结构力学习题及答案(武汉大学)

结构力学习题

第2章 平面体系的几何组成分析

2-1～2-6 试确定图示体系的计算自由度。

题2-1图

题2-2图

题2-3图

题2-4图

题2-5图

题2-6图

2-7～2-15 试对图示体系进行几何组成分析。若是具有多余约束的几何不变体系，则需指明多余约束的数目。

1

题2-7图

题2-8图

题2-10图

题2-12图

题2-14图

题2-9图

题2-11图

题2-13图

题2-15图

2

题2-16图

题2-17图

题2-18图

题2-19图

题2-20图

题2-21图

2-1 W =1 2-1 W =-9 2-3 W =-3 2-4 W =-2 2-5 W =-1 2-6 W =-4

2-7、2-8、2-12、2-16、2-17无多余约束的几何不变体系 2-9、2-10、2-15具有一个多余约束的几何不变体系 2-11具有六个多余约束的几何不变体系 2-13、2-14几何可变体系为

3

2-18、2-19 瞬变体系

2-20、2-21具有三个多余约束的几何不变体系

第3章 静定梁和静定平面刚架的内力分析

3-1 试作图示静定梁的内力图。

（a ）

（b ）

(c)

习题3-1图

(d)

3-2 试作图示多跨静定梁的内力图。

（a ）

（b ）

4

(c)

习题3-2图

3-3～3-9 试作图示静定刚架的内力图。

习题3-3图

习题3-5图

习题3-7图

习题3-4图

习题3-6图

习题3-8图

5

习题3-9图

3-10 试判断图示静定结构的弯矩图是否正确。

(a)

(b)

(c)

(d)

部分习题答案

L

3-1 （a ）M B =80kN ⋅m （上侧受拉），F Q R ，F Q B =-60kN B =60kN

R

（b ）M A =20kN ⋅m （上侧受拉），M B =40kN ⋅m （上侧受拉），F Q ，A =32. 5kN

L

，F Q B =-47. 5kN ，F Q R F Q B =20kN A =-20kN

L

6

F L (c) M C =Fl （下侧受拉），F QC =cos θ

4

2

3-2 (a) M E =0，M F =-40kN ⋅m （上侧受拉），M B =-120kN ⋅m （上侧受拉）

R

（b ）M H =-15kN ⋅m (上侧受拉) ，M E =11. 25kN ⋅m （下侧受拉）

（c ）M G =29kN ⋅m (下侧受拉) ，M D =-8. 5kN ⋅m (上侧受拉) ，M H =15kN ⋅m (下侧受拉) 3-3 M CB =10kN ⋅m （左侧受拉），M DF =8kN ⋅m （上侧受拉），M DE =20kN ⋅m （右侧受拉） 3-4 M BA =120kN ⋅m （左侧受拉）

3-5 M F =40kN ⋅m （左侧受拉），M DC =160kN ⋅m （上侧受拉），M EB =80kN ⋅m (右侧受拉) 3-6 M BA =60kN ⋅m （右侧受拉），M BD =45kN ⋅m （上侧受拉），F Q BD =28. 46kN

下3-7 M C ，M DE =150kN ⋅m （上侧受拉），M EB =70kN ⋅m (右侧受拉) =70kN ⋅m （左侧受拉）

3-8 M CB =0. 36kN ⋅m （上侧受拉），M BA =0. 36kN ⋅m （右侧受拉） 3-9 M AB =10kN ⋅m （左侧受拉），M BC =10kN ⋅m （上侧受拉） 3-10 （a ）错误 （b ）错误 （c ）错误 （d ）正确

第4章 静定平面桁架和组合结构的内力分析

4-1 试判别习题4-1图所示桁架中的零杆。

（a ）

习题4-1图

4-2 试用结点法求习题4-2图所示桁架各杆的内力。

7

（a ） （b ）

（c ）

习题4-2图

4-3 试用截面法计算习题4-3图所示桁架中指GJ 、GH 和EH 杆件的内力。

习题4-3图

4-4 试用比较简便的方法计算习题4-4图所示桁架中指定杆件的内力。

（a ）

8

（b ）

（c ）

习题4-4图

4-5 试作习题4-5图所示组合结构中梁式杆件的弯矩图，并求桁架杆的轴力。

（a ）

（b ）

习题4-5图

9

部分习题答案

4-1 （a ）杆JK 、JE 、FE 、HE 、HG 、EG 、GB 为零杆 4-2 （a ）F N 1=45KN (b)

F NAB =-45KN

F NCD =0KN

F NAC =-120KN F NBC =75KN F NBD =60KN

F NCE =-50KN F NCF =-20KN F NDE =60KN F NEF =15KN

F NEG =25KN F NFG =-20KN

(c)

