股市大盘指数的马尔科夫链预测法

股市大盘指数的马尔科夫链预测法

韦丁源

（武汉理工大学

=摘

要>

湖北武汉

’*##$#）

马尔科夫链是一种应用于随机过程问题中的有效预测方法。本文建立了股市大盘指数预测的马尔科夫链数马尔科夫链；大盘指数；转移概率矩阵

学模型，并举例说明了如何应用。

=关键词>

=中图分类号>@8*#)(=文献标识码>1=文章编号>&##8?$!%!,

随着我国市场经济建设的高速发展，人们的

生活水平大幅度提高，可支配收入也渐渐多了起来，人们的金融意识和投资意识也日益增强，投资理财越来越成为一个热门的话题。由于我国的资本市场不发达，人们的投资选择范围相对要窄一些，在实际利率为负的情况下，投资股市成为主流投资行为。截至

而且人数还在进一步上升。作为市场(!$&)*’万户，

经济的组成部分—股票市场，也正逐步走向成熟与规范。国外资本市场的发展历史已经证明股票是一种不仅在过去已提供了投资者可观的长期利益，并且在将来也将提供良好机遇的投资载体。然而，股价涨跌无常，变幻莫测，投资者要想在股市中赢取丰厚的投资回报，成为一个成功的投资者，就不仅要认真研究上市公司的历史、业绩和发展前景，以及详细分析上市公司的财务状况，而且还要熟悉各种技术分析，理想的状态是基本面分析选择股票，技术分析确认买卖股票的时机。

在买卖股票中有一个事半功倍的原则就是“顺势而为”，即当大盘处于持续上涨阶段的时候买入股票，选股成功率会比较高。一个有效的股票市场，其大盘指数应该是随机波动的+反映市场信息的同质等量分布。我们可以通过分析过去的信息+分析大盘指数运动趋势+来预测大盘指数的未来可能的走势。马尔科夫模型是利用某一变量的现在状态和动向+去预测该变量未来的状态及其动向的一种分析

=收稿日期>

手段。由于其具有的马尔科夫性,无后效性-+对历史数据需求不多+预测方法具有很多优点+因此在现代统计学中占有重要的地位。马尔科夫模型与其他统时间序列等-的不同之处在于+计方法,如回归分析、

它不需要从复杂的预测因子中寻找各因素之间的相互规律。只需要考虑事件本身的历史状况的演变特点+通过计算状态转移概率来预测内部状态的变化+所以马尔科夫模型在股市大盘指数预测中具有广泛的实用性。本文运用马尔科夫模型，对具有马尔科夫性的股票大盘指数进行分析和预测。

&

马尔科夫链预测法的理论基础

&)&马尔科夫性

.,/0-马尔科夫链，因安德烈・马尔科夫（1・

得名，是数学中具有马尔科1・234567+&8%!—&(

夫性质的离散时间随机过程。我们知道，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断变化的。在一般情况下，人们要了解事物未来的发展状态，不但要看到事物现在的状态，还要看到事物过去的状态。马尔可夫认为，还存在另外一种情况，人们要了解事物未来的发展状态，只需知道事物现在的状态，而与事物以前的状态毫无关系。马尔科夫过程的理论在近代物理、生物学、管理科学、经济、信息处理以及数字计算方法等方面都有重要应用。在此过程中，在给定当前（当前以前的历史状态）信息或知识的时候，过去对（当期以后未来的状态）于预测未来是无关的。

现在用分布函数来表示马尔科夫性。设随机过程9.,/-+/#:;的状态空间为

!!

-../年$月0’12+3(’4513+5672387’3+89&1+7&:2;79)-../

?个数值@#A@-A…@?B?$%B@C#9B在条件6D@CEFGCB

…?*#下，GC#7BCF#，-，6D@?E的条件分布函数恰等于在条件6D@?*#EFG?*#下6D@?E的条件分布函数，即

HI6D@?E%J6D@#FG#B6D@-EFG-B…，6D@?*#EF

G?*#KFHI6D@?E%G?J6D@?*#EFG?*#KG?#2

#)-马尔科夫链

时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链，简称马氏链，记为I6?F6D?EB?F.B#B-B…K，所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率。它可以看作在时间集9#FI.B#B-B…K上对离散状态的马氏过程相继观察的结果。我们约定记马尔科夫链的状态空间7FIL#BL-B…K，LC#

