电大离散数学集合论部分期末复习题

一、单项选择题

1．若集合A ＝{ a，{a }，{1，2}}，则下列表述正确的是( ) ．

A ．{a ，{a }}∈A B ．{1，2}∉A C ．{a }⊆A D ．∅∈A 正确答案：C

2．若集合A ={1，2}，B ={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( ) ．

A ．A ⊂B ，且A ∈B B ．B ⊂A ，且A ∈B

C ．A ⊂B ，且A ∉B D ．A ⊄B ，且A ∈B

正确答案：A

注意：这两个题是重点，大家一定要掌握，还有灵活运用，譬如，将集合中的元素作一些调整，大家也应该会做．

例如，2011年1月份考试的试卷的第1题

1．若集合A ＝{ a，{1}}，则下列表述正确的是( ) ．

A ．{1}∈A B ．{1}⊆A

C ．{a }∈A D ．∅∈A

答案：A

3．设集合A = {1, a }，则P (A ) = ( ) ．

A ．{{1}, {a }} B ．{∅,{1}, {a }}

C ．{∅,{1}, {a }, {1, a }} D ．{{1}, {a }, {1, a }}

正确答案：C

注意：若集合A 有一个或有三个元素，那么P (A ) 怎么写呢？

若A 是n 元集，则幂集P (A ) 有2 n 个元素．当n =8或10时，A 的幂集的元素有多少个？ （应该是256或1024个）

4．集合A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R ={|x +y =10且x , y ∈A }，则R 的性质为（ ）．

A ．自反的 B ．对称的

C ．传递且对称的 D ．反自反且传递的

因为写出二元关系R 的集合表达式为

R = {，，，，，，} 显然，R 是对称的，不是自反的、反自反的、传递的．

要求大家能熟练地写出二元关系R 的集合表达式，并能判别R 具有的性质． 正确答案：B

5．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1-R 2中自反关系有（ ）个．

A ．0 B ．2 C ．1 D ．3

教材第40页第三行指出，若R 1和R 2是A 上的自反关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2也是A 上的自反关系．

正确答案：B

注意：若R 1和R 2是A 上的对称关系，则R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1-R 2中有几个是对称关系?

6．设集合A ={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系

R = {，，，}，

S = {，，，，}，

则S 是R 的（ ）闭包．

A ．自反 B ．传递 C ．对称 D ．以上都不对

由42页定义2.3.4知道，关系R 的对称闭包s (R ) 是包含R 并具有对称性的最小的关系，由此也可以判定S 是R 的对称闭包．

正确答案：C

7．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系

的哈斯图如右图所示，若A 的子集B = {3 , 4 , 5}，

则元素3为B 的（ ）．

A ．下界 B ．最大下界

C ．最小上界 D ．以上答案都不对

由教材第54页的定义2.5.11知道，集合B 的最大元一定是B 的上界，而且是B 的最小上界．因此可以判定选项C 正确．

正确答案：C

8．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( ) ．

A ．8、2、8、2 B ．8、1、6、1

C ．6、2、6、2 D ．无、2、无、2

集合A 上的整除关系R 的哈斯图如右图所示．

由哈斯图可知，集合B 的无最大元和上界，

最小元和下界都是2，因此，选项D 正确

正确答案：D 5

9．设A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3是A 到B 的二元关系，且R 1={, }，R 2={, , }，R 3={, }，则（ ）不是从A 到B 的函数．

A ．R 1 B ．R 2 C ．R 3 D ．R 1和R 3

由教材第55页的定义2.6.1知道，函数是单值性，也就是说，定义域A 中任意一个a 与值域B 中唯一的b 有关系，而R 2中的a 有两个值2，1与它有关系，所以而R 2不是函数．

正确答案：B

10．设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为（ ）．

A ．2 B ．3 C ．6 D ．8

因为： f 1 = {，，}，f 2 = {，，}，

f 3 ={，，}，f 4 = {，，}，

f 5 ={，，}，f 6 = {，，}，

f 7 ={，，}，f 8 =，，}．

正确答案：D

二、填空题

1．设集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是A 到B 的二元关系，

R ={x ∈A 且y ∈B 且x , y ∈A ⋂B }

则R 的有序对集合为 ．

因为A ∩B ={2, 3 }，所以从集合A ，B 中只能分别去2，3组成关系R ． 应该填写：R = {，，，}

注意：如果将二元关系R 改为

R ={x ∈A 且y ∈B 且x =y }

则R 的有序对集合是什么呢？

2．设集合A ={1, 2, 3, 4 }，B ={6, 8, 12}， A 到B 的二元关系

R ＝{y =2x , x ∈A , y ∈B }

那么R －1＝

因为R ＝{，}，所以R －1＝{，}

应该填写：{，}

3．设集合A =｛a , b , c , d ｝，A 上的二元关系R ={, , , }，则二元关系R 具有的性质是 ．

根据教材第38页的定义2.3.1，若对任意a ∈A ，a 与a 都没有关系，即∉R ，则称R 为A 上反自反的关系．

应该填写：反自反的

4．设集合A =｛a , b , c , d ｝，A 上的二元关系R ={, , , }，若在R 中再增加两个元素 ，则新得到的关系就具有对称性． 应该填写：,

注意：第3，4题是重点，我们不仅要熟练掌握，尤其是A 和R 的元素都减少的情况，而且如果新得到的关系具有自反性，那么应该增加哪两个元素呢？

5．设A ={1, 2}上的二元关系为R ={|x ∈A ，y ∈A , x +y =10}，则R 的自反闭包为 ．

因为满足条件x ∈A ，y ∈A , x +y =10的关系只有空关系，空关系的闭包是I A ． 应该填写：I A

注意：如果二元关系改为R ={|x ∈A ，y ∈A , x +y

6．设R 是集合A 上的等价关系，且1 , 2 , 3是A 中的元素，则R 中至少包含 等元素．

因为等价关系一定是自反的、对称的、传递的，由二元关系R 是自反的，所以它至少包含, , 等元素．

应该填写：, ,

7．设集合A ={1, 2}，B ={a , b }，那么集合A 到B 的双射函数是

应该填写：{, }，{, }

想一想：集合A 到B 的不同函数的个数有几个？

三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．如果R 1和R 2是A 上的自反关系，判断结论：“R -11、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的”是否成立？并说明理由．