F N 12=-37. 5KN F N 13=22. 5KN F N 23=12. 5KN F N 24=-30KN

F N 34=-12. 5KN F N 35=37. 5KN 由于结构和荷载的对称性右半部分中桁架杆的轴力

与左半部分一样。

4-3 F NGJ =-30KN F NG H =-22. 5KN F EH =30KN 4-4 （a ）F Na =-45. 62KN F Nb =-19. 53KN F Nc =60KN

（b ）F N 1=45KN F N 2=-35. 36KN F N 3=28. 28KN （c ）F Na =40KN F Na =20KN F Na =-17. 89KN

4-5 （a ）F N 21=-21. 21KN F N 2C =-21. 21KN F N 23=0KN F N 3C =7. 5KN 由于结构和荷载的对称性右半部分中桁架杆的轴力与左半部分一样。

第五章 三铰拱的内力分析

5-1 图示三铰拱的轴线方程为y = (1)试求支座反力

(2)试求集中荷载作用处截面D 的内力

4f

x (l -x ) l 2

10

习题5-1图

5-2 利用三铰拱的内力和反力计算公式，试计算如下图所示三铰刚架的支座反力及截面E 的内力。

习题5-2图

5-3试求图示圆弧三铰拱，求支座反力及截面D 的内力。

习题5-3图

5-4 已知图示三铰拱的拱轴线方程为y =

4f

x (l -x ) 2l

11

(1)求水平推力

(2)求C 铰处的剪力和轴力

(3)求集中力作用处轴线切线与水平轴的夹角。

习题5-4图

5-5试求习题5-5图所示三铰拱的合理拱轴线方程，并绘出合理拱轴线图形。

习题5-5图

答案

5-1 F VA =9. 5KN F VB =8. 5KN M D =11KN . m

F Q D 左=4. 47KN F Q D 右=4. 47KN F ND 左=12. 29KN F ND 右=7. 82KN 5-2 F VA =21KN F VB =29KN M D =6KN . m

F QD 左=1KN F Q D 右=-0. 88KN

12

F ND 左=-20KN F ND 右=-35. 22KN

5-3 F VA =F VB =100KN M D =-29KN . m F Q D =18. 3KN

F ND =-68. 3KN

5-4 (1)F H =6KN

(2)F QC =-1KN F NC =-6KN (3) -26.34º

⎧5

x 0≤x ≤4m ⎪

4⎪

1⎪

5-5 y =⎨ -x +64m ≤x ≤8m

4⎪

⎪1⎛32⎫

-x +22x -48⎪8m ≤x ≤12m ⎪8 2

⎭⎩⎝

第6章 静定结构的位移计算

6-1～6-6 试用位移计算公式计算图示结构中指定截面的位移。设EI 、EA 为常数。

习题 6-1求图

θA 、∆CV

13

习题 6-2图求θA 、∆CV

q

A

习题 6.3图 求∆CV

F P

习题 6.4图 求θA 、∆CV

F

P

R

1.5R

习题 6-5图 求θA 、∆CV

习题 6-6图 求∆CV

6-7~6-10 试用图乘法计算图示结构中指定截面的位移。

q

习题 6-8图求θB 、∆DH

习题 6-7图-求θC 、∆CH 、∆DH

14

习题 6-10图 求∆CV

习题 6-9图 求∆BH 、∆EV

6-11 试用图乘法计算图示梁C 截面的竖向位移ΔCV 。已知 EI = 1 . 5 ⨯ 10 5 kN ⋅m 2。

习题 6-11图

6-12 试求图示结构C 截面的竖向位移和铰D 两侧截面的相对角位移。设EI 为常数。

习题 6-12图

6-13 试求图示结构C 截面的竖向位移。E =2. 1⨯10kN /cm ，A =12cm ，

4

2

2

I =3600cm 4。

15

10kN/m

习题 6-13图

6-14 梁AB 下面加热t ℃，其它部分温度不变，试求C 、D 两点的水平相对位移。设梁截面 为矩形，高为h ，材料的线膨胀系数为α。

习题 6-14图

6-15 图示刚架各杆截面为矩形，截面高度为h 。设其内部温度增加20℃，外部增加10℃，材料的线膨胀系数为α。试求B 点的水平位移。

+10℃

习题 6-15图

6-16 图示桁架其支座B 有竖向沉降c ，试求杆BC 的转角。

16

习题 6-16图

6.17 图示梁，支座B 下沉c ，试求E 端的竖向线位移∆EV 和角位移θE 。

习题 6-17图

部分习题答案

6-1

F l

θA =P (16EI

2

∆CV

F P l 3=(↓)

48

EI

6-2

Ml

θA =() 3EI

∆CV

Ml 2

=(↓) 16EI

6-3

6-4

∆CV

17ql 4=(↓) 384EI

∆CV

F

P l 3=(↓) 8EI

F P R 3π3=(+)(↓) EI 42

F P l 2

θA =()

