力的平衡专题教案

态度决定一切，细节决定成败

力学中的平衡：运动状态未发生改变，即a0。表现：静

止或匀速直线运动

第一讲 物体的平衡问题的分析方法。

二．热点透析

（一）三个模型的正确理解：

1．轻绳

（1）不可伸长——沿绳索方向的速度大小相等、方向相反。

（2）不能承受压力，拉力必沿绳的方向。

（3）内部张力处处相等，且与运动状态无关。

2．轻弹簧

（1）约束弹簧的力是连续变化的，不能突变。

（2）弹力的方向沿轴线。

（3）任意两点的弹力相等

3．轻杆

（1）不可伸长和压缩——沿杆方向速度相同。

（2）力可突变——弹力的大小随运动可以自由调节。

（二）受力分析习惯的养成：

1．受力分析的步骤：

（1）重力是否有动研究宏观物体动量定理应用和圆周运

微观粒子

（2）弹力看四周力的存在性判断利用牛顿定律

弹簧的弹力多解性

（3）分析摩擦力

大小：由牛顿定律决定

静摩擦力

（4）不忘电磁浮

2．正确作受力分析图

要求：正确、规范，涉及空间力应将其转化为平面力。

（三）共点力平衡的分析方法

1．判断——变量分析 （1）函数讨论法 （2 方法的 （3）极限法 选择思路 （4）物理法

2．平衡状态计算：

Rt△：三角函数勾股定理 确 受 三个 力作用——合成平衡法： 定 力 F12=－F3构成封闭△→解△ 研 分 究 析 一般△： 正弦定理、余弦 定理、相似定理 对 象

∑Fx=0

受四个力及以上——分解平衡法

∑Fy=0

在力的分解中有些题看似相同，但实质却大相径庭，弄清这些问

题的本质差异将有利于提高同学们分析问题、解决问题的能力．

一、“动杆”和“定杆”问题

【例1】 如图1－1－21所示，质量为m的物体用细

绳OC悬挂在支架上O点，轻杆OB可绕B点

转动，求细绳OA中张力FT大小和轻杆OB受

力FN大小．

解析：由于轻杆OB可绕B点转动(即是“动杆”)，所以细绳对轻杆OB的力一定

沿着杆的方向，否则杆就不能平衡(即要发生转动)．由于悬挂物体质量为m，所 图1－1－21

以绳OC拉力大小就等于mg，将这个拉力沿杆和AO方向分解，如图所示．

由图即可求得：

FT′＝mg/sin θ，FN＝mgcot θ.

又因为FT与FT′大小相等方向相反，

所以FT＝FT′＝mg/sin θ.

答案：mg/sin θ mgcot θ

【例2】 如图1－1－23所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有小滑轮B，一

轻绳一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物， ∠CBA＝30°，(g取10 N/kg)则滑轮受到绳子作用力为 ( )

A．50 N

C．100 N B．503 N D．1003 N

图1－1－23

解析：由于杆AB不可转动(即是“定杆”)，所以杆所受 弹力的方向不沿杆AB方向．由于B点处是滑轮，它只是

改变绳中力的方向，并未改变力的大小，滑轮两侧绳上的

拉力大小均是100 N，夹角为120°，故滑轮受绳子作用力

即是两拉力的合力，如图所示．由图可知，滑轮受到绳子

作用力的大小为：FN＝FT＝mg＝100 N，所以选项C正确．

答案：C

点评：由于轻杆AB不可转动，所以无论细绳对它的弹力方向如何，杆都能平衡．

二、“活节”和“死节”问题

【例3】 如图1－1－24所示，长为5 m的细绳的两端分别系于竖立在地面上的相距

为4 m的两杆的顶端A、B，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为

12 N的物体，平衡时绳中的张力FT为多大？当A点向上移动少许，重新平衡

后，绳与水平面夹角、绳中张力如何变化？

解析：设重物平衡时悬点为O，延长AO交B杆于C点，

从C点向A杆作垂线CD交A杆于D点，如图所示．

由于挂钩光滑，所以挂钩两侧绳AO段与BO段的拉力

必然相等，与竖直线的夹角也相等，因而OB＝OC，

故AC＝5 m，设∠A＝α，则sin α＝4/5.

