数学竞赛辅导 托勒密定理.(一)docx
托勒密定理
Ptolemy (约公元85年~165年) ,希腊数大天文学家,他的主要著作《天文集》被后人称为“伟大的数学书”。
圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积) 等于两组对边乘积之和。
已知:四边形ABCD 内接于圆,如图,求证:AB·CD+BC·AD=AC·BD 证明:在∠BAD 内作∠BAE =∠CAD ,交BD 于E 。
因∠ABE=∠ACD ,所以△ABE ∽△ACD , 从而AB·CD =AC·BE ①;
易证△ADE ∽△ACB ,所以BC·AD=AC·DE ②;
①+②得AB·CD+BC·AD=AC·BD 。
托勒密定理的逆定理:如果凸四边形两组对边的积的和,等于两对角线的积,此四边形必内接于圆。
已知四边形ABCD 满足AB·CD+BC·AD=AC·BD ,
求证:A 、B 、C 、D 四点共圆。
证明:构造相似三角形,即取点E ,使∠BCE =∠ACD ,且∠CBE =∠CAD ,则△CBE ∽△CAD 。所以BC·AD=AC·BE ①; CB CA =又,∠BCA =∠ECD ,所以△BCA ∽△ECD 。AB·CD =AC·DE D
CE CD ②;①+②得AB·CD+BC·AD=AC·(BE+DE)。显然有BE+DE≥DB。
于是AB·CD+BC·AD≥AC·DB。等号当且仅当E 在BD 上成立,结合已知条件得到此时等号成立,这时∠CBD =∠CAD ,即A 、B 、C 、D 四点共圆。
在四边形ABCD 中, 有AB·CD+AD·BC≥AC·BD. 并且当且仅当四边形内接于圆时,等式成立。
推论1(三弦定理) 如果A 是圆上任意一点,AB ,AC ,AD 是该圆上顺次的三条弦,则AC ⋅sin ∠BAD =AB ⋅sin ∠CAD +AD ⋅sin ∠CAB
推论2(四角定理) 四边形ABCD 内接于 O ,则
sin ∠ADC ⋅sin ∠BAD =sin ∠ABD ⋅sin ∠BDC +sin ∠ADB ⋅sin ∠DBC 直线上的托勒密定理(或欧拉定理) 若A ,B ,C ,D 为一直线上依次排序的四点,则AB ⋅CD +BC ⋅AD =AC ⋅BD
一、直接应用托勒密定理
例1如图,P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B 、C 重合) , 求证:PA=PB+PC .
分析:此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为 繁冗.若借助托勒密定理论证,则有PA ·BC=PB·AC +PC ·AB ,
∵AB=BC=AC. ∴PA=PB+PC.
二、完善图形借助托勒密定理
例2证明“勾股定理”:在Rt △ABC 中,∠B=90°,求证:AC 2=AB2+BC 2 证明:如图,作以Rt △ABC 的斜边AC 为一对角线的矩形ABCD ,显然ABCD 是圆内接四边形.
由托勒密定理,有 AC ·BD=AB·CD +AD ·BC . ①
又∵ABCD 是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD.②
把②代人①,得AC 2=AB2+BC 2.
例3如图,在△ABC 中,∠A 的平分线交外接∠圆于D ,连结BD , 求证:AD ·BC=BD(AB+AC) .
证明:连结CD ,依托勒密定理,有AD ·BC =AB ·CD +AC ·BD . ∵∠1=∠2,∴ BD=CD.
故 AD ·BC=AB·BD +AC ·BD=BD(AB+AC) .
三、构造图形借助托勒密定理
例4若a 、b 、x 、y 是实数,且a 2+b 2=1,x 2+y 2=1.求证:ax +by ≤1. 证明:如图作直径AB=1的圆,在AB 两边任作Rt △ACB 和Rt △ADB , 使AC =a ,BC=b,BD =x ,AD =y .
由勾股定理知a 、b 、x 、y 是满足题设条件的.
据托勒密定理,有AC ·BD +BC ·AD=AB·CD .
∵CD ≤AB =1,∴ax +by ≤1.
四、巧变原式妙构图形,借助托勒密定理
例5已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,且a 2=b(b+c) ,求证:∠A=2∠B . 分析:将a 2=b(b+c) 变形为a ·a=b·b +bc ,从而联想到托勒密定理,进而构造一个等腰梯形,使两腰为b ,两对角线为a ,一底边为c . 证明:如图,作△ABC 的外接圆,以 A 为圆心,BC 为半径作弧交圆
∴∠ABD=∠BAC .于D ,连结BD 、DC 、DA .∵AD=BC, ACD BDC
又∵∠BDA=∠ACB(对同弧) ,∴∠1=∠2.
依托勒密定理,有BC ·AD=AB·CD +BD ·AC .①
而已知a 2=b(b+c) ,即a ·a=b·c +b 2. ②
∴∠BAC=2∠ABC .
五、巧变形妙引线借肋托勒密定理
例6在△ABC 中,已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4,
分析:将结论变形为AC ·BC +AB ·BC=AB·AC ,把三角形和圆联系起来,可联想到托勒密定理,进而构造圆内接四边形.
如图,作△ABC 的外接圆,作弦BD=BC,边结AD 、CD .
在圆内接四边形ADBC 中,由托勒密定理,
有AC ·BD +BC ·AD=AB·CD
易证AB=AD,CD=AC,∴AC ·BC +BC ·AB=AB·AC ,
作业
1. 已知△ABC 中,∠B=2∠C 。求证:AC 2=AB2+AB·BC 。
2. 证明:从圆周上一点到圆内接正方形的四个顶点的距离不可能都是有理数.
3. 若a ≥b ≥c >0,且a <b +c ,解方程b x 2-c 2+c x 2-b 2=ax 。
4. 如图,圆O 外接于正方形ABCD ,P 为弧AD 上的任意一点, PA +PC 求证为定值。
PB
P A C
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