马尔科夫性通常用条件分布律来表2。在链的情形，

示，即对任意的正整数?BM和.%@#A@-A…@MAN；@C，有NB?ON#9#，

…，>{6NONFLP&6@FLC，6@FLC，6NFLC}

#

#

--

移到状态LP，即6D[OTOUEFLP”这一事件可分解

“从6D[EFLC出发，先经时段T转移到中间状态称

再从LW经时段U转移到状态LP”这LWDWF#B-B…E，样一些事件的和事件。

先固定LW#7和[#9#，R*S方程的证明如下：

由条件概率定义和乘法定理，有：

HI6D[OTOUEFLP，6D[OTEFLWJ6D[EFLCK

FHI6D[OTEFLWJ6D[EFLCK\HI6D[OTOUEFLPJ6D[OTEFLWB6D[EFLCK

（#）FHCWDTEHWPDUE

“6D[OTEFLW”，又由于事件组WF#B-B…构成

一划分，故有

HCPDTOUEFHI6D[OTOUEFLPJ6D[EFLCK（[OTOU）（[OT）（[）F’H{6FLP，FLW&6FLC}6

WF#V

（#）式代入上式，即得所要证明的R*S方程。将

R*S方程也可以写成矩阵形式：

HDTOUEFHDTEHDUE

在此矩阵形式中，我们令TF#BUF?*#B得递推关系：

HD?EFHD#EHD?*#EFHHD?*#EB从而可得HD?EFH?

就是说，对其次马尔科夫链而言，?步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的次方。进而可知，链的有限维分布可由初始分布与一步转移概率完全确定。

-马尔科夫链预测模型的建立

-)#马尔科夫链预测模型需要满足的条件当用马尔科夫链来进行预测的时候，要求预测对象满足下列条件：

-)-股市大盘指数满足马尔科夫链预测模型需要的条件

!

FH{6NONFLP&6NFLC}

其中LC#7。记上式右端为HCPDNBNO?E，我们

称条件概率

HCPDNBNO?EFHI6NO?FLPJ6NFLCK为马尔科夫链在时刻N处于状态LC条件下，在时刻NO?转移到状态LP的转移概率。

#)%转移概率矩阵

由转移概率组成的矩阵HDN，NO?EFDHCPDNBNO?EE称为马尔科夫链的转移概率矩阵。其形式为

H##…H#?FH!!H?#…H??

此矩阵的每一行元之和为#。

当转移概率HCPDNBNO?E只与C，P及时间间距?有关时，称此转移概率具有平稳性。同时也称此链是齐次的或时齐的。

#)QR—S方程

设I6D?E，?F.，#，-…K是一齐次马尔科夫链，则对任意的TBU#9#，有

F’H（，…H（H（C，PF#，-，CPTOU）CWT）WPU）

WF#V

这就是著名的RXL>NL?*S,YN,Z,M,U方程，简

“从时刻称R*S方程。即R*S方程基于下述事实，即6D[EFLC出发，经时段TOU转;所处的状态LP，

韦丁源=著股市大盘指数的马尔科夫链预测法

转移概率的稳定。

#$%马尔科夫链预测模型的建立

运用马尔科夫链预测方法来预测目标对象，就需要建立马尔科夫链预测数学模型。马尔科夫链的基本原理上面已做详细介绍，概括起来说，就是利用初始状态概率向量和状态转移概率矩阵来推知预测对象将来一个时期所处的状态。

记

&’()*+&,-)+.’/0.’#10’+20#0…

称它为马尔科夫链的初始分布。再看马尔科夫&’(3*+&,-)+.’/0.’#10’+20#0…（+2。又显然，应有’&’3）

’+24

链在任一时刻的一维分布：

（#）

出现#的次数为%次。由%转为22的次数为:次，

的次数为#次，故转移概率&%2+

#

由%转+)$#7)；

#

由+)$#7)；

6+

&,-3+.’/+’&’,-)+.50-3+.’/

5+2

4

为#的次数为#次，故转移概率&%#+

+’&’,-3+.50&-)+.’/&,-)+.5/

5+24

4

%转为%的次数为%次，故转移概率&%%+

+’&’,-)+.50-3+.’/

5+24

)$7))。同理可得&22+)$%%%，&2#+)$222，&2%+)$77!，&#2+2$)))，&##+)$)))，&#%+)$)))。由此可

（%）

得沪市大盘此阶段收盘价的一步转移概率矩阵为：用#))

（6）()*+())2*。利用模型式，可计算得：

&(2*+&()*・&+&()*・&

)$%%%)$222)$77!

