第四章频率特性(打印版)

控制工程基础

(第四章)

第四章

控制系统的频率特性

时域瞬态响应法：分析控制系统的直接方法。

X i (s )

G (s )

Xo (s)

L−1

x o (t )

特点：直观，分析高阶系统繁琐。 精仪系 李冬梅

－1－

第四章

控制系统的频率特性

第四章

控制系统的频率特性

频率响应是时间响应的特例，是控制系统 对正弦输入信号的稳态响应。 频率特性是系统对不同频率正弦输入信号 的响应特性。 频率特性分析法(频域法) 是利用系统的频 率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍 然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工 程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。

－2－

频率特性分析法是一种图解的分析方法。 不必直接求解系统输出的时域表达式，可 以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环 系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征 根。 系统的频域指标和时域指标之间存在着对 应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲 线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十 分方便、直观。

－3－

第四章

控制系统的频率特性

4.1 频率特性概述

频域法是工程上广为采用的系统分析和综 合的间接方法。 系统的输出响应与频率特性密切相关。 对不同频率的输入信号，输出响应不同。

4.1 机电系统频率特性的概念及其基本 实验方法 4.2 极坐标图（Nyquist图） 4.3 对数坐标图（Bode图） 4.4 由频率特性曲线求系统传递函数 4.5 由单位脉冲响应求系统的频率特性 * 4.6 对数幅相图（Nichols图） 4.7 控制系统的闭环频响 4.8 机械系统动刚度的概念

－4－

－5－

1

频率特性的物理背景

RC电路网络正弦输入的稳态响应

R

u i (t )

U i ( s) =

C

uo (t )

G ( s) =

已知 ui (t ) = sin(ωt ) 求稳态时 uo (t ) = ?

1 , T = RC Ts + 1 ω 1 ω 1T ⋅ = 2 ⋅ U o ( s ) = U i ( s )G ( s ) = 2 2 2 s + ω Ts + 1 s + ω s + 1 T

2

ω , s + ω2

图4-1 电路网络正弦输入的稳态响应

－6－

=

1 −ωT s 1 ω + ⋅ 2 + ⋅ 2 2 2 2 (ωT ) + 1 s + 1 T (ωT ) + 1 s + ω (ωT ) + 1 s + ω 2

2

ωT

⋅

－7－

RC电路网络正弦输入的稳态响应(续)

uo (t ) = L [U o ( s) ] =

−1

ω = 0.1 , T = 1

ωT

(ωT ) + 1

2

e

−

t T

1 −ωT + sin ωt + cos ωt (ωT ) 2 + 1 (ωT ) 2 + 1

G (s) =

uo (t ) =

ωT

(ωT ) 2 + 1

e

−

t T

+

1 (ωT ) 2 + 1

sin ⎡ ⎣ωt − arctan (ωT ) ⎤ ⎦

输入 ui (t ) = sin(ωt ) 输出 uo (t )

ω =1 , T =1

1

1 Ts + 1

1

0.5

0

-0.5

u o ( t ) = a (ω ) sin [ω t + φ (ω ) ] 稳态时， lim t→∞ 1 = G ( jω ) 其中， a (ω ) = (ω T ) 2 + 1 φ (ω ) = − arctan(ω T ) = ∠G ( jω )

G ( j ω ) = G ( s ) s = jω = 1 1 = Ts + 1 s = jω jω T + 1

－8－

-1 0

50 t/sec

100

150

1

ω = 10 , T = 1

0.5

0.5

0

0

-0.5

-0.5

-1 0

5 t/sec

10

15

-1 0

0.5 t/sec

1

1.5

－9－

RC电路网络正弦输入的稳态响应(续)

输入 ui (t ) = sin(ωt )

u i (t )

R

频率特性的物理背景

对于一般线性系统均有类似的性质。

C

uo (t )

线性系统

稳态 G(s)

图4-2 线性系统的正弦稳态响应

稳态输出 uo (t ) = a(ω ) sin[ωt + φ (ω )] 其中，幅值 a (ω ) = G ( jω ) 相位 φ (ω ) = ∠G ( jω )

稳态响应的幅值 A(ω ) = G ( jω )

G ( jω ) = G ( s ) s = j ω =

1 Ts + 1 s = jω

－ 10 －

相位 φ (ω ) = ∠G ( jω )

