1 理论力学的研究对象和内容理论力学是研究物体宏观机械运动的

1. 理论力学的研究对象和内容

理论力学是研究物体宏观机械运动的学科。

力学的发展有着悠久的历史，而且与人类的生产实践密切相关。1678年，牛顿发表了名著《自然哲学的数学原理》，在前人研究的基础上，牛顿总结出了运动三大定律和万有引力定律，奠定了经典力学的科学基础。18世纪，机械工业有了很大发展，日益复杂的机械运动与受力分析要求新的力学方法。1788年，拉格朗日发表了名著《分析力学》，建立了约束系统动力学的理论与方法，即经典力学的分析力学体系。20世纪中叶以后，由于机器人等复杂机械系统的应用、航天技术的发展、运动生物力学的出现，以及计算机的广泛应用，形成了许多研究机械运动的新学科，如多刚体系统动力学、计算动力学等。尽管如此，经典力学在解决现代科技和工程问题中仍然起着重要作用。

本课程研究的内容是速度远小于光速的宏观物体的机械运动，这种运动是日常生活及一般工程中最常遇到的，经典力学有着最广泛的应用。理论力学所研究的机械运动的最一般、最普遍的规律是各门力学分支的基础。

课程内容包括静力学、运动学和动力学三部分。

静力学主要研究受力物体平衡时作用力所应满足的条件，同时研究力系简化的方法，以及物体的受力分析等。

运动学只从几何的角度研究物体的运动（如轨迹、速度和加速度等），而不研究引起物体运动的物理原因。

动力学研究受力物体的运动与作用力之间的关系。

2. 理论力学的研究方法

理论力学的研究途径可分为建立理论体系和理论的工程应用两个方面。

通过观察生活和生产实践中的各种现象，进行科学试验，经过分析、综合和归纳，总结出力学的最基本规律。如伽利略对自由落体和物体在斜面上的运动做了多次试验，从而推翻了统治多年的错误观点，引出“加速度”的概念。在对事物观察和试验的基础上，经过抽象化建立概念和力学模型，以公理为基础，经过逻辑推理和数学演绎，建立系统的理论体系。

力学理论的工程应用涉及综合的知识及科学方法，读者在课程学习中可逐步体会。

3. 学习理论力学的目的

理论力学是学习一系列后续课程的重要基础。很多工程专业的课程，如材料力学、结构力学、弹性力学、机械原理、机械设计、流体力学、振动理论、断裂力学以及许多专业课程，都要以理论力学为基础。

工程专业所遇到的机械运动问题，有些可以直接应用理论力学的基本理论来解决。

理论力学是一门演绎性较强的课程，对于逻辑思维训练非常有益。理论力学研究的机械运动广泛存在于日常生活和工程实际中

，学习理论力学时还应善于联系实际，多作分析和训练，培养灵活应用知识的能力。

静力学的任务是研究力系的简化与平衡条件。

力系是指作用在物体上的一组力。

平衡是指物体相对惯性参考系保持静止或作匀速直线运动。静止、运动都是相对某一参考系而言的。

力系的简化是指用一个简单力系等效地替换一个复杂力系，同时保持对物体的作用不变。此两力系互为等效力系。

平衡条件指在物体平衡时作用于物体上的力系所应满足的条件。

力系简化是静力学中寻找力系平衡条件的简洁途径，同时，在动力学中，当研究在给定力系作用下物体如何运动时，力系简化同样重要。力系的平衡条件可用于计算结构物在载荷作用下的内力或所受的支承力，以便为结构设计提供依据，因而在工程上应用广泛。

在静力学中，将研究的物体视为刚体，刚体是指在力作用下不变形的物体，是一种理想化的模型。刚体是一种特殊的质点系，其内部各质点间的距离保持不变。实际物体都有变形，是变形体，通常结构物各部件的变形很小，在研究某些问题时，可以忽略这些微小的变形而把物体看成刚体。静力学的研究对象主要是刚体。

力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化或使物体产生变形。前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应。

实践表明，力对物体的作用效果决定于三个要素： ①力的大小； ②力的方向； ③力的作用点。力的三要素表明，力是一个具有固定作用点的定位矢量。常用黑体字母F表示力矢量，而用普通字母F表示力的大小。在国际单位制中，力的单位是牛［顿］，符号是N。

学习静力学时，一方面要巩固与深化这些概念，更重要的另一方面是掌握新的理论与方法。

静力学的基本概念、公理及物体的受力分析是研究静力学的基础。本章将介绍力、力矩和力偶的概念及静力学公理，并阐述工程中常见的约束和约束力的分析。最后介绍物体的受力分析及受力图，它是解决力学问题的重要环节。

1.1静力学公理

公理是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经过实践反复检验，被确认是符合客观实际的最普遍、最一般的规律。

公理1力的平行四边形法则

作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图11所示。或者说，合力矢等于这两个力矢的几何和，即

FR=F1+F2(11)

这个公理是复杂力系简化的基础。

图11

公理2二力平衡

条件

作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是： 这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。即