(*・2$))))$))))$)))+))2

)$#7))$#7))$7))

+()$#7))$#7))$7))*

这表明#))

第二个交易日大盘指数状态概率向量为：&(#*+&()*・&#+()$67

第3个交易日大盘指数状态概率向量为：&(3*+&()*&3

%$#关于预测结果的说明

根据预测“#))

。这即是说，上涨的可能性为7)

只有当股市大

或即

&’(3*+’&5()*&5’(3*0’+20#0…

5+2

（#）也可用行向量表示成一维分布

&(3*+(&2(3*0&#(3*0…，&’(3*0…*

（#）可以表示成这样，利用矩阵乘法，

（6）

（7）&(3*+&()*&(3*+&()*&3

此式表明，马尔科夫链在任一时刻3#82时的一维分布由初始分布&()*和3步转移概率矩阵所

（7）确定。式也为马尔科夫链预测模型。

%

模型在股市大盘点数预测中的应用%$2应用实例

对于股市大盘而言，令-(3*表示股市大盘点数,-显然-(3*是一个随机变量，在第3天的收盘价，

(3*03$)/是一个随机过程。本论文假定股市大盘具有无后效性与齐次性。

为简化问题，只考虑%个状态。大盘指数下跌超

“2”，大盘指数下跌或过%)点，称为下降，记为状态“#”者上涨在27点范围内，称为持平，记为状态，大

“%”盘指数上涨超过%)点，称为上涨，记为状态。下面整理沪市大盘点数#))

由此表可知，最后一个交易日内大盘状态为%而无状态转移，故出现%的次数为:;2+

第#

/&01*2’&3402*4561276&2*78%0*6%91:68;%&’(#

盘指数上涨概率超过>-?的时候我们才可以认为

大盘指数上涨的可能性比较大。再下个交易日大盘指数只有$.(

由于马尔科夫链具有无后效性，在市场机制起一定作用条件下，用马尔科夫链法对股市大盘指数进行分析、预测比较有效。但是，马尔科夫链预测法只是一种概率预测方法，得到的预测结果仅仅表示大盘指数未来处于某种状态的概率，而非绝对会处于某种状态。股市大盘指数是受市场上的多种因素影响的结果。比如说市场上多空双方的力量比较，宏观经济政策，行业景气度以及投资者的心理因素等。因而没有任何一种方法可以完全准确的预测出每天的大盘指数变化情况，马尔科夫链预测法也不例外。例如当国家决定,--.(@(,@号开始下调印花税后，一步转移概率矩阵就会因此而发生变化了，再用这个一步转移概率矩阵来进行预测就是不合适了。但我们可以把用马尔科夫链预测法预测的结果和其他因素综合起来作为股票投资决策的判断依据。

@

其他说明

马尔科夫链不但可以应用股市大盘指数

@(#预测上，还可以直接应用于股市中的单个股票，期货交易等相关领域。

@(,样本容量大小也在很大程度上影响预测结果的准确度。对马尔科夫链预测法而言，并没有证

据表明大样本可以带来预测高准确度。因此在实际的股市大盘指数预测过程中，我们需要根据实际情况调整样本的容量。

@($马尔科夫链预测模型关键在于转移概率

矩阵的可靠性，因此该模型需要适量的足够准确的统计数据才能保证预测精度，这样的统计数据要求长时期内变化的详细记录。

@(@

选取适当的划分状态也是取得预测成功

的关键。如果状态划分过多，容易提升误差的几率。@(>马尔科夫链预测法只适用于对股市大盘做短期预测。因为只有当短期内，股市正常波动，没有重大的利好利空消息，股市大盘的变化才可以看作是一个随机的时间序列。而长期内影响股票的因素很多，最终得到的样本可能不符合使用马尔科夫链进行预测的条件。

A参考文献B

A#B盛骤(概率论与数理统计ACB(北京：高等教育出版社，,--$：$>@)$D!(

A,B查秀芳(马尔科夫链在市场预测中的作用A/B(江苏大学学报，,--$E>F(

A$B夏莉，黄正洪(马尔科夫链在股票价格预测中的应用A/B(商业研究(,--$E@F(

A@B王成震(股票价格指数的预测与风险分析A7B(东南大学，,--$(

A作者简介B韦丁源，男，汉族，武汉理工大学理学院应

用数学专业金融数学硕士研究生。

A责任编辑周海崖B

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