电大离散数学集合论部分期末复习题

一、单项选择题

1.若集合A ={ a,{a },{1,2}},则下列表述正确的是( ) .

A .{a ,{a }}∈A B .{1,2}∉A C .{a }⊆A D .∅∈A 正确答案:C

2.若集合A ={1,2},B ={1,2,{1,2}},则下列表述正确的是( ) .

A .A ⊂B ,且A ∈B B .B ⊂A ,且A ∈B

C .A ⊂B ,且A ∉B D .A ⊄B ,且A ∈B

正确答案:A

注意:这两个题是重点,大家一定要掌握,还有灵活运用,譬如,将集合中的元素作一些调整,大家也应该会做.

例如,2011年1月份考试的试卷的第1题

1.若集合A ={ a,{1}},则下列表述正确的是( ) .

A .{1}∈A B .{1}⊆A

C .{a }∈A D .∅∈A

答案:A

3.设集合A = {1, a },则P (A ) = ( ) .

A .{{1}, {a }} B .{∅,{1}, {a }}

C .{∅,{1}, {a }, {1, a }} D .{{1}, {a }, {1, a }}

正确答案:C

注意:若集合A 有一个或有三个元素,那么P (A ) 怎么写呢?

若A 是n 元集,则幂集P (A ) 有2 n 个元素.当n =8或10时,A 的幂集的元素有多少个? (应该是256或1024个)

4.集合A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R ={|x +y =10且x , y ∈A },则R 的性质为( ).

A .自反的 B .对称的

C .传递且对称的 D .反自反且传递的

因为写出二元关系R 的集合表达式为

R = {,,,,,,} 显然,R 是对称的,不是自反的、反自反的、传递的.

要求大家能熟练地写出二元关系R 的集合表达式,并能判别R 具有的性质. 正确答案:B

5.如果R 1和R 2是A 上的自反关系,则R 1∪R 2,R 1∩R 2,R 1-R 2中自反关系有( )个.

A .0 B .2 C .1 D .3

教材第40页第三行指出,若R 1和R 2是A 上的自反关系,则R 1∪R 2,R 1∩R 2也是A 上的自反关系.

正确答案:B

注意:若R 1和R 2是A 上的对称关系,则R 1∪R 2,R 1∩R 2,R 1-R 2中有几个是对称关系?

6.设集合A ={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系

R = {,,,},

S = {,,,,},

则S 是R 的( )闭包.

A .自反 B .传递 C .对称 D .以上都不对

由42页定义2.3.4知道,关系R 的对称闭包s (R ) 是包含R 并具有对称性的最小的关系,由此也可以判定S 是R 的对称闭包.

正确答案:C

7.设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系

的哈斯图如右图所示,若A 的子集B = {3 , 4 , 5},

则元素3为B 的( ).

A .下界 B .最大下界

C .最小上界 D .以上答案都不对

由教材第54页的定义2.5.11知道,集合B 的最大元一定是B 的上界,而且是B 的最小上界.因此可以判定选项C 正确.

正确答案:C

8.设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},R 是A 上的整除关系,B ={2, 4, 6},则集合B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 ( ) .

A .8、2、8、2 B .8、1、6、1

C .6、2、6、2 D .无、2、无、2

集合A 上的整除关系R 的哈斯图如右图所示.

由哈斯图可知,集合B 的无最大元和上界,

最小元和下界都是2,因此,选项D 正确

正确答案:D 5

9.设A ={a , b },B ={1, 2},R 1,R 2,R 3是A 到B 的二元关系,且R 1={, },R 2={, , },R 3={, },则( )不是从A 到B 的函数.

A .R 1 B .R 2 C .R 3 D .R 1和R 3

由教材第55页的定义2.6.1知道,函数是单值性,也就是说,定义域A 中任意一个a 与值域B 中唯一的b 有关系,而R 2中的a 有两个值2,1与它有关系,所以而R 2不是函数.

正确答案:B

10.设A ={a ,b ,c },B ={1,2},作f :A →B ,则不同的函数个数为( ).

