正方形知识点及同步练习.含答案

学科：数学

教学内容：正方形

【学习目标】

1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．

2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．

3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．

【主体知识归纳】

1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：

（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

3．正方形的判定

（1）根据正方形的定义；

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）有一个角是直角的菱形是正方形；

（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．

【基础知识精讲】

1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)⎫⎬正方形 (2)并且有一个角是直角的平行四边形(矩形)⎭

正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

2．正方形的性质可归纳如下：

边：对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．

【例题精讲】

［例1］如图4－50，已知矩形ABCD中，F为CD的中点，在BC上有一点E，使AE＝DC＋CE，AF平分∠EAD．

求证：矩形ABCD是正方形．

图4—50

剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．

证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．

∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF

∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．

∵DF＝CF，∴GF＝CF．

∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，

∴Rt△GFE≌Rt△CFE．

∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．

又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．

∴矩形ABCD是正方形．

说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．

［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．

图4—51

对上述命题的证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．

∴∠3＋∠2＝90°，

∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．

∴∠1＝∠2，

∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF

问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，

请给出证明；如果不成立，请说明理由．

图4—52

剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．

解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，

∴∠OFA＋∠FAE＝90°

又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，

∴∠OEB＝∠OFA，

∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．

［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．

图4—53

剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．

答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．

【同步达纲练习】

1．选择题

（1）下列命题中，假命题的个数是（ ）

①四边都相等的四边形是正方形 ②对角线互相垂直的平行四边形是正方形 ③四角都相等的四边形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形