12EI

6-5

5F P

R 2θA =()

2EI

∆CV

6-6

∆CV =

(6+42)

F

P (↓) EA

17

6-7

Ma θ= A 6EI )

∆CH

Ma 2

=(→) 3EI 123q

(→) EI

4860

(↓) EI

∆DH

Ma 2=(→) 6EI

6-8

6-9

6-10

6-11

6-12

6-13

6-14

6-15

6-16

6-17

θB

=

153q

() 8EI 11340

(←) EI 1985

(↓) 6EI

∆BH =

∆BH =∆EV =

∆BV =

∆CV =0.0013m (↓)

θDD

'

5ql 3=48EI

∆CV

7ql 4=(↑) 432

EI

∆CV =0. 0247m (↓)

H ∆C -D =αtl (

l 1

-)(→←) 27h 2

∆BH =

360α

(→) h c

() 2a

θBC =

θE =

3c (l

∆EV =

3c (↑) 4

第7章 力法

18

7-1 试确定下列结构的超静定次数。

(a)

(b)

(e) (c)

(d)

19 习题 7-1图

(f)

7-2 试用力法计算图示超静定梁，并绘出M 、F Q 图。

（a ）

q

A

（b ）

习题 7-2图

7-3 试用力法计算图示刚架结构，并绘M 图。

（a ） （b ）

20

q

C

2.5m

2.5m

（c ）EI =常数 （d ）EI =常数

A

（e ）EI =常数 习题 7-3图

7-4 试用力法计算图（a ）桁架的轴力以及图（b ）指定杆件1、2杆的轴力，各杆EA =常数。

（a ） （b ）

习题 7-4图

7-5 试用力法计算图示排架，并作M 图。

6m

习题 7-5图

7-6 试计算图示组合结构各链杆的轴力，并绘横梁AB 的弯矩图。设各链杆的EA 均相同，

A

I 。

16

习题 7-6图

4m

7-7 试利用对称性计算图示结构，并作弯矩图。

a

（a ） （b ）EI =常数

（c ）

习题 7-7图

7-8 试推导带拉杆抛物线两铰拱在均布荷载作用下拉杆内力的表达式。拱截面EI 为常数，拱轴方程为y =

习题 7-8图

4f

x (l -x )。计算位移时，拱身只考虑弯矩的作用，并假设：ds =dx 。 2l

7-9 梁上、下侧温度变化分别为+t 1与+t 2(t 2>t 1)，梁截面高为h ，温度膨胀系数α，试求作梁的M 图和挠曲线方程。

习题 7-9图

7-10 图示两端固定梁的B 端下沉△，试绘出梁的M 、F Q 图。

7-11 图示桁架，各杆长度均为l ，EA 相同。但杆AB 制作时短了∆，将其拉伸（在弹性极限内）后进行装配。试求装配后杆AB 的长度。

习题 7-11图

部分习题答案

7-1（a ）2 , (b) 3 , (c) 2 , (d) 3 , (e)3 , (f) 7 7-2 （a ）M BA

3F P l 11F P ql 26=, F QAB =, F QAB =ql ；（b ）M BA =16161010

7-3 （a ）M BC = （b ）F NCD

15

kN . m ，F QBC =24. 6kN 。 75=-F P

8

（c ）F yA =2. 19q (→)

（d ）M DA =

F P l F l

(左侧受拉), M BE =P (右侧受拉) 33

（e ）M CA =90kN ⋅m 下边受拉，M CB =120kN ⋅m 下边受拉 7-4（a ）F NBC =0. 896F P

（b ）F N 1=-1.387F P ，F N 2=0.547F P

()()

7-5 F NCD =1. 29kN

7-6 F N CD =1. 31kN , M CA =38. 86kN . m 7-7

答

案

：

（

a

）

M EC =1. 8F P (内部受拉)，M C E =1. 2F P (外部受拉)，M CA =3F P (内部受拉)，

M CD =4. 2F P (下部受拉)

qa 2

（b ）角点弯矩（外侧受拉）

24

（c ）M DG =30kN . m 上侧受拉， M GB =220kN . m 左侧受拉，

()()

ql 2

7-8 F H =

8

115EI 1+

8E 1A 1f

2

3EI

α(t 2-t 1)(上部受拉) 2h 6EI

7-10 M AB =2∆

l 11∆ 7-11 l AB =l -12

7-9 M AB =

第8章 位移法

8-1 试确定用位移法计算题8-1图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。（除注明者外，其余杆的EI 为常数。）

(a) (b)

(c) (d)