A .2 B .3 C .6 D .8

因为: f 1 = {,,},f 2 = {,,},

f 3 ={,,},f 4 = {,,},

f 5 ={,,},f 6 = {,,},

f 7 ={,,},f 8 =,,}.

正确答案:D

二、填空题

1.设集合A ={0, 1, 2, 3},B ={2, 3, 4, 5},R 是A 到B 的二元关系,

R ={x ∈A 且y ∈B 且x , y ∈A ⋂B }

则R 的有序对集合为 .

因为A ∩B ={2, 3 },所以从集合A ,B 中只能分别去2,3组成关系R . 应该填写:R = {,,,}

注意:如果将二元关系R 改为

R ={x ∈A 且y ∈B 且x =y }

则R 的有序对集合是什么呢?

2.设集合A ={1, 2, 3, 4 },B ={6, 8, 12}, A 到B 的二元关系

R ={y =2x , x ∈A , y ∈B }

那么R -1=

因为R ={,},所以R -1={,}

应该填写:{,}

3.设集合A ={a , b , c , d },A 上的二元关系R ={, , , },则二元关系R 具有的性质是 .

根据教材第38页的定义2.3.1,若对任意a ∈A ,a 与a 都没有关系,即∉R ,则称R 为A 上反自反的关系.

应该填写:反自反的

4.设集合A ={a , b , c , d },A 上的二元关系R ={, , , },若在R 中再增加两个元素 ,则新得到的关系就具有对称性. 应该填写:,

注意:第3,4题是重点,我们不仅要熟练掌握,尤其是A 和R 的元素都减少的情况,而且如果新得到的关系具有自反性,那么应该增加哪两个元素呢?

5.设A ={1, 2}上的二元关系为R ={|x ∈A ,y ∈A , x +y =10},则R 的自反闭包为 .

因为满足条件x ∈A ,y ∈A , x +y =10的关系只有空关系,空关系的闭包是I A . 应该填写:I A

注意:如果二元关系改为R ={|x ∈A ,y ∈A , x +y

6.设R 是集合A 上的等价关系,且1 , 2 , 3是A 中的元素,则R 中至少包含 等元素.

因为等价关系一定是自反的、对称的、传递的,由二元关系R 是自反的,所以它至少包含, , 等元素.

应该填写:, ,

7.设集合A ={1, 2},B ={a , b },那么集合A 到B 的双射函数是

应该填写:{, },{, }

想一想:集合A 到B 的不同函数的个数有几个?

三、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.)

1.如果R 1和R 2是A 上的自反关系,判断结论:“R -11、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的”是否成立?并说明理由.

解:正确.

因为R 1和R 2是A 上的自反关系,即I A ⊆R 1,I A ⊆R 2.

由逆关系定义和I A ⊆R 1,得I A ⊆ R1-1;

由I A ⊆R 1,I A ⊆R 2,得I A ⊆ R1∪R 2,I A ⊆ R1∩R 2.

所以,R 1-1、R 1∪R 2、R 1∩R 2是自反的.

2.若偏序集的哈斯图如右图所示,

则集合A 的最大元为a ,最小元不存在. b a c g h 解:错误. f e 集合A 的最大元不存在,a 是极大元.

结论不成立.

因为a 与g 、h 没有关系,由关于最大元、最小元、极大元和极小元的定义

2.5.9知道,A 的最大元应该大于等于A 中其它各元素,而A 的极大元应该大于等于A 中的一些元素,可以与A 中另一些元素无关系.所以集合A 的最大元不存在,a 应该是极大元. a 注意:题目修改为:若偏序集的哈斯图如

b c 右图所示,则集合A 的最大元为a ,极小元不存在.

3.设集合A ={1, 2, 3, 4},B ={2, 4, 6, 8},判断下列关系f :A →B 是否构成函数,并说明理由.

(1) f ={, , , }; (2) f ={, , };

(3) f ={, , , }.

解:(1) f 不能构成函数.

因为A 中的元素3在f 中没有出现.

(2) f 不能构成函数.

因为A 中的元素4在f 中没有出现.