取O点为研究对象，将重物对O点的拉力沿AO、BO延长

线分解为FTA、FTB，即有：FTA＝FTB＝FT.

由图和平衡条件可得：2FTcos α＝mg，可解得：FT＝10 N.

同样分析可知：当A点向上移动少许重新平衡后，绳与水平面夹角及绳中张力均 保持不变．

图1－1－24

答案：10 N 夹角不变，张力为10 N也保持不变

点评：因为绳上挂的是一个轻质光滑挂钩，它可以无摩擦地滑动(即是“活节”)，所以挂钩两侧的绳(其实是同一根绳)的形变相同，拉力也必然相等．

【例4】 用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图1－1－25所示．已知ac和

bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为 ( ) A.

C.3113mg，mg B.mg， 22223113mg，mg D.mg， 4224

图1－1－

25 解析：以绳子的结点c为研究对象，其受三个拉力的作用而

处于平衡状态．将重物对c点的拉力分别沿ac绳和bc绳方

向分解为FTac、FTbc，如图所示．

由平衡条件和图中几何关系可得：

FTac＝mgcos 30°＝31mg，FTbc＝mgcos 60°＝mg，所以选 22

项A正确．若将b点向上移动少许，重新平衡后，绳ac、bc的张力均要发生变化．

答案：A

练习：

1.如图1－1－11所示，一物体在粗糙水平地面上受斜向上的恒定拉力F作用而做匀速直线运动，则下列说法正确的是

A．物体可能只受两个力作用

B．物体可能受三个力作用

C．物体可能不受摩擦力作用

D．物体一定受四个力 图1－1

－11

( ) 解析：本题考查根据物体的运动状态分析物体的受力，摩擦力产生的条件等知识点．物体做匀速直线运动，则受力平衡，将拉力F在水平方向和竖直方向上分解，则物体一定要受到滑动摩擦力的作用．再根据摩擦力产生的条件知，一定会产生弹力．因此物体一定会受到四个力的作用．

答案：D

2.如图1－1－12所示，一重为10 N的球固定在支杆AB的上端，今用一段绳子水平拉

球，使杆发生弯曲，已知绳的拉力为7.5 N，则AB杆对球的作用力

( )

A．大小为7.5 N

B．大小为10 N

C．方向与水平方向成53°角斜向右下方

D．方向与水平方向成53°角斜向左上方

解析：本题考查力与物体的平衡．对小球进行受力分析可得，AB杆对球的作用力与绳的拉力的合力与小球重力等值反向，令AB杆对小球的作用力与水平方向夹角为α，

G4可得：tan α⇒α＝53°，故D正确． F拉3

答案：D

3．(2010·广东理综，13)

图1－1－13为节日里悬挂灯笼的一种方式，A、B点等高，O为结点，轻绳AO、BO长度相等，拉力分别为FA、FB，灯笼受到的重力为G.下列表述正确的是( )

A．FA一定小于G

B．FA与FB大小相等

C．FA与FB是一对平衡力

D．FA与FB大小之和等于G

解析：由题意知，A、B两点等高，且两绳等长，故FA与FB大小相等，B项正确．若图1－1－13

两绳夹角大于120°.则FA＝FB>G；若夹角小于120°，则FA＝FB

答案：B

4．2009年9月22日消息，据美国太空网报道，美国“发现”号航天飞机当地时间9月21日返回位于佛罗里达州的肯尼迪航天中心，结束了为期两天的“回家之旅”．“发现”号航天飞机是被一架改装的波音747客机“背”回肯尼迪航天中心的，如图1－1－14所示的三幅图分别是波音747客机“背”着航天飞机在跑道上静止、在跑道上匀速行驶和在天空中匀速飞行．以下说法正确的是

( )