解：正确．

因为R 1和R 2是A 上的自反关系，即I A ⊆R 1，I A ⊆R 2．

由逆关系定义和I A ⊆R 1，得I A ⊆ R1-1；

由I A ⊆R 1，I A ⊆R 2，得I A ⊆ R1∪R 2，I A ⊆ R1∩R 2．

所以，R 1-1、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的．

2．若偏序集的哈斯图如右图所示，

则集合A 的最大元为a ，最小元不存在． b a c g h 解：错误． f e 集合A 的最大元不存在，a 是极大元．

结论不成立．

因为a 与g 、h 没有关系，由关于最大元、最小元、极大元和极小元的定义

2.5.9知道，A 的最大元应该大于等于A 中其它各元素，而A 的极大元应该大于等于A 中的一些元素，可以与A 中另一些元素无关系．所以集合A 的最大元不存在，a 应该是极大元． a 注意：题目修改为：若偏序集的哈斯图如

b c 右图所示，则集合A 的最大元为a ，极小元不存在．

3．设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f ：A →B 是否构成函数，并说明理由．

(1) f ={, , , }； (2) f ={, , }；

(3) f ={, , , }．

解：(1) f 不能构成函数．

因为A 中的元素3在f 中没有出现．

(2) f 不能构成函数．

因为A 中的元素4在f 中没有出现．

(3) f 可以构成函数．

因为f 的定义域就是A ，且A 中的每一个元素都有B 中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．

四、计算题

1．设集合A ={{1}, {2}, 1, 2}，B ={1, 2, {1, 2}}，试计算

（1）A -B ； （2）A ∩B ； （3）A ×B ．

解：（1）A -B ={{1}, {2}, 1, 2}- {1, 2, {1, 2}}={{1}, {2}}

（2）A ∩B ={{1}, {2}, 1, 2}∩{1, 2, {1, 2}}={1, 2}

（3）A ⨯ B ={{1}, {2}, 1, 2}⨯{1, 2, {1, 2}}={, , , , , , , , , , ,

2．设A ={1，2，3，4，5}，R ={|x ∈A ，y ∈A 且x +y ≤4}，S ={|x ∈A ，y ∈A 且x +y

解：R ={, , , , , }, S = ∅，

R ∙S =∅， S ∙R =∅， R -1= R， S -1= ∅， r (S )=I A ． s (R ) ={, , , , , }

3．设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}．

（1）写出关系R 的表示式； （2）画出关系R 的哈斯图；

（3）求出集合B 的最大元、最小元．

解：（1）R =I ⋃{, , , ,

, , , ,

, , , }

（2）关系R 的哈斯图如下图所示

7

关系R 的哈斯图

（3）集合B 没有最大元，最小元是：2．

五、证明题

1．试证明集合等式：A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ．

证：若x ∈A ⋃ (B ⋂C ) ，则x ∈A 或x ∈B ⋂C ，

即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ．

即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，

即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ，

所以A ⋃ (B ⋂C ) ⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ．

反之，若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ，则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ，

即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ，

即x ∈A 或x ∈B ⋂C ，

即x ∈A ⋃ (B ⋂C ) ，

所以(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ⊆ A⋃ (B ⋂C ) ．

因此．A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ．

注意：第1题也是重点，我们要熟练掌握．

想一想：等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C ) 如何证明？

2．对任意三个集合A , B 和C ，试证明：若A ⨯B = A ⨯C ，且A ≠∅，则B = C ． 证明：设x ∈A ，y ∈B ，则∈A ⨯B ，

因为A ⨯B = A ⨯C ，故∈ A⨯C ，则有y ∈C ，

所以B ⊆ C．

设x ∈A ，z ∈C ，则∈ A⨯C ，

因为A ⨯B = A ⨯C ，故∈A ⨯B ，则有z ∈B ，所以C ⊆B ．

故得B = C ．

注意：这个题09秋学期的教学辅导活动重点强调了，但2010年1月份考卷中的证明题：设A ，B 是任意集合，试证明：若A ⨯A=B⨯B ，则A=B．

许多同学不会做，是不应该的．我们看一看

证明：设x ∈A ，则∈A ⨯A ，

因为A ⨯A=B⨯B ，故∈B ⨯B ，则有x ∈B ，所以A ⊆B ． 设x ∈B ，则∈B ⨯B ，

因为A ⨯A=B⨯B ，故∈A ⨯A ，则有x ∈A ，所以B ⊆A ．

故得A=B．

大家可以看到，这两个题的证明方法是不仅类似，而且1月份考题更容易．

3．试证明：若R 与S 是集合A 上的自反关系，则R ∩S 也是集合A 上的自反关系．

证明：设∀x ∈A ，因为R 自反，所以xRx ，即∈R ；

又因为S 自反，所以xSx ，即∈S ．

即∈R ∩S

故R ∩S 自反．

注意：如果把该题的“自反关系”改为“对称关系”，应该怎么证明呢？请大家想一想．