题8-1图

8-2 设题8-2图所示刚架的结点B 产生了转角θB =π/180，试用位移法求外力偶M 。

题8-2图

8-3 设题8-3图所示结构结点B 向右产生了单位位移，试用位移法求出荷载F P 。设EI 为常数。

提示：因为该结构横梁抗弯刚度无限大，所以两刚结点不可能发生转动，故n =n l

=1。

题8-3图

8-4 已知刚架在横梁AB 上受有满跨竖向均布荷载q 作用，其弯矩图如题8-4图所示。设各杆抗弯刚度均为常数EI ，各杆长l =4m，试用位移法求结点B 的转角θB 及q 的大小。

m

题8-4图

8-5 试用位移法计算题8-5图所示连续梁，作弯矩图和剪力图，各杆抗弯刚度均为常数EI 。

提示：题8-5(a)图中的杆CD 为静定杆，可直接求出其内力后，将内力反作用于剩余部分ABC 的结点C ，用位移法解剩余部分即可。

(a) (b)

题8-5图

8-6 试用位移法计算题8-6图所示结构，作弯矩图，设EI 为常数。

提示：题8-6(b)图中的杆AE 弯矩和剪力静定，可事先求出其弯矩和剪力后，将弯矩和剪力反作用于剩余部分CDAB ，但由于杆AE 轴力未知，因此还需在CDAB 部分的结点A 处

添加水平支杆，以其反力等效杆AE 的轴力，最后用位移法解此含水平支杆的剩余部分即可。

(a) (b)

题8-6图

8-7 试用位移法计算题8-7图所示结构，作弯矩图。各杆抗弯刚度均为常数EI 。

(a) (b) (c)

题8-7图

8-8 试利用对称性计算题8-8图所示结构，作弯矩图。各杆抗弯刚度均为常数EI 。

(a) (b)

题8-8图

8-9 试利用对称性计算题8-9图所示桁架各杆的轴力。各杆EA 为常数。

题8-9图

8-10 题8-10图所示等截面连续梁中各杆EI =1.2×105kN·m 2，已知支座C 下沉1.6cm ，试用位移法求作弯矩图。

题8-10图

8-11 题8-11图所示刚架支座A 下沉1cm ，支座B 下沉3cm ，试求结点D 的转角。已知105kN·m 2。 各杆EI =1.8×

提示：支座E 不能约束竖向线位移，因此在绘制M c 图时，杆DE 不会发生弯曲。

题8-11图

习题参考答案

8-1 (a) n=4；(b) n=2；(a) n=6；(a) n=8。 8-2 M =8-3 F P =

πi 。 15

15EI

。 l 3

40

，q =30kN/m。 rad （逆时针）

EI

8-4 θB =-

8-5 (a) M BC =13kN·m （上侧受拉），F Q BC =33.17kN。

(b) M BC =0，F Q BC = -3kN 。

8-6 (a) M BA =26kN·m （上侧受拉），M BC =18kN·m （上侧受拉），M BD =8kN·m （右侧受拉）。

(b) M AB =0.3F P l （左侧受拉），M AC =0.4F P l （上侧受拉），M AD =0.3F P l （右侧受拉）。 8-7 (a) M AC =36.4kN·m （左侧受拉），M CA =14.4kN·m （左侧受拉），M CE =16.5kN·m （左侧受拉）。

(b) M BA =56kN·m （下侧受拉），M BC =21.8 kN·m （下侧受拉），M BD =34.1 kN·m （左侧受拉）。 (c) M BA =44.3kN·m （上侧受拉），M BC =55.3kN·m （左侧受拉），M DB =101.8kN·m （右侧受拉）。 8-8 (a)M DC =

F P l 2F l 3F l

（下侧受拉），M CD =P （上侧受拉），M CA =P （右侧受拉）。 7714

(b) M CB =26.07kN·m （左侧受拉），M BA =7.45 kN·m （右侧受拉）。

8-9 F N AB =F N AD 8-10 M BA =332.3kN·m （上侧受拉），M CB =443.1kN·m （下侧受拉）。

8-11 ϕD =0.00165rad （顺时针）

，F N AC =P （拉）

。 P （拉）

第9章 力矩分配法与近似法

9-1试用力矩分配法求解图示的连续梁，并绘制弯矩图。

（a ） （b ）

（c ） （d ）

习题9-1图

9-2 试用力矩分配法求解图示刚架，并绘制弯矩图。EI =常数。

（a ） （b ）

（c ） (d)

习题9-2图

9-3试用分层法求解图示的多层刚架。括号内的数字，表示各梁、柱杆件的线刚度值（i

EI ）。

l

习题9-3图

9-4 试用剪力分配法求解图示结构，并绘制弯矩图。

习题9-4图

9-5 试用反弯点法求解图示结构，并绘制弯矩图。

习题9-5图

习题参考答案 9-1(a）M AB =-54. 25kN . m , M BC =-11. 5kN . m

9-1(b) M AB =12. 9kN . m , M BC =-9. 1kN . m , M CD =7. 33kN . m 9-1(c) M CB =35. 99kN . m , M D E =-28. 29kN . m , M ED =31. 26kN . m 9-2(a)