图1－1－14

A．波音747

客机“背”着航天飞机在跑道上静止时，客机对航天飞机的支持力最

大

B．波音747客机“背”着航天飞机在跑道上匀速行驶时，客机对航天飞机的支持

力最大

C．波音747客机“背”着航天飞机在天空中匀速飞行时，客机对航天飞机的支持

力最大

D．三种情况客机对航天飞机的支持力一样大

解析：三种情况下，航天飞机都处于平衡状态，客机给航天飞机的支持力都等于航天飞机的重力，所以三种情况客机对航天飞机的支持力一样大．

答案：D

5.如图1－1－15所示，一质量m＝0.20 kg的物体，在F1、F2两水平力作用下静止在粗糙的水平面上．物体与水平面间的最大静摩擦力为0.6 N．若F1为0.6 N，则F2不可能是( )

A．0.2 N B．0.6 N

C．0.7 N D．1.3 N 图1－1－15

解析：最大静摩擦力为0.6 N，F1＝0.6 N，则物体在三个力作用下处于平衡状态，F2的范围应该为静摩擦力和F1的合力范围，故0＜F2＜1.2 N.

答案：D

6.如图1－1－16所示，物体B靠在竖直墙面上，在竖直轻弹簧的作用下，A、B保持静止，则物体A、B受力的个数分别为

( )

A．3,3 B．4,3

C．4,4 D．4,5

解析：本题考查用整体法、隔离法分析物体受力情况．

首先对A、B利用整体法分析受力，可知墙面对B无弹力；以A为研究对象，它受四个力作用，重力竖直向下、弹簧的弹力竖直向上、B对A的压力垂直斜面斜向下、B对A沿斜面向下的摩擦力；以B为研究对象，它受三个力作用，本身受到的重力、A对B的支持力和A对B沿斜面向上的摩擦力，B正确．

答案：B

7．如图所示，a、b两个质量相同的球用线连接，a球用线挂在天花板上，b球放在光

滑斜面上，系统保持静止，以下图示哪个是正确的

( )

图1－1－16

解析：本题考查物体的平衡．A、D选项中a球所受三个力不能维持a球平衡，A、D项错误；C图中a球受到的重力竖直向下，连接天花板的绳的拉力竖直向下，连接b球的绳子的拉力偏向左下，因此三力的合力不为零，C错误；分析B中两个球的受力，合力都可以为零，B正确．

答案：B

8.如图1－1－17所示，三个完全相同的木块放在同一个水平面上，木块和水平面的动摩擦因数相同．分别给它们施加一个大小为F的推力，其中给第一、三两木块的推力与水平方向的夹角相同，这时三个木块都保持静止．比较它们和水平面间的弹力大小FN1、FN2、FN3和摩擦力大小Ff1、Ff2、Ff3，下列说法中正确的是

( )

A．FN1＞FN2＞FN3，Ff1＞Ff2＞Ff3

B．FN1＞FN2＞FN3，Ff1＝Ff3＜Ff2

C．FN1＝FN2＝FN3，Ff1＝Ff2＝Ff3

D．FN1＞FN2＞FN3，Ff1＝Ff2＝Ff3

解析：本题考查了物体的平衡条件、受力分析和对力进行处理的能力．分别对三个物体分析受力，根据三个物体都受力平衡，第一个物体和第三个物体受到的摩擦力等于F在水平方向上的分量，而第二个物体的摩擦力等于拉力F，对于摩擦力有Ff1＝Ff3＜Ff2，第一个物体与水平面间的弹力大小等于自身的重力和F在竖直方向的分力之和，第二个物体与水平面间的弹力大小等于自身的重力，第三个物体与水平面间的弹力大小等于自身的重力和F在竖直方向的分力之差，则对于弹力有FN1＞FN2＞FN3，选项B对．

答案：B

9.如图1－1－18所示，金属棒ab置于水平放置的光滑框架cdef上，棒与框架接触良好，匀强磁场垂直于ab棒斜向下，从某时刻开始磁感应强度均匀减小，同时施加一个水平外力F使金属棒ab保持静止，则F