G ( j ω ) = G ( s ) s = jω

－ 11 －

2

频率特性的定义 设系统传递函数为 G ( s ) 。定义系统 输出信号的稳态响应相对其正弦输入信 号的幅值之比 A(ω ) = G ( jω ) 为系统的 幅频特性。 幅频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在幅值上的增益特 性（衰减或放大）。

－ 12 －

频率特性的定义(续) 定义系统输出信号的稳态响应相对 其正弦输入信号的相移 φ (ω ) = ∠G ( jω ) 为系统的相频特性。 相频特性描述系统在稳态下响应不 同频率的正弦输入时在相位上产生的滞 后（ φ 0 ）特性。

－ 13 －

频率特性的定义(续) 上述定义的幅频特性 A(ω ) = G ( jω ) 和相频特性 φ (ω ) = ∠G ( jω ) 统称为系统 的频率特性，它描述了系统对正弦输入 的稳态响应。

频率特性的定义(续) 稳态

G( s)

A(ω ) = G ( jω )

φ (ω ) = ∠G ( jω )

－ 14 － － 15 －

当输入为非正弦的周期信号时，其输入可 利用傅立叶级数展开成正弦波的叠加，其输出 为相应的正弦波输出的叠加，如下图所示。

当输入为非周期信号时，可将该非周期信号 看做周期 T→∞的周期信号。 傅立叶正变换式

+∞

F [ x(t )] = X ( jω ) = ∫

线性系统 图4-3 线性系统周期信号输入的稳态响应

－ 16 －

−∞

x(t )e − jωt dt

傅立叶反变换式

F −1[ X ( jω )] = x ( t ) =

1 2π

∫

+∞

−∞

X ( j ω ) e jω t d ω

－ 17 －

3

傅氏变换与拉氏变换

傅氏正变换式 拉氏正变换式

系统频率特性的表示形式

系统的频率特性函数是一种复变函数，可以 表示成如下形式：

X ( jω ) = ∫

+∞

−∞

x (t )e

− jω t

dt

X ( s ) = ∫ x(t )e − st dt

0

+∞

G ( jω ) = U (ω ) + jV (ω )

傅氏变换与拉氏变换是类似的。 拉氏变换可看作是一种单边的广义的傅氏变换。

U (ω ) 是 G ( jω ) 的实部，称为实频特性。 V (ω ) 是 G ( jω ) 的虚部，称为虚频特性。

－ 19 －

－ 18 －

系统频率特性的表示形式(续)

频率特性函数也可以表示成如下形式：

矢量图表示如下 ：

G ( jω ) = A ( ω ) e A (ω )

jφ ( ω )

= G ( jω ) ∠G ( jω )

2 2

G ( jω ) = ⎡ ⎣U (ω ) ⎤ ⎦ +⎡ ⎣V (ω ) ⎤ ⎦ ⎡ V (ω ) ⎤ ⎥ ⎣U (ω ) ⎦

φ (ω ) ∠G ( jω ) = arctan ⎢

φ (ω ) 是 G ( jω ) 的相角，称为相频特性。

－ 20 －

A (ω ) 是 G ( jω ) 的模，称为幅频特性。

G ( jω ) = U (ω ) + jV (ω )

= A(ω )[cos φ (ω ) + j sin φ (ω )] = A(ω )e jφ (ω )

－ 21 －

频率特性的求取——解析法

系统的频率特性函数 G ( jω ) 可由系统的传 递函数 G ( s ) 求得。

例 系统传递函数为

G (s) =

G ( jω ) = G ( s ) s = jω

将 s 代之以 jω ，即得到系统的频率特性函数 jω + 1 1 + jω G ( jω ) = = ⎡( jω )2 + 4 jω + 13⎤ ( 5 + jω ) (13 − ω 2 + 4ω j) ( jω + 5 ) ⎣ ⎦

2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

( s + 5) ( s 2 + 4s + 13)

s +1

将S平面的复变量 s = σ + jω 的取值范围限 定在虚轴上，即 s = jω 所得到的传递函数 G ( jω ) 就是系统的频率响应。频率响应是在 s = jω 特 定情况下的传递函数。

－ 22 －

－ 23 －

4

例

解：

=K⋅

试求

G ( jω ) =

和相频特性。

K jω (T1 jω + 1)(T2 jω + 1)