(3) f 可以构成函数.

因为f 的定义域就是A ,且A 中的每一个元素都有B 中的唯一一个元素与其对应,满足函数定义的条件.

四、计算题

1.设集合A ={{1}, {2}, 1, 2},B ={1, 2, {1, 2}},试计算

(1)A -B ; (2)A ∩B ; (3)A ×B .

解:(1)A -B ={{1}, {2}, 1, 2}- {1, 2, {1, 2}}={{1}, {2}}

(2)A ∩B ={{1}, {2}, 1, 2}∩{1, 2, {1, 2}}={1, 2}

(3)A ⨯ B ={{1}, {2}, 1, 2}⨯{1, 2, {1, 2}}={, , , , , , , , , , ,

2.设A ={1,2,3,4,5},R ={|x ∈A ,y ∈A 且x +y ≤4},S ={|x ∈A ,y ∈A 且x +y

解:R ={, , , , , }, S = ∅,

R ∙S =∅, S ∙R =∅, R -1= R, S -1= ∅, r (S )=I A . s (R ) ={, , , , , }

3.设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},R 是A 上的整除关系,B ={2, 4, 6}.

(1)写出关系R 的表示式; (2)画出关系R 的哈斯图;

(3)求出集合B 的最大元、最小元.

解:(1)R =I ⋃{, , , ,

, , , ,

, , , }

(2)关系R 的哈斯图如下图所示

7

关系R 的哈斯图

(3)集合B 没有最大元,最小元是:2.

五、证明题

1.试证明集合等式:A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) .

证:若x ∈A ⋃ (B ⋂C ) ,则x ∈A 或x ∈B ⋂C ,

即 x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C .

即x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ,

即 x ∈T =(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ,

所以A ⋃ (B ⋂C ) ⊆ (A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) .

反之,若x ∈(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ,则x ∈A ⋃B 且 x ∈A ⋃C ,

即x ∈A 或x ∈B 且 x ∈A 或x ∈C ,

即x ∈A 或x ∈B ⋂C ,

即x ∈A ⋃ (B ⋂C ) ,

所以(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) ⊆ A⋃ (B ⋂C ) .

因此.A ⋃ (B ⋂C )=(A ⋃B ) ⋂ (A ⋃C ) .

注意:第1题也是重点,我们要熟练掌握.

想一想:等式A ⋂ (B ⋃C )=(A ⋂B ) ⋃ (A ⋂C ) 如何证明?

2.对任意三个集合A , B 和C ,试证明:若A ⨯B = A ⨯C ,且A ≠∅,则B = C . 证明:设x ∈A ,y ∈B ,则∈A ⨯B ,

因为A ⨯B = A ⨯C ,故∈ A⨯C ,则有y ∈C ,

所以B ⊆ C.

设x ∈A ,z ∈C ,则∈ A⨯C ,

因为A ⨯B = A ⨯C ,故∈A ⨯B ,则有z ∈B ,所以C ⊆B .

故得B = C .

注意:这个题09秋学期的教学辅导活动重点强调了,但2010年1月份考卷中的证明题:设A ,B 是任意集合,试证明:若A ⨯A=B⨯B ,则A=B.

许多同学不会做,是不应该的.我们看一看

证明:设x ∈A ,则∈A ⨯A ,

因为A ⨯A=B⨯B ,故∈B ⨯B ,则有x ∈B ,所以A ⊆B . 设x ∈B ,则∈B ⨯B ,

因为A ⨯A=B⨯B ,故∈A ⨯A ,则有x ∈A ,所以B ⊆A .

故得A=B.

大家可以看到,这两个题的证明方法是不仅类似,而且1月份考题更容易.

3.试证明:若R 与S 是集合A 上的自反关系,则R ∩S 也是集合A 上的自反关系.

证明:设∀x ∈A ,因为R 自反,所以xRx ,即∈R ;

又因为S 自反,所以xSx ,即∈S .

即∈R ∩S

故R ∩S 自反.

注意:如果把该题的“自反关系”改为“对称关系”,应该怎么证明呢?请大家想一想.


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