F1=-F2(12)

图12

这个公理表明了作用于刚体上的最简单力系平衡时所必须满足的条件。

只在两个力作用下平衡的构件，称为二力构件，简称二力杆。如图12所示，刚体平衡时只在A，B两处受力，这两个力必定沿两力作用点的连线，且等值、反向。二力杆在工程实际中经常遇到，有时也把它作为一种约束。

公理3加减平衡力系原理

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。就是说，如果两个力系只相差一个或几个平衡力系，则它们对刚体的作用是相同的。

这个公理是研究力系等效替换的重要依据。

根据上述公理可以导出下列推理。

推理1力的可传性

作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。

证明在刚体上的点A作用力F，如图13（a）所示。根据加减平衡力系原理，可在力的作用线上任取一点B，并加上两个相互平衡的力

F1和F2，使

F＝F2＝－F1，如图13（b）所示。由于力F和F1也是一个平衡力系，故可除去，这样只剩下一个力F2，如图13（c）所示。于是，原来的这个力F与力系

(F，F1，F2)以及力F2均等效，即原来的力F沿其作用线移到了点B。

图13

由此可见，对于刚体来说，力的作用点已不是决定力的作用效应的要素，它已为作用线所代替。因此，作用于刚体上的力的三要素是： 力的大小、方向和作用线。

作用于刚体上的力可以沿着作用线移动，这种矢量称为滑动矢量。

推理2三力平衡汇交定理

图14

作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。

证明如图14所示，在刚体的A，B，C三点上，分别作用三个相互平衡的力F1，F2，F3。根据力的可传性，将力F1和F2移到汇交点O，然后根据力的平行四边形法则，得合力F12，则力F3应与F12平衡。由于两个力平衡必须共线，所以力F3必定与力F1和F2共面，且通过力F1与

F2的交点O。于是定理得证。

公理4作用和反作用定律

作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等，方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。若用F表示作用力，用F′表示反作用力，则

F=-F′(13)

这个公理概括了物体间相互作用的关系，表明作用力和反作用力总是成对出现的。由于作用力与反作用力分别作用在两个物体上，因此，不能认为是平衡力系。

公

理5刚化原理

变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。

这个公理提供了把变形体看成刚体的条件。例如绳索在等值、反向、共线的两个拉力作用下处于平衡，如将绳索刚化为刚体，其平衡状态保持不变。反之则不能成立，若绳索在两个等值反向的压力作用下就不能平衡。

由此可见，刚体的平衡条件只是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。在刚体静力学的基础上，考虑变形体的特性，可进一步研究变形体的平衡问题。

静力学理论都可以由上述公理推证而得到，这既能保证理论体系的完整和严密性，又可以培养逻辑思维能力。

1.2力的投影力矩力偶

1. 力在坐标轴上的投影

图15

力F的作用点为A，在力线平面内取坐标系Oxy，如图15所示。设F与x，y轴的夹角分别为α，β，则F在x，y轴上的投影分别为

Fx=Fcosα

Fy=Fcosβ

（14）

力的投影是代数量，投影的指向ab与轴的正向相同时为正值，反之为负值。

如已知力F在平面内两正交轴上的投影为Fx和Fy，则该力的大小和方向余弦为

F=F2x+F2y

cos(F，i)=

FxF，cos

(F，j）=

FyF

（15）

力F沿x，y轴的分力为Fx，Fy。只有在直角坐标系中，力在轴上的投影和力沿该轴的分力的大小相等。因此，力F用投影表示的解析表达式为

F=Fx+Fy=Fxi+Fyj（16）

其中i，j为沿x，y轴正向的单位矢量。

2. 平面力对点的矩

图16

力对点的矩是度量力使刚体绕此点转动效应的物理量。

如图16所示，力F与点O在同一平面内，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂，在平面问题中力对点的矩的定义如下。

力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定： 力使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负。

力F对于点O的矩以记号 MO(F)表示，即

MO(F)=±Fh=±2A△OAB（17）

其中A△OAB为△OAB的面积。

显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它对矩心的力矩等于零。力矩的单位常用N·m或kN·m。

已知力F、作用点

A(x，y)及其与x轴夹角α如图17所示。欲求力F对坐标原点O之矩，由力矩的定义，有

MO(F)=Fd=Frsin（α-θ）=F

sinα·rcosθ-Fcosα·rsinθ

即

MO(F)=xFy-yFx（18）

上式为平面内力对点的矩的解析表达式。其中x，y为力F作用点的坐标； Fx，Fy为力F在x，y轴的投影。

由式(18)可见，力F对点O的矩等于两个分力Fx与Fy对点O之矩的和。表明合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和，这就是合力矩定理。即

MO(FR)=∑MO(Fi)(19)

式(19)适用

于任何有合力存在的力系。

以上分析可知，由投影只可确定力矢F的大小和方向，确定不出作用位置，而合力矩定理可用于确定力线的位置。

例11如图18所示支架受力F作用，图中尺寸及α角已知。试计算力F对于O点的力矩。

图17

图18