向心加速度与线速度方向变化之关系

　　 　　 　　(诸暨市学勉中学浙江 诸暨311811) 　　 　　问题由来高中物理必修(1)第一章中提出了加速度a的概念，明确它是“描述速度变化快慢的物理量”. 　　必修(2)第五章在匀速度圆周运动中提出了向心加速度an的概念，指出它指向圆心而与该点的线速度垂直，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，继而在“变速圆周运动和一般的曲线运动”中进一步表示：如果作曲线运动的物体受到的外力与速度方向斜交，则可以把它分解成与线速度共线的切向分力Ft而产生切向加速度at、与线速度垂直的分力Fn而产生法向加速度an；at标志着物体速度大小的变化，an表现为速度方向的改变. 　　延伸加速度是“描述速度变化快慢的物理量”这一概念，人们进而有叙述：在曲线运动中，切向加速度管线速度大小的改变，at越大，线速度的大小改变就越快；向心(法向)加速度管线速度方向的改变，an越大，线速度的方向改变就越快. 　　以上步步为营的演绎，致使我们对“向心(法向)加速度管线速度方向的改变，an越大，线速度的方向改变就越快”这一点深信不疑，很多老师直接把它作为一种经典奉献给学生，众多的教辅资料中不断以概念训练题的形式强化这一结论. 　　矛盾显现然而现实时常会冲击这一结论，最简单的如图1示：水平圆盘绕竖直中心轴匀速转动，盘上两个小物体A和B随盘一起运动，由于它们作圆运动的角速度ω相同而半径r不同，据向心加速度计算式an=rω2，可知B的向心加速度一定大于A的向心加速度，如果按照上述结论推演，B的线速度方向改变肯定要比A快，而事实上A和B的速度方向改变完全是同步的，取任何一段时间间隔，它们速度方向的改变一样多！ 　　异军突起，看来曲线运动中线速度方向改变的快慢，应该决定于角速度大小：综观众多事实，我们可以发现，圆运动中(一般的曲线运动可通过曲率圆链接)角速度越大，则线速度的方向改变越快，角速度越小，则线速度方向改变越慢，泛说也就是线速度方向的改变快慢，取决于角速度，亦即直接相关转速或周期大小. 　　问题辨析哪一种说法更在理？我们是不是应该先看一看向心加速度an的来历？ 　　在研究最基本的曲线运动――匀速圆周运动中，通常是用以下办法导出向心加速度大小计算公式和方向确认方式：设匀速圆周运动的线速度为v，角速度为ω，半径为r；经一个极短的时间Δt，利用矢量三角形得出一个速度的变化量Δv；速度矢量三角形中在Δt极短的前提下，可以有Δv≈vθ=vωΔt，故加速度a=Δv/Δt= vω= v2/r；当Δt趋向于零时，θ亦趋向于零，则Δv的方向趋向于跟瞬时线速度v垂直，而加速度的方向决定于速度变化量的方向，所以这个加速度垂直线速度而指向圆心，从而被命名为向心(法向)加速度而标作an. 　　从上述推演过程我们应该明确这样一条：向心加速度an来自线量v对时间的变化率，所以它反映的也是一个线量的变化情况而不是一个角量的变化情况！我们可以顺便理一下线、角量之间的关系如表1： 　　表1线量加速度a速度v位移x路程s角量角加速度β角速度ω角位移θ弧长L线、角量关系(曲率半径为r)：a=rβ，v=rω， 弧长(类路程)L =rθ再从因果关系看，因为有一个指向圆心的向心力Fn，就会同时产生一个指向圆心的向心(法向)加速度an；根据牛顿定律中包含的单位关系，an的单位是属于线量变化率的m/s2. 　　从这个意义上讲，速度方向变化是一个角量θ的问题，直接地确实应该由θ=ωΔt来决定，也就是角速度ω的大小决定了线速度方向改变的快慢，而不是由an这个线量来直接描述它. 　　当然，由于an的存在，导致线速度v的大小不变，但在极短时间内产生一个Δv=anΔt，却使v方向发生了改变，所以向心(法向)加速度关联着速度的方向改变是不错的；从速度变化的效果来看，确实也是有这样明确的分工：切向加速度使线速度的大小发生改变，法向加速度使线速度的方向发生改变，没有向心(法向)加速度就没有速度方向的改变；但误解的关键在于“线速度方向的改变的快慢并不单一地决定于向心(法向)加速度”，因为我们可以从推导an的图中可以看出，线速度方向的改变角θ，不但与Δv=anΔt有关，还与线速度v的大小有关(也就是与rω有关)，定量地从an=rω2,即ω=anr可以肯定速度方向变化快慢由向心加速度an和圆半径r共同决定. 　　我们再来看一看教材的相关叙述用词之谨慎：图3表示做圆周运动的沙袋正在加速的情况.O是沙袋运动轨迹的圆心，F是绳对沙袋的拉力.根据F产生的效果，可以把F分解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的分力Ft和指向圆心的分力Fn.Ft产生圆周切线方向的加速度，简称切向加速度.切向加速度是与物体速度方向一致的，它标志着物�・物理史料・