 的 一上个 传 关 递系 且　 ＴＲ ，下以 证　明Ｓ

　Ｉ。 ‘　∞

　

（５） Ｕ Ｒ Ｒ　 　 ；ｉ＝ １

　

（Ｒ ＝ ＵＲ ６ ）； 　

（

ｔ＝ 　７ Ｒ。 （ ）Ｒ）参 考 文 献　

对

任于（，意 ∈ｓ （，即） ａ ）， ａ ∈　Ｕ　 ｂ ｂＲ， 则存在正整 　

＝ ｉ １

数 　使Ｍ得（， ） ａ Ｒ∈ Ｍ由于 Ｒ　 ，Ｔ归 纳 法 可 得 对于

任　 用ｂ。

意 正 整数　 有 都“ Ｔ　Ｒ从 而 可得　 Ｃ ＝

。。

Ｔ

，Ｍ

进

而得（ ， ａ 　

＿

［魏］贵 明 ， １ 灿 胡．离散 数学 ［１． 京 ： 等教育 　卜 ］ 高

北版 社 ．２出０ 　 ０ ７

． ｂ∈）ＴＭ 由 于具有Ｔ传 递性 ， 据推论 ２ 可 知Ｔ Ｃ 　 Ｍ根Ｔ

． 　

［

］ 炯 民 章，新 伟 ．２ 王散 离 数 ［ 学． 京］ 华 ：大　Ｈ 北 清学 出版 社 ．０ ５．２ ０

　 一 步 可 进 （得， ∈Ｔ 。总 ．之 Ｔ　　 ａｂ Ｓ）

・

５ｌ ・