( )

A．方向向右，且为恒力

C．方向向左，且为变力 B．方向向右，且为变力 D．方向向左，且为恒力

图1－1－18

图1－1－17

解析：根据楞次定律，B减小时，磁通量Φ减小，为阻碍Φ

减小，ab产生向右运动的趋势，故外力方向向左．再根据电磁

ΔΦΔBSΔB感应定律，E＝＝B均匀减小．故E不变，I不变．F安＝BIL均匀ΔtΔtΔt

减小，故F为变力．

答案：C

10.如图1－1－19所示为插入地面的排球网架直杆．为了使直杆垂直于地面，还要用两

根绳子把杆拉住．假定绳子OA、OB、OC处在同一平面内，不计绳子的质量，且OA与OB两根绳子的拉力相同，夹角为60°.绳能够承受的拉力跟绳子的横截面成正比，那么OC绳的直径至少应是OA绳的倍数是

( ) A.2 3 C.3/2 D.3

解析：设OA绳子中拉力为FA，由OA与OB两根绳子的

拉力相同，夹角为60°可知OC中拉力FC＝2FAcos 30° ＝FA.设OA绳子直径为d，OA绳子的横截面积

SA＝πd2/4，OC绳子直径为D，OC绳子的横截面积SC＝πD2/4，

由绳a能够承受的拉力跟绳子的横截面成正比可得FC/FA＝SC/SA＝D2/d2，

解得D/d＝ 答案：D

11.如图1－1－20所示，质量相等的带电小球用绝缘细绳悬挂，小球间也用绝缘细绳连接，在水平向右的匀强电场中静止，球间作用力不计，现将其中一根悬线剪断，平衡时图中不可能出现的情况是

( )

图1－

1－20

解析：本题考查物体的平衡，中档题．由没有剪断的平衡图可知，两球带相同的性质的电荷，把A、B看作一个整体，可知水平方向受电场力，竖直方向受重力，根据平衡的条件则最上面的绳子不可能处于竖直状态，A正确．

答案：A

12.如图1－1－21所示，一倾角为α的斜面体置于固定的光滑水平地面上的物体A、B之间，斜面体恰好与物体A、B接触．一质量为m的物体C恰能沿斜面匀速下滑，此时斜面体与A、B均无作用力．若用平行于斜面的力F沿斜面向下推物体C，使

其加速下滑，则下列关于斜面体与物体A、B间的作用力的说法正确的是

( )

A．对物体A、B均无作用力

B．对物体A有向左的压力，大小为Fcos α

C．对物体B有向右的压力，大小为mgcos αsin α

D．对物体A有向左的压力，大小为mgcos αsin α

解析：本题考查受力分析、力的平衡问题．物体C恰能沿斜面匀速下滑，则C与斜面间的滑动摩擦力f＝mgsin α，用力F推物体C使其加速运动，C与斜面间的滑动图1－

1－21 4＝3. FA

摩擦力不变；以斜面为研究对象，C对斜面的压力在水平方向向右的分力为F1＝mgcos αsin α，C对斜面的摩擦力在水平方向向左的分力为F2＝mgsin αcos α，则F1＝F2，说明斜面与地面间无摩擦力，斜面相对地面没有运动趋势，斜面对物体A、B均无作用力．

答案：A

1、力学中的平衡：运动状态未发生改变，即a0。表现：静止或匀速直线运动

（1）在重力、弹力、摩擦力作用下的平衡

例1 质量为m的物体置于动摩擦因数为的水平面上，现对它

施加一个拉力，使它做匀速直线运动，问拉力与水平方向成多大夹角

时这个力最小？

解析 取物体为研究对象，物体受到重力mg，地面的支持力N，

摩擦力f及拉力T四个力作用，如图1-1所示。

由于物体在水平面上滑动，则fN，将f和N合成，得到合力F，由图知F与f的夹角：

arcctgfarcctg N

不管拉力T方向如何变化，F与水平方向的夹角不变，即F为一个方向不发生改变的变力。这显然属于三力平衡中的动态平衡问题，由前面讨论知，当T与F互相垂直时，T有最小值，即当拉力与水平方向的夹角90arcctgarctg时，使物体做匀速运动的拉力T最小。