M BA =-4. 27kN . m , M CE =-34. 29kN . m , M EC =72. 85kN . m M CB =21. 44kN . m , M CD =12. 85kN . m , M DC =6. 43kN . m

9-2(b) M BA =20kN . m , M BC =-27. 5kN . m , M BE =7. 5kN . m 9-2(c) M BA =21. 42kN . m , M CE =-68. 54kN . m , M EC =55. 73kN . m 9-2(d) M BA =51kN . m , M BC =-54kN . m , M D C =8kN . m 9-3 M AD =4. 53kN . m , M BE =-0. 8kN . m , M CF =-0. 73kN . m 9-4(a) M AE =760KN . m , M BF =M CG =M D H =120KN . m

9-4(b) M AD =M D A =M CF =M FC =0. 143F P l , M BE =M EB =0. 215F P l

9-5 M D G =M G D =M EH =M H E =M FI =M IF =41. 75KN . m M D A =M EB =M FC =83. 3KN . m M AD =M BE =M CF =166. 7KN . m

M G H =-M G D =-41. 75KN . m , M D E =-125. 05KN . m M IH =-M IF =-41. 75KN . m , M FE =-125. 05KN . m M H G =-18. 56KN . m , M H I =-23. 19KN . m M ED =-51. 49KN . m , M EF =-73. 56KN . m

第10 章 影响线及其应用

10-1 试作题10-1图所示梁的F R A 和M E 影响线。

题10-1图

10-2 如题10-2图所示，单位荷载在梁DE 上移动，试作梁AB 的F R B 和M C 影响线。

题10-2图

10-3 试作题10-3图所示结构的F R B 和F Q B 右影响线。

题10-3图

10-4 如题10-4图所示，单位荷载在刚架的横梁上移动，试作M A 影响线。设M A 以右侧受拉为正。

题10-4图

10-5 若F P =1在题10-5图所示结构的DG 部分上移动，试作M C 和F Q C 右影响线。

题10-5图

10-6 试作题10-6图所示结构的M B 影响线。

题10-6图

10-7 试作题10-7图所示结构的M C 和F Q F 影响线。设M C 以左侧受拉为正。

题10-7图

10-8 如题10-8图所示，单位荷载在桁架上弦移动，试作F N a 影响线。

题10-8图

10-9 如题10-9图所示，F P =1在DE 上移动，试作主梁的F R A 、M C 和F Q C 影响线。

题10-9图

10-10 试作题10-10图所示梁的M A 影响线，并利用影响线求出给定荷载下的M A 值。

题10-10图

10-11 若F P =1沿AB 及CD 移动，试作题10-11图所示结构的M A 影响线，并利用影响线求给定荷载作用下M A 的值。

题10-11图

10-12 试作题10-12图所示梁的F Q C 影响线，并利用影响线求给定荷载作用下F Q C 的值。

题10-12图

10-13 如题10-13图所示静定梁上有行列荷载作用，不考虑荷载掉头，利用影响线求出支反力F R B 的最大值。

习题10-13图

10-14 试作出题10-14图所示结构的支反力F R B 影响线，并求图中行列荷载作用下F R B

的最大值。设需考虑荷载掉头。

习题10-14图

习题参考答案

1l

10-1 在C 点F R A =-，M E =-。

2210-2 在B 点F R B =

1l ，M C =。 33

10-3 在E 点F R B =-3，F Q B 右=-2。 10-4 在B 点M A =

l 。 2

3

10-5 在F 点M C =3m ，F Q C 右=-。

410-6 在D 点M B =-4m 。

3

10-7 在B 点M C =l ，F Q F =-。

210-8 在E 点F N a =2。 10-9 在H 点F R A =10-10 M A =0。

10-11 M A =-520kN·m 。 10-12 F Q C =70kN 。

11

，M C =0.6m ，F Q C =。 55

10-13 F R B max =72kN 。 10-14 F R B max =8.625kN

第11章 矩阵位移法

11-1 试根据单元刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题11-1图所示刚架的(1)中元

(1)(1)(1)(1)(1)(1)

素k 11、k 23、k 35的值以及K (1)中元素k 11、k 23、k 35的值。

y

习题11-1图

11-2 试根据结构刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题11-2图所示刚架结构刚度矩阵中的元素k 11、k 21、k 32的值。各杆E 、A 、I 相同。

习题11-2图

(1)

11-3 试用简图表示习题11-3图所示刚架的单元刚度矩阵(1)中元素23，K (2)中元素(2)

k 44的物理意义。

习题11-3图

11-4 习题11-4图所示刚架各单元杆长为l ，EA 、EI 为常数。试根据单元刚度矩阵元素的物理意义，写出单元刚度矩阵K (1)、K (2)的第3列和第5列元素。