的幅频特性

例

解：

某系统传递函数为

1 2 sin( t + 45°) 7 3

G (s) =

7 3s + 2

7

，当输入为

时，试求其稳态输出。

A (ω ) =

1 1 1 ⋅ ⋅ G ( jω ) = K ⋅ jω T1 jω + 1 T2 jω + 1

1

G ( jω ) =

ω

e⎝

⎛ π⎞ j⎜ − ⎟ 2⎠

⋅

1

(T1ω ) + 1

2

e(

j − arctan( T1ω ) )

⋅

1

(T2ω ) + 1

2

e(

j − arctan( T2ω ) )

=

K

ω

(T1ω )

2

+1⋅

(T2ω )

K

2

2

+1

e⎝

⎛ π ⎞ j⎜ − − arctan( T1ω ) − arctan( T2 ω ) ⎟ 2 ⎠

9ω 2 + 4 3ω φ (ω ) = − arctan( ) 2 1 ⎛2⎞ 1 7 2 = A⎜ ⎟ = i 2 7 ⎝3⎠ 7 4 ⎛2⎞ 9⎜ ⎟ + 4 ⎝3⎠

⎛2⎞ ⎝ ⎠ 3 2

7 3jω + 2

A (ω ) =

ω

π

2

(T1ω )

+1 ⋅

(T2ω )

2

+1

－ 24 －

φ ⎜ ⎟ + 45° = − arctan( i ) + 45° = 0° 3 2 3

φ (ω ) = −

− arctan(T1ω ) − arctan(T2ω )

xo (t ) =

2 2 sin( t ) 4 3

－ 25 －

频率特性函数的求取方法

(1) 如果已知系统的传递函数，可将系统传递函 数中的 s 代之以 jω ，即得到系统的频率特 性函数。 (2) 可以通过实验的手段求出。

4.1节小结 1. 频率特性的概念： 系统对不同频率正弦输入信号的稳态 响应特性称为频率特性。

G ( jω ) = G ( j ω ) ∠G ( j ω ) = U ( ω ) + j V ( ω ) 幅 相 实 虚

2. 求取频率特性的解析方法：

网络分析仪、频谱分析仪

－ 26 －

G ( jω ) = G ( s ) s = jω

－ 27 －

4.2 频率特性的极坐标图 （乃奎斯特图，或乃氏图）

4.2 频率特性的极坐标图(续)

极坐标图是反映频率特性的几何表示。 当

乃奎斯特（H.Nyquist) 1889~1976， 美国Bell实验室 著名科学家

ω从

0 逐渐增长至 +∞ 时，频率特性

G ( jω ) 作为一个矢量，其端点在复平面相对应

的轨迹就是频率特性的极坐标图。 极坐标图也称为乃氏图或乃奎斯特曲线。

－ 28 －

－ 29 －

5

4.2 频率特性的极坐标图(续)

G ( jω )

4.2.1 典型环节的乃氏图 1.比例环节 1.比例环节

G ( jω ) = K

jV

ω : 0 → +∞,

G ( jω ) 在复平面上的轨迹。

G ( jω ) = K ∠G ( jω ) = 0

0 U

－ 30 －

－ 31 －

4.2.1 典型环节的乃氏图(续) 2.积分环节 2.积分环节 G ( jω ) =

G ( jω ) = 1

1 jω

4.2.1 典型环节的乃氏图(续) 3.微分环节 3.微分环节 G ( jω ) = jω

jV

∠G( jω ) = −90

ω

G ( jω ) = ω ∠G ( jω ) = 90

ω →∞

G ( j0 ) = 0∠90°

jV

ω →∞

ω=0

G ( j0) = ∞∠ − 90°

G ( j∞ ) = 0∠ − 90°

ω →0

－ 32 －

G ( j∞ ) = ∞∠90°

－ 33 －

4.2.1 典型环节的乃氏图(续) 4.一阶惯性环节 4.一阶惯性环节 G ( jω ) =

G ( jω ) = 1

1 j ωT + 1 G ( jω ) = 1 j ωT + 1

一阶惯性环节

1 + ω 2T 2 ∠G ( jω ) = − arctan (ωT )