（2）摩擦力在平衡问题中的表现

这类问题是指平衡的物体受到了包括摩擦力在内的力的作用。在共点力平衡中，当物体虽然静止但有运动趋势时，属于静摩擦力；当物体滑动时，属于动摩擦力。由于摩擦力的方向要随运动或运动趋势的方向的改变而改变，静摩擦力大小还可在一定范围内变动，因此包括摩擦力在内的平衡问题常常需要多讨论几种情况，要复杂一些。因此做这类题目时要注意两点

①由于静摩擦力的大小和方向都要随运动趋势的改变而改变，因此维持物体静止状态所需的外力允许有一定范围；又由于存在着最大静摩擦力，所以使物体起动所需要的力应大于某一最小的力。总之，包含摩擦力在内的平衡问题，物体维持静止或起动需要的动力的大小是允许在一定范围内的，只有当维持匀速运动时，外力才需确定的数值。

②由于滑动摩擦力F=FN，要特别注意题目中正压力的大小的分析和计算，防止出现错误。

例2 重力为G的物体A受到与竖直方向成角的外力 F后，

静止在竖直墙面上，如图1-2所示，试求墙对物体A的静摩擦力。

分析与解答 这是物体在静摩擦力作用下平衡问题。首先确定研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力图。A受竖直向下的重力G，外力F，墙对A水平向右的支持力（弹力）N，以及还可能有静摩擦力f。这里对静摩擦力的有无及方向的判断是极其重要的。物体之间有相对运动趋势时，它们之间就有静摩擦力；物体间没有相对运动趋势时，它们之间就没有静摩擦力。可以假设接触面是光滑的，若不会相对运动，物体将不受静摩擦力，若有相对运动就有静摩擦力。（注意：这种假设的方法在研究物理问题时是常用方法，也是很重要的方法。）具体到这个题目，在竖直方向物体A受重力G以及外力F的竖直分量，即F2Fcos。当接触面光滑，GFcos时，物体能保持静止；当GFcos时，物体A有向下运动的趋势，那么A应受到向上的静摩擦力；当GFcos时，物体A则有向上运动的趋势，受到的静摩擦力的方向向下，因此应分三种情况说明。

从这里可以看出，由于静摩擦力方向能够改变，数值也有一定的变动范围，滑动摩擦力虽有确定数值，但方向则随相对滑动的方向而改变，因此，讨论使物体维持某一状态所需的外力F的许可范围和大小是很重要的。何时用等号，何时用不等号，必须十分注意。

（3）弹性力作用下的平衡问题

例3 如图1-3所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为r

的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然长度为L（L

固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A。当小环静止时，略

去弹簧的自重和小环与大圆环间的摩擦。求弹簧与竖直方向之间的夹

角

分析 选取小环为研究对象，孤立它进行受力情况分析：小环受

重力mg、大圆环沿半径方向的支持力N、弹簧对它的拉力F的作用，显然，

Fk(2rcosL)

解法1 运用正交分解法。如图1-4所示，选取坐标系，以小环所

在位置为坐标原点，过原点沿水平方向为x轴，沿竖直方向为y轴。

Fx0,FsinNsin20

Fy0,FcosmgNcos20

解得 arcckL 2(krmg)

解法2 用相似比法。若物体在三个力F1、F2、F3作用下处于平衡状态，这三个力必组成首尾相连的三角形F1、F2、F3，题述中恰有三角形AOm与它相似，则必有对应边成比例。

FmgN 2rcosrr

kL 2(krmg)