习题11-4图

11-5 试用先处理法，对习题11-5图所示结构进行单元编号、结点编号和结点位移分量编码，并写出各单元的定位向量。

习题11-5图

11-6 试用先处理法形成习题11-6图所示结构的综合结点荷载列阵。

习题11-6图

11-7 试用先处理法求习题11-7图所示连续梁的结构刚度矩阵和综合结点荷载列阵。已知：EI =2.4⨯104kN ⋅m 2。

习题11-7图

11-8 试用先处理法求习题11-8图所示结构刚度矩阵。忽略杆件的轴向变形。各杆EI =5⨯105kN ⋅m 2。

习题11-8图

11-9 试用先处理法建立习题11-9图所示结构的矩阵位移法方程。已知：各杆EA =4⨯105kN ，EI =5⨯104kN ⋅m 2。

习题11-9图

11-10 试用先处理法计算习题11-10图所示刚架的结构刚度矩阵。已知：

5

EA =3. 2⨯10k ，N EI =4.8⨯104kN ⋅m 2。

习题11-10图

11-11 试用先处理法计算习题11-11图所示组合结构的刚度矩阵K 。已知：梁杆单元的EA =3.2⨯105kN ，EI =4.8⨯104kN ⋅m 2，链杆单元的EA =2.4⨯105kN 。

习题11-11图

11-12 若用先处理法计算习题11-12图所示结构，则在结构刚度矩阵K 中零元素的个数至少有多少个？

习题11-12图

11-13 试用矩阵位移法计算习题11-13图所示连续梁，并画出弯矩图。各杆EI =常数。

习题11-13图

11-14 试用先处理法计算习题11-14图所示刚架的内力，并绘内力图。已知：各杆E =3⨯107kN /m 2，A =0.16m 2，I =0.002m 4。

习题11-14图

11-15试用矩阵位移法计算习题11-15图所示平面桁架的内力。已知：E =3⨯107kN /m 2，各杆A =0.1m 2。

习题11-15图

11-16 试用PFF 程序计算习题11-9，11-11，11-17并绘出内力图。

部分习题答案

(1)(1)(1)(1)(1)(1)

=0，k 35=0。 11-1 11=EA /l ，23=6EI /l 2，35=-6EI /l 2；k 11=12EI /l 3，k 23

11-2 ，k 21=0，

6EI ⎡

11-4 K 中第3列元素：⎢0

l 2⎣

(1)

4EI

l 6EI 0-2

l 12EI 0

l 3

2EI ⎤

⎥l ⎦6EI ⎤-2⎥ l ⎦

T

T

T

12EI ⎡)

K (1中第5列元素：⎢0-3

l ⎣⎡6EI

K 中第3列元素：⎢2

⎣l

(2)

6EI -2

l 4EI l

6EI -2

l

2EI ⎤

l ⎥⎦

EA ⎡

00 K 中第5列元素：⎢0-l ⎣

(2) EA ⎤

0⎥ l ⎦

T

T

11-6 综合结点荷载列阵为：P =P J +P E =[0-50168021-3.59]

11-7

3EI 12EI EA

k 32=2k 11=3+

4l l 2l

00⎤⎡2.41.20.0⎡11/2

⎢⎢5/31/30⎥4.00.84⎢⎢⎥K =EI =10

⎢对⎢对22/152/5⎥3.52⎢⎢⎥

称4/5⎥称⎢⎢⎣⎦⎣0.0⎤

⎥0.0⎥ 0.96⎥

⎥1.92⎥⎦

P =P [5J +P E =

00

]0+P E [=5

10. 67

1. 8]3 12. 5

T

0⎤⎡4/52/5⎡420⎤

⎢⎥11-8 K =EI 2/513/52/5=105⎢2132⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢2/59/5⎦⎣0⎣029⎥⎦

⎡2.222⎢⎢⎢

11-9 104⎢

⎢⎢⎢⎢⎣

24.27-2.2223.33300-1.875-10.0013.16

-1.458

16.67

0010.00

对称

⎤⎡ν1⎤⎡8⎤⎥⎢u ⎥⎢0⎥⎥⎢2⎥⎢⎥1.875⎥⎢ν2⎥⎢18⎥

⎥⎢⎥=⎢⎥ 2.500⎥⎢θ2⎥⎢12⎥0⎥⎢u 3⎥⎢0⎥

⎥⎢⎥⎢⎥θ-125.000⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎦⎣3⎦⎣00

⎡0.4608⎢

11-10 K =104⎢

⎢对⎢⎢⎣⎡19.07⎢

11-11 K =104⎢

⎢对⎢⎣

07.300称2.3043.528称

-0.460808.461009.600

-1.152⎤

⎥

-1.800⎥ 1.152⎥

⎥8.640⎥⎦

0⎤⎥-0.900⎥ -1.800⎥

⎥0.900⎦

11-12 K 中至少应有46个零元素。

11-13M AB =-10.8kN ⋅m ，M BA =2.4kN ⋅m ，M CB =3.6kN ⋅m ， M DC =13. 2k ⋅N 。m

11-14 M AB =-14.56kN ⋅m ，M BA =4.56kN ⋅m ，M CB =-2.79kN ⋅m ， F N AB =22. 22k ，N F N BC =-28.87kN 。

