集合经典例题

一、教学目标

1. 巩固集合

二、上课内容

1、集合知识点回顾

2、经典例题讲解

3、课堂练习

三、课后作业

见课后练习

一、集合知识点回顾

1、一般地，研究对象统称为元素（element ），我们通常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，d ，„„表示，这些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集，。集合通常用英语大写字母A 、B 、C „表示，它们的元素通常用英语小写字母a 、b 、c „表示．

2、如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A ，读作“a 属于A ”．如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A ，读作“a 不属于A ”．3、集合中元素的三个特性

元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象

或者是或者不是这个给定的集合的元素，

元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book 中的字母构成的集合，

元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。例如：集合{1, 2,3, 4, 5}和集合{5,4,3,2,1}是相同的集合。4．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．5．常用的数集及其记号．

N ：非负整数集（或自然数集）． N*或N +：正整数集（或自然数集去掉0）．Z ：整数集．Q ：有理数集．R ：实数集．

6、集合的表示方法

列举法：

定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

描述法：

定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

7、子集、相等、真子集、空集的概念.

① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：A ⊆B (或B ⊇A ) ，读作：A 包含于（is contained in）B ，或B 包含(contains)A .

② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：

记作：A ⊆B (或B ⊇A ) .

③ 集合相等：若A ⊆B 且B ⊆A ，则A =B 中的元素是一样的，因此A =B .

④ 真子集：若集合A ⊆B ，存在元素x ∈B 且x ∉A ，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset），记作：A

B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.

⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

8、交集、并集.

① 一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A 、B 的交集（intersection set），记作A ∩B ，读“A 交B ”，即：

A B ={x |x ∈A , 且x ∈B }.

Venn

② 类比说出并集的定义.

由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做

A 与

B 的并

集（union set），记作：A B ，读作：A 并B ，用描述法表示是：

A B ={x |x ∈A , 或x ∈B }.

Venn 试试：

全集、补集.

① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .

② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementary set ），记作：C U A ，读作：“A 在U 中补集”，即C U A ={x |x ∈U , 且x ∉A }.

补集的Venn 图表示如右：

说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.

三、经典例题讲解

（一）集合的表示

集合的表示方法

列举法：

定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

描述法：

定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

例1：下列说法正确的是（ ）.

A. 不等式2x -5

B. 所有偶数的集合表示为{x |x =2k }

C. 全体自然数的集合可表示为{自然数}

D. 方程x 2-4=0实数根的集合表示为{(-2,2)}

（二）子集的判断

方法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：A ⊆B (或B ⊇A ) ，读作：A 包含于（is contained in）B ，或B 包含(contains)A .

例2：满足{a , b }⊆A ⊂{a , b , c , d }的集合A 有 个.

（三）交集和并集的判断

方法：① 一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A 、B 的交集（intersection set），记作A ∩B ，读“A 交B ”，即：

A B ={x |x ∈A , 且x ∈B }.

② 类比说出并集的定义.

由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并

集（union set），记作：A B ，读作：A 并B ，用描述法表示是：

A B ={x |x ∈A , 或x ∈B }.

例3：设A ={x |x >a }，B ={x |0

四、课堂练习

1. 下列说法正确的是（ ）.

A. 不等式2x -5

B. 所有偶数的集合表示为{x |x =2k }

C. 全体自然数的集合可表示为{自然数}

D. 方程x 2-4=0实数根的集合表示为{(-2,2)}

2. 设集合A ={四边形}B , =平行四边形{C }, =矩形{，

是 ，并用Venn 图表示. D ={正方形}，则它们之间的关系

3. 下列结论正确的是（ ）.

A.

∅A B. ∅∈{0}

C. {1,2}⊆Z D. {0}∈{0,1}

4. 设A ={x x >1}, B ={x x >a }，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围为（ ）.

A. a

C. a >1 D. a ≥1

5. 若{1,2}={x |x 2+bx +c =0}，则（ ）.

A. b =-3, c =2 B. b =3, c =-2

C. b =-2, c =3 D. b =2, c =-3

6. 已知集合M ＝｛(x , y )|x +y =2｝，N ={(x , y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为（ ）.

A. x =3, y =－1 B. (3，－1) C. ｛3，－1｝ D. ｛(3，－1) ｝

7. 设A ={0,1,2,3,4,5}, B ={1,3,6,9},C ={3,7,8}，则(A B ) C 等于（ ）.

A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,} C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8}

8. 已知集合U ={x |x >0}，C U A ={x |0

A. {x |x ≤0或x ≥2} B. {x |x 2} C. {x |x ≥2} D. {x |x >2}

9. 设全集I ={0, -1, -2, -3, -4}, 集合M ={0, -1, -2}, N ={0, -3, -4}，则(ðI M )N =（ ）.

A ．｛０｝ B ．{-3, -4} C ．{-1, -2} D．∅

10. 已知A ={x |x 2+px +q =0}，B ={x |x 2-3x +2=0}且A ⊆B ，求实数p 、q 所满足的条件.

11. 已知全集I ={2,3,a 2+2a -3}，若A ={b ,2}，C I A ={5}，求实数a , b .

12. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A 表示合格产品的集合，B 表示质量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？

A ⊆B , B ⊆A , A ⊆C , C ⊆A

试用Venn 图表示这三个集合的关系

13、设函数f(x)=log2(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=(x -3)(x -1) 的定义域为集合N.

（1）求集合M 、N ；

（2）求集合M ∩N ，M ∪N ，（N ）∩M.

五、课后练习

1. 设A ={x ∈Z x ≤5}, B ={x ∈Z x >1}, 那么A B 等于（ ）.

A ．{1,2,3,4,5} B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{x

2. 设全集U =R ，集合A ={x |x 2≠1}，则C U A =（ ）

A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {-1,1} 3. 下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( )

A. {x | x =1} B. {x | x 2=1} C. {1} D. {x| (x-1) 2=0}

4. 若关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，且A ∩B ={-1}，求A B . 3