（4）在电场、磁场中的平衡

例4 如图1-5所示，匀强电场方向向右，匀强磁场方向垂直

于纸面向里，一质量为m带电量为q的微粒以速度v与磁场垂直、

与电场成45˚角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，求电场强度E

的大小，磁感强度B的大小。

解析 由于带电粒子所受洛仑兹力与v垂直，电场力方向与电

场线平行，知粒子必须还受重力才能做匀速直线运动。假设粒子带

负电受电场力水平向左，则它受洛仑兹力f就应斜向右下与v垂直，这样粒子不能做匀速直线运动，所以粒子应带正电，画出受力分析图根据合外力为零可得，

mgqvBsin45 （1） qEqvBcos45 （2）

由（1）式得B2mg，由（1），（2）得Emg/q qv

（5）动态收尾平衡问题

例5 如图1-6所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导

轨，两导轨间距离为l，导轨平面与水平面的夹角为。在整个导轨

平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感强度为B。在

导轨的A、C端连接一个阻值为R的电阻。一根垂直于导轨放置的金

属棒ab，质量为m，从静止开始沿导轨下滑。求ab棒的最大速度。

（已知ab和导轨间的动摩擦因数为，导轨和金属棒的电阻不计）

解析 本题的研究对象为ab棒，画出ab棒的平面受力图，如图1-7。

ab棒所受安培力F沿斜面向上，大小为FBIlB2l2v/R，则ab棒

下滑的加速度

a[mgsin(mgcosF)]/m。

ab棒由静止开始下滑，速度v不断增大，安培力F也增大，加速度a减小。当a=0时达到稳定状态，此后ab棒做匀速运动，速度达最大。

mgsin(mgcosB2l2v/R)0。

解得ab棒的最大速度

vmmgR(sincos)/B2l2。

例6 图1-8是磁流体发电机工作原理图。磁流

体发电机由燃烧室（O）、发电通道（E）和偏转磁场

（B）组成。在2500K以上的高温下，燃料与氧化剂在燃烧室混合、燃烧后，电离为正负离子（即等离子体），并以每秒几百米的高速喷入磁场，在洛仑兹力的作用下，正负离子分别向上、下极板偏转，两极板因聚积正负电荷而产生静电场。这时等离子体同时受到方向相反的洛仑兹力（f）与电场力（F）的作用，当F=f时，离子匀速穿过磁场，两极板电势差达到最大值，即为电源的电动势。设两板间距为d，板间磁场的磁感强度为B，等离子体速度为v，负载电阻为R，电源内阻不计，通道截面是边长为d的正方形，试求：

（1）磁流体发电机的电动势？

（2）发电通道两端的压强差p？

解析 根据两板电势差最大值的条件

fF得vE BdB

所以，磁流发电机的电动势为Bdv

设电源内阻不计，通道横截面边长等于d的正方形，且入口处压强为p1，出口处的压

(Bdv)2

强为p2；当开关S闭合后，发电机电功率为P 电RR2

根据能量的转化和守恒定律有

222PFvFvpdvpdv 121电

所以，通道两端压强差为

B2vpp1p2 R

（6）共点的三力平衡的特征规律

例7 图1-9中重物的质量为m，轻细线AO和BO的A、B

端是固定的，平衡时AD是水平的，BO与水平的夹角为。AO

的拉力F1和BO的拉力F2的大小是：

 A、F1mgcos B、F1mgctg

C、F2mgsin D、F2mg/sin

解析 如图1-10，三根细绳在O点共点，取O点（结点）为研究对象，分析O点受力如图1-10。O点受到AO绳的拉力F1、BO绳的拉力F2以及重物对它的拉力T三个力的作用。

图1-10（a）选取合成法进行研究，将F1、F2合成，

得到合力F，由平衡条件知：

FTmg

则：F1Fctgmgctg

F2F/sinmg/sin

图1-10（b）选取分解法进行研究，将F2分解成互相垂直的两个分力Fx、Fy，由平衡条件知：

FyTmg,FxF1

则：F2Fy/sinmg/sin

F1FxFyctgmgctg

问题：若BO绳的方向不变，则细线AO与BO绳的方向成几度角时，细线AO的拉力最小？

结论：共点的三力平衡时，若有一个力的大小和方向都不变，另一个力的方向不变，则第三个力一定存在着最小值。