11-15 F N AB =19.18kN ，F N BD =3.385kN ，F N CD =-15.5kN ，F N AD =19.4kN ， F N BC =-13. 98k 。N

习 题

12-1 试求习题12-1图所示体系的自振频率。除特殊标注外，其余各杆不计质量。

（a ） (b) (c)

C

(d) (e) (f)

习题12-1图

12-2 习题12-2图所示跨长为l 的等截面简支梁，承受一集中质量W =mg 。按(a)、(b)图示两种作用位置，试分别求自振频率及它们之间的比值。设梁重不计。

(a)

(b)

习题12-2图

12-3 习题12-3图所示一等截面梁跨长为l ，集中质量m 位于梁的中点。试按图示四种支承情况分别求自振频率，并分析支撑情况对自振频率的影响。其中图b 支座弹簧刚度

k =4/δ11（δ11为图a 中梁的柔度系数）。

习题12-3图

12-4 试求图示体系的自振频率。设杆件自重略去不计，各杆EI 相同，为常数。

习题12-4图 习题12-5图

12-5 试求图示体系的自振频率。设杆件自重略去不计，各杆EI 相同，为常数。

12-6 试求图示体系的自振频率。设各杆截面相同，A =20cm 2, E =206GPa 。各杆重量以及重物的水平运动略去不计。

12-7 试求图示体系的水平自振周期。已知：

W =20kN , I =20⨯104cm 4, E =3⨯104MPa 。

12-8 图示机器与基座的总质量为78t ，基座下土壤的抗压地基刚度系数

C z =6. 0MN /m 3，基座的底面积A =20cm 2。试求机器连同基座作竖向振动时的自振频

率。

12-9 图示两根长4m 的工字钢梁并排放置，在中点处装置一电动机。将梁的部分质量集中于中点，与电动机的质量合并后的总质量为m =320kg。电动机的转速为每分钟1200转。由于转动部分有偏心，在转动时引起离心惯性力，其幅值为F=300N。已知E=200GPa，一根梁的I =2. 5⨯10cm ，梁高为20cm 。试求强迫振动时梁中点的振幅、最大总挠度及梁截面的最大正应力。设略去阻尼力的影响。

3

4

习题12-6图 习题12-7图

习题12-8图 习题12-9图 12-10 同12-9题，设考虑阻尼的影响，阻尼比ξ=0.03。

12-11 通过某结构的自由振动实验，测得经过10个周期后，振幅降为原来的15%。试

求阻尼比，并求此结构在简谐干扰力作用下，共振时的放大系数。

12-12 爆炸荷载可近似用图示规律表示，即

F ⎧⎛t ⎫

⎪1- (t ≤t 1)⎪F ⎪ F (t )=⎨ ⎝t 1⎭

⎪0 (t ≥t 1)⎩

1

习题12-12图 若不考虑阻尼，试求单自由度结构在此种荷载作用下的动力位移公式。设结构原处于静止状态。

12-13 求图示体系的频率和主振型。各杆EI 相同，为常数。 12-14 求图示体系的频率和主振型，并绘主振型图。EI 为常数。 12-15 求图示体系的频率和主振型，并绘主振型图。EI 为常数。

