二次函数的图像和性质
初三数学:二次函数的图像和性质
【基础知识】
一、二次函数的概念和图像 1.二次函数的概念
一般地,如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) ,那么y 叫做x 的二次函数。
y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) 叫做二次函数的一般式。
2. 二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x =-
b
2a
对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①开口方向;②对称轴;③顶点。 二、二次函数的性质
2、二次函数y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) 中,a 、b 、c 的含义:
a 表示开口方向:a >0时,抛物线开口向上a
:对称轴为x=-b 与对称轴的位置有关(左同右异)
b
2a
c 看抛物线与y 轴的交点坐标:三、二次函数图象的平移
2. 平移规律“左加右减,上加下减”. 【典型例题】
如图,矩形ABCD 的两边长AB =18cm,AD =4cm,点P 、Q 分别从A 、B 同时出发,P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动,Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动.设运动时间为x 秒,△PBQ 的面积为y (cm 2). (1)求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围; (2)求△PBQ 的面积的最大值.
对应练习:
1. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,则反比例函数y =在同一坐标系中的大致图象是( ).
a
与一次函数y =bx +c x
+c
下列结果①b >4ac ②abc >0③2a +b =0④a +b +c >0⑤a -b +c
A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤ 【课堂检测】 2
2. (2013哈尔滨)把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1
2
个单位,所得到的抛物线是( ).
(A)y=(x+2)2+2 (B)y=(x+2)2-2 (C)y=x2+2 (D)y=x2-2
4. (2011重庆)已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中,正确的是( ) A 、a >0 B 、b <0 C 、c <0 D 、a +b +c >0
5. (2011浙江)已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( )
A 、有最小值0,有最大值3 B 、有最小值﹣1,有最大值0 C 、有最小值﹣1,有最大值3 D 、有最小值﹣1,无最大值 6. (2013•广安)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1.下列结论:
①abc >O ,②2a+b=O,③b 2﹣4ac <O ,④4a+2b+c>O
7.(2012重庆) 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示对
1
称轴为x =-。下列结论中,正确的是( )
2
A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a 十c
8. (2013•呼和浩特)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=﹣mx 2+2x+2(m 是常数,且m ≠0)的图象可能是( )
210. (2013•攀枝花)二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是( ) 列结论中正确的是( )
A .a >0 B .当﹣1<x <3时,y >0
C .c <0 D .当x ≥1时,y 随x 的增大而增大
12(2013泰安)二次函数y =a (x +m ) 2+n 的图象如图,则一次函数y =mx +n 的图象经过( )
A. 第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 13. (2013陕西)已知两点A (-5, y 1), B (3, y 2) 均在抛物线y =ax 2+bc +c (a ≠0) 上,点
C (x 0, y 0) 是该抛物线的顶点,若y 1>y 2≥y 0,则x 0的取值范围是( )
A .x 0>-5 B .x 0>-1 C .-5
y=到抛物线
y=为( )
A .2 B .4
经过平移得
,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积C .8
D .16
12
x +bx 与直线y =2x 交于点2
15.(2013浙江丽水) 如图,已知抛物线y =
O (0,0),A (a ,12),点B 是抛物线上O ,A 之间的一个动点,过点B 分别作x 轴、
y 轴的平行线与直线OA 交于点C ,E 。 (1)求抛物线的函数解析式;
(2)若点C 为OA 的中点,求BC 的长;
(3)以BC ,BE 为边构造矩形BCDE ,设点D 的坐标为(m ,n ),
求出m ,n 之间的关系式。
二次函数解析式的8种求法
二次函数的解析式的求法是数学学习的难点,不易掌握.基本思想方法是待定系数法,根据题目给出的具体条件,设出不同形式的解析式,找出满足解析式的点,求出相应的系数.下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下,和大家共勉:
一、定义型:
此类题目是根据二次函数的定义来解题,必须满足二个条件: 1、a ≠0; 2、x 的最高次数为2次.
例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m -1是二次函数,则m = . 二、开放型
此类题目只给出一个条件,只需写出满足此条件的解析式,所以他的答案并不唯一. 例2、经过点A (0,3)的抛物线的解析式是 . 三、平移型:
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线.要借此类题目,应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h ) 2 + k ,当图像向左(右)平移n 个单位时,就在x – h 上加上(减去)n ;当图像向上(下)平移m 个单位时,就在k 上加上(减去)m .其平移的规律是:h 值正、负,右、左移;k 值正负,上下移.由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变,所以a 得值不变.
151
例3、二次函数 y =χ2+3χ+ 的图像是由y =χ2的图像先向
222
个 单位,再向 平移 个单位得到的.
这两类题目多出现在选择题或是填空题目中。 四、一般式
当题目给出函数图像上的三个点时,设为一般式y =a χ2+b χ+c ,转化成一个三元一次方程组,以求得a ,b ,c 的值;
例4、已知二次函数图像经过(1,-4),(-1,0),(-2,5) 求这个二次函数的解析式
五、顶点式
若已知抛物线的顶点或对称轴、极值(最大或最小值),则设为顶点式
y =a (x -h )+k .这顶点坐标为( h ,k ),对称轴方程x = h ,极值为当x = h 时,y
2
极值=k 来求出相应的系数;
例5二次函数图像顶点是(-2,3),且过(-1,5),求出该二次函数解析式。
六、两根式
0),0),设二次函数的解析式为已知图像与 x 轴交于不同的两点(x 1,(x 2,
y =a (x -x 1)(x -x 2),根据题目条件求出a 的值.
例6、图像与x 轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过(1,-
9
)求出解析式。 2
七、翻折型(对称性):
已知一个二次函数γ=a χ2+b χ+c ,要求其图象关于x 轴对称(也可以说沿x 轴翻折);y 轴对称
及经过其顶点且平行于x 轴的直线对称,(也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°)的图象的函数解析式,先把原函数的解析式化成y = a ( x – h ) 2 + k 的形式.
(1)关于x 轴对称的两个图象的顶点关于x 轴对称,两个图象的开口方向相反,即a 互为相反数.
(2)关于y 轴对称的两个图象的顶点关于y 轴对称,两个图象的形状大小不变,即a 相同.
(3)关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变,开口方向相反,即a 互为相反数.
例7、把函数y=2x2-4x+1的图象绕顶点旋转180度 求所得抛物线的解析式。
2
y =3x -6x +5,求满足下列条件的二次函数的解析式: 例8 已知二次函数(1)图象关于x 轴对称;
(2)图象关于y 轴对称;
(3)图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称.
七、对话与二次函数关系式
例9、 有一个二次函数的图象,三个同学分别说出了它的一些特点. 小明:对称轴是直线x =4; 赵同说:函数有最大值为2;
张单说:此函数的图象经过点(-3,1)关于y 轴的对称点;请你根据上述对话写出满足条件的二次函数关系式.
例10、若二次函数的图像满足下列条件: (1)当x <2时,y 随x 的增大而增大 (2)当x ≥2时,y 随x 的增大而减小 则这样的二次函数解析式可以是 八、数形结合
例11. (2012临沂)
如图,点A 在x 轴上,OA=4,将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置. (1)求点B 的坐标;
(2)求经过点A .O 、B 的抛物线的解析式;
练习:
1. 已知:在△ABC 中,BC=20,高AD=16,内接矩形EFGH 的顶点E 、F 在BC 上,G 、H 分别在AC 、AB 上,求内接矩形EFGH 的最大面积。
2. (南京市)(8分)已知二次函数y =ax 2+bx +c 中,函数y 与自变量x 的部分对应值如下表:
(1
(2)当x 为何值时,y 有最小值,最小值是多少?
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