G ( j0) = 1∠0° G ( j∞ ) = 0∠ − 90°

G ( jω ) = 1 1 + ω 2T 2 ωT −j 1 + ω 2T 2

－ 35 －

G ( j0 ) = 1∠0°

G ( j∞ ) = 0∠ − 90°

－ 34 －

6

4.2.1 典型环节的乃氏图(续) 5.二阶振荡环节 5.二阶振荡环节 G( jω ) =

G ( jω ) =

G ( jω ) =

二阶振荡环节

G ( jω ) = 1 T ( jω ) + 2ζT ( jω ) + 1

2 2

(1 − T ω ) + (2ζTω )

2 2 2

1 − T 2ω 2

1

2

1 2 T 2 ( jω ) + 2ζT ( jω ) + 1 2ζTω −j 2 2 2 (1 − T ω ) + (2ζTω )2

G ( jω ) =

1

(1 − T ω ) + ( 2ζ T ω )

2 2 2

2

(1−T ω

2

2 2

)

+ ( 2ζ Tω )

2

⎧ 2ζ Tω 1⎞ ⎛ ⎜ω ≤ ⎟ ⎪ − arctan 1− T 2ω2 T⎠ ⎪ ⎝ ∠G ( jω ) = ⎨ ζ ω 2 1⎞ T ⎛ ⎪−180 − arctan ⎜ω > ⎟ 2 2 ⎪ − ω 1 T T ⎝ ⎠ ⎩

－ 36 －

G ( j∞ ) = 0∠ − 180° 相角0º～－180º，与负虚轴有交点。

G ( j0) = 1∠0°

⎧ 2ζ T ω ⎪ − arctan 1 − T 2ω 2 ⎪ ∠G ( j ω ) = ⎨ ⎪−180 − arctan 2ζ T ω ⎪ 1 − T 2ω 2 ⎩

1⎞ ⎛ ⎜ω ≤ ⎟ T⎠ ⎝ 1⎞ ⎛ ⎜ω > ⎟ T⎠ ⎝

－ 37 －

二阶振荡环节(续)

G ( jω ) = 1 T ( jω ) + 2ζT ( jω ) + 1

2 2

4.2.1 典型环节的乃氏图(续) 6.延迟环节 6.延迟环节 G ( jω ) = e − jωT

∠G ( jω ) = −ωT G ( jω ) = 1

jV

令 Re[G ( jω )] = 0 或 ∠G ( jω ) = −90° 得 ω = 1 T = ωn

1 G ( jωn ) = ∠ − 90° 2ζ

G ( j∞ ) = 1∠ − ∞°

相角0º～－∞º，与实轴和虚轴有无穷多交点。

－ 38 － － 39 －

G ( j0 ) = 1∠0°

ω =0

ω

为与负虚轴交点。

4.2.2 乃氏图的一般作图方法

(1)写出 G( jω ) 和 ∠G( jω ) 表达式； (2)分别求出 ω = 0 和 ω → +∞ 时的 G( jω ) ； (3)求乃氏图与实轴的交点，可利用 Im[G( jω )] = 0 的关系式求出，也可以利用关系式 ∠G ( jω ) = n ⋅180 （其中n为整数）求出； (4)求乃氏图与虚轴的交点，可利用 Re[G( jω )] = 0 的关系式求出，也可利用关系式 ∠G ( jω ) = n ⋅ 90 （其中n为奇数）求出； (5) 必要时画出乃氏图中间几点； (6) 勾画出大致曲线。

－ 40 －

例

G ( jω ) =

G ( jω ) =

e − jωτ jωT + 1

1

(ωT ) 2 + 1 ∠G ( jω ) = −ωτ − arctan(ωT )

ω = 0 时， G( jω ) = 1∠0° 当 ω = +∞ 时， G ( jω ) = 0∠ − ∞°

当 其乃氏图与实轴和虚轴有无穷多交点，随着ω 的 增加，曲线距离原点越来越近，相角越来越负。

－ 41 －

7

例： 例 G ( jω ) =

e − jωτ jωT + 1

0.4

例 G ( jω ) =

ω=0

-0.5 0.5

ω ω 2 + 1 ⋅ (2ω ) 2 + 1 ∠G ( jω ) = −90° − arctan(ω ) − arctan(2ω )

1

G ( jω ) =

1 jω ( jω + 1)(2 jω + 1) 1

ω = +∞

-0.8

ω = 0 时， G ( jω ) = +∞∠ − 90° 当 ω = +∞ 时， G ( jω ) = 0∠ − 270°

当 其相角范围从-90º~-270º，因此必有与负实轴 的交点。

－ 42 － － 43 －

解方程 ∠G( jω ) = −90° − arctan(ω ) − arctan(2ω ) = −180° 即

arctan(2ω ) = 90° − arctan(ω )