12-16 图示简支梁，若不计梁的自重和阻尼，EI 为常数。求当简谐荷载的频率θ分别为

θ1=0. 8

48EI 48EI ，时，质点的动位移幅值，并绘动弯矩幅值图。

θ=1. 2233

ml ml

习题12-13图

习题12-14图

习题12-15图

习题12-16图

12-17 图示结构，质量集中在横梁上，不计阻尼，EI 为常数。求当θ=矩幅值图。

12-18 图示刚架横梁刚度为无穷大，质量为m 1=m 2=100t，层间侧移刚度分别为

6EI

时动弯3

ml

K 1=3⨯104kN /m ，K 2=2⨯104kN /m ，柱子的质量忽略不计。动荷载的幅值为

F =20kN ，频率为θ=300r /min 。求横梁水平位移的幅值及动弯矩幅值图。

2

1

习题12-17图 习题12-18图

参考答案

12-1

7l 311l 21EI 16EI δ11=δ=（a ），； (b) ，； ω==ω==1133

12EI 1536EI m δ117ml m δ1111ml

∆H +∆C l 311l 3115EI

+= （c ）δ11=, ω=； =4248EI 240EI m δ1111ml 3

(d ) k 11=

15EI

,

ω=l 3k 1115EI

96EI 9EI =ω=ω=； (e) ； (f) 。 m ml 37ml 34ml 3

12-2

ωa =

48EI 256EI ωa 3ω=, , =。 b 33

ml 3ml ωb 4

12-3

ωa =ω=

48EI 128EI

ω=，。 d 33

ml 3ml 48EI

。 7ml 3

12-4

12-5

ω=

166EI

。 3

l 23ml

12-6 ω=87. 3(1/s ) 。 12-7 T =0. 1053(s ) 。 12-8 ω=39. 2(1/s ) 。

-4-4

12-9 振幅A =1. 21⨯10m ，最大挠度=5. 38⨯10m ，最大正应力=8.09MP a 。 -4

12-10 共振时振幅A =6. 65⨯10m 。

12-11 ξ=0. 03，β≈16. 67。 12-12 当t ≤t 1时，y =y st 1-cos ωt +

⎛⎝sin ωt t ⎫

； -⎪⎪ωt 1t 1⎭

当t ≥t 1时，y =y st -cos ωt +

⎛⎝

sin ωt -sin (t -t 1)⎫

⎪⎪。 ωt 1⎭

EI EI A 1(1)6. 2435A 1(2)0. 1602

12-13 ω1=3. 063，ωb =12. ，1=-，2=。

ml ml 3A 21A 21EI EI A 1(1)1A 1(2)1

12-14 ω1=0. 803，ω2=2. ，，。 ==-312ml ml A 20. 4141A 22. 414EI EI A 1(1)1A 1(2)1

12-15 ω1=0. 963，ω2=3. ，，。 =-=12ml ml 3A 20. 277A 23. 61

48EI Fl 3

12-16（1）当θ1=0. 8时，β=2. 778，质点振幅为A =βy st =0. ，惯性

EI ml 3

力幅值为I =m θA 2=1. 22F 。

2

48EI Fl 3

（2）当θ2=1. 2时，β=-2. 273，质点振幅为A =βy st =0. ，惯性3

EI ml

力幅值为I =m θ2A 2=2. 25F 。 12-17

ω=

Fl 24EI 4

β=，，=。 M d max

33ml 3

12-18位移幅值为A 1=-0. 459⨯10-4m ，A 2=0. 177⨯10-4m ；惯性力幅值为

I 1=m 1θ2A 1=-4. 53kN ，I 2=m 2θ2A 2=1. 12kN 。

第13章 结构的稳定计算

13-1 试用静力法计算习题13-1图所示体系的临界荷载。

(a) (b) (c)

习题 13-1图

13-2 试用静力法计算习题13-2图所示体系的临界荷载。k 为弹性铰的抗转刚度（发生单位相对转角所需的力矩）。

习题 13-2图

13-3 试用静力法计算习题13-3图所示体系的临界荷载。

（a)

(b)

习题

13-3图

13-4 试用能量法重做习题13-1图(c)。

13-5试用静力法求习题13-4图所示结构的稳定方程。

EI /l (抗转动刚度)

(a) (b) (c)

(d)

(e)

习题 13-4图

13-6 试用能量法计算习题13-5图所示结构的临界荷载，已知弹簧刚度k =稳曲线为y =Δ(1-cos

πx ) 。 2l

3EI

，设失l 3

习题 13-5图

13-7 试计算习题13-6图所示结构的临界荷载。已知各杆长为l ，EI =常数。

习题 13-6图

13-8 试分别按对称失稳和反对称失稳求习题13-7图所示结构的稳定方程。

习题 13-7图

13-9 试写出习题13-8图所示柱子的稳定方程，设失稳时基础绕D 点转动，地基的抗转刚度为k 。

习题 13-8图

部分习题答案

13-1 （a) F Pcr =13-2 F Pcr =

115kl (b) F Pcr =kl (c) F Pcr =kl 326

2k l 13EI

13-3 (a) F Pcr =kl =2

2l k 4EI

(b) F Pcr ==

h lh

13-5 (a) tan αl +αl =0

1

(b) tan αl +αl =0

4

(αl ) 313

EI =αl -(αl ) (c) tan αl =αl - 3

kl 12

(d) αl tan αl =4 (e) αl tan αl =13-6 F Pcr =

kl 3= EI 4

4.9EI 2l

EI l 2

13-7 F Pcr =F Pcr 反对称=

13-8 （1）对称失稳的稳定方程为: tan αl =

1+

（2）反对称失稳的定方程为: αl tan αl =13-9 (αl )

2

αl (αl ) 2

kl

=EI

αl

2

1+(αl )

kl

=3 EI

⎛tan αl a ⎫kl

+⎪=

l ⎭EI ⎝αl