例 G ( jω ) =

1 jω ( jω + 1)(2 jω + 1)

两边取正切，得

2ω =

1

其乃氏图如下图所示：

0 0.1

ω

(-0.67,j0)

所以曲线与负实轴交点的频率为

ω = 1 2 = 0.707 rad/ sec

该交点距原点的距离为

G ( j 0.707 ) = 1 0.707 0.707 + 1 (2 × 0.707) + 1

2 2

-6

0

= 0.67

－ 44 －

-0.1 -12 -3 -1 0 -1 -0.5 0

－ 45 －

系统的型次

机电系统的开环频率特性一般可表示为

乃氏图的低频段

G ( jω ) =

K ( jωτ 1 + 1)( jωτ 2 + 1)

( jω ) ( jωT1 + 1)( jωT2 + 1)

λ

当 λ = 0 时，称该系统为 0 型系统； 当 λ = 1 时，称该系统为Ⅰ型系统； 当 λ = 2 时，称该系统为Ⅱ型系统； ……

－ 46 － － 47 －

8

乃氏图的高频段

通常，机电系统频率特性分母的阶次大于分 子的阶次，故当 坐标原点处； 而当频率特性分母的阶次等于分子的阶次， 当

乃氏图的高频段

一般在系统频率特性分母上加极点，使系统 相角滞后；而在系统频率特性分子上加零点， 使系统相角超前。

ω → ∞ 时，乃氏图曲线终止于

ω → ∞ 时，乃氏图曲线终止于坐标实轴上的

有限值。

G ( jω ) =

K ( jωτ 1 + 1)( jωτ 2 + 1)

( jω ) ( jωT1 + 1)( jωT2 + 1)

λ

－ 49 －

－ 48 －

乃氏图的负频段

令 ω 从−∞ 增长到 0 ， 相应得出的乃氏图是 与ω 从 0 增长到 +∞ 得出的乃氏图以实轴 对称的，例如图4-24 所示的乃氏图。

图4-24 ω = −∞ → +∞ 的乃氏图

－ 50 －

4.2节小结

1. 极坐标图（Nyquist图）的概念 2. 典型环节的Nyquist图 3. Nyquist图作图的一般步骤 4. 系统的型次，Nyquist图的低频段、 高频段和负频段

－ 51 －

4.3 频率特性的对数坐标图 （伯德图）

4.3 频率特性的对数坐标图 (续)

对数坐标图 是将 幅值 对频率的关系和 相位 对频率的关系分别画在两张图上，用半

伯德（H.W.Bode)， 1905~1982， 美国Bell实验室 著名科学家

－ 52 －

对数坐标纸绘制，频率坐标按对数分度，幅 值和相角坐标则以线性分度。 对数坐标图也称伯德图(Bode图)。

－ 53 －

9

40

L(ω) / dB

20 0 -20 -40 10 0

-1

伯德图幅值 L(ω ) 所用的单位 分贝 (dB) 定义为

n(dB) = 20 lg N

10

0

10

1

φ

(ω)

-90 -180 -270 10

-1 0 1

10

10

若 ω2 = 10ω1 ，则称从 ω1 到 ω2 为十倍频程， 以 dec. (decade) 表示。

－ 54 －

图4-25 幅频特性坐标

－ 55 －

4.3.1 典型环节的伯德图 1.比例环节

G ( jω ) = K

L(ω) / dB

L(ω ) = 20 lg K

φ (ω ) = 0

20lgK

0 10 0 -90 -180 10

-1 -1

10

0

10

1

10

2

图4-26 相频特性坐标

－ 56 －

φ

(ω)

10

0

10

1

10

2

－ 57 －

4.3.1 典型环节的伯德图(续) 2.积分环节

L(ω) / dB

积分环节

G ( jω ) =

40 20 0 -20 -40 -1 10 0

G ( jω ) =

1 jω

1 jω

L(ω ) = 20 lg

1 = −20 lg ω jω

-20dB/dec.

10

0

(ω)

φ (ω ) = −90

10

1

-90 -180 -270 -1 10 10

0

φ

10

1

－ 58 －

－ 59 －

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20