5.3面运动(热点题型)·数学中考分类精粹

【题型概述】

§５．３　面　运　动

面的运动主要有平移、旋转和翻折这三种基本变换．主

要是对给定的图形(或其一部分) 实行某种位置变化, 然后在新的图形中分析有关图形之间的关系, 这类问题常与探究性、存在性等结合在一起, 考察学生动手能力、观察能力、探索与实践能力．

图形平移实质上就是线的平移, 线的平移会产生相似图形, 所以这类问题解题的关键思路是利用相似得到待求量之间的关系．图形的旋转实质就是线的旋转, 也可抓住旋转图形和不变图形的交点, 转化成动点问题先动后静来求解．图形翻折实际上是轴对称变换, 变换前后的对应线段相等、对应角相等．常常与角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形的高相联系．解决旋转、平移、翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识, 全面寻【典题演示】

找图形运动过程中的不变量．

【) 、() 辽宁沈阳) 例】图(是两个相似比为１∶　(１２２０１２

的等腰直角三角形, 将两个小三角形如图(放置, 小直角三３) () ) 图(中, 绕点D 旋转小直角三角形, 使两直角边分１３

, 别与A 如图(C 、B C 交于点E 、F , ４) ①求证:D E ＝D F ; ②求证:A E ２＋B F ２＝E F ２;

() ) 在图(中, 绕点C 旋转小直角三角形, 使它的斜边２３

, 和C 如图(证明结论:D 延长线分别与A B 交于点E 、F , ５)

∵　根据旋转得出:C F ＝C G , A G ＝B F , ∠４＝∠１,

, ∠B ＝∠G A C ＝４５°

∴　∠G A E ＝９０°．, ∵　∠３＝４５°

连接G E ．

∴　A E ２＋B F ２＝E F ２．

() ) , 把△得到△如图(２C F B 绕点C 顺时针旋转９０°C G A , ５

∵　在△C E F 中, C E ２＋C F ２＝E F ２,

得出C E ＝B F ．

与①证明△C D F ≌△A D E 类似可证△C E D ≌△B F D ,

则C ②由①知△C D F ≌△A D E , F ＝A E ．

∴　D E ＝D F ．

∴　△C D F ≌△A D E ．

∠１＝∠３, A D ＝C D , ∠４＝∠A ,

在△C D F 和△A D E 中,

∴　∠１＝∠３．

∴　∠４＝∠A ＝４５°．

, , ∵　∠１＋∠２＝９０°∠２＋∠３＝９０°

角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．

∵　在△C G E 和△C F E 中,

C E ＝C E , ∠G C E ＝∠F C E , C G ＝C F ,

２∵　在R t △A G E 中, A E ２＋A G ＝G E ２,

∴　∠１＋∠２＝４５°．

∴　∠２＋∠４＝９０°－４５°＝４５°．

A E ２＋B F ２＝E F ２仍成立．

∴　G E ＝E F ．

∴　△C G E ≌△C F E ．

动态几何题, 解决此类问题, 一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性, 充分利用不变量来解决

() １

() ２

() ３

∴　A E ２＋B F ２＝E F ２．【归纳交流】这是一道典型的几何图形(三角形) 运动的

问题; 二是要运用特殊和一般的关系, 探究图形运动变化过程中的不同阶段; 三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质, 这种方法能够使得问题解决的过程更加【名题选练】

简洁, 结论更加准确．

证出△C ∠３, D F ≌△A D E 即可; ②由△C D F ≌△A D E 得出

同理证△C 推出B 在△C A E ＝C F , E D ≌△B F D , F ＝C E , E F () 把△C 得到△C 连接２F B 绕点C 顺时针旋转９０°G A , 求出∠G 根据S G E , C E ＝∠E C F , C G ＝C F , A S 证△C G E ≌

推出G 根据勾股定理求出即可．△C F E , E ＝E F ,

【() ) , 完全解答】连接C １①如图(４D ．

) 、() 是两个相似比为１∵　图(１２的等腰直角三角形, ∴　放置后小直角三角形的斜边正好是大直角三角形∴　D 为A B 中点, C D ⊥A B ．

, ∵　∠A C B ＝９０°∴　C D ＝A D ＝B D ．

中根据勾股定理得出C 代入求出即可; E ２＋C F ２＝E F ２,

【(思路点拨】得出A D ＝C 求出∠１＝１) ①连接C D , D ,

() ４

　

() ５

在R １．(t △P O Q 中, O P ＝O Q ＝４, M 是P Q ２０１２ 四川南充)

中点, 把一三角尺的直角顶点放在点M 处, 以M 为旋转

边分别交于点A 、B ．

中心, 旋转三角尺, 三角尺的两直角边与△P O Q 的两直角

() 求证:１M A ＝M B ; () 连接A 探究:在旋转三角尺的过程中, ２B , △A O B 的周

请说明理由．

长是否存在最小值? 若存在, 求出最小值; 若不存在,

的直角边．

(第１题)

(如图, 在△A ２．(１) B C 和△A D E 中, A B ＝２０１２ 辽宁阜新)

, 已知:如图(在面积为３的正方形４．(１) ２０１２ 湖南益阳)

第五章　动态问题

A ①C 当点, A D ＝A E D 在A , C ∠B 上时A C , ＝∠如图D (A E 量关系和位置关系? １) , ＝线段９０°B ．

D 、C E 有怎样的数②将图(１) 直接写出你猜想的结论中的．△A D E 绕点９０°) , 如图(２) , 线段A 顺时针旋转α角(B D 、C E 有怎样的数量关系０°和＜位α＜置关系? (２) 请说明理由当．

△, 使线段A B C 和乙、丙中的哪个B △D A 必说明理由．

、C D E E 满足下面甲、

条件时在(１

) 中的位置关系仍然成立? 不甲:A B ∶A C ＝A D ∶A E ＝１乙:A B ∶A C ＝A D ∶A E ≠１, ∠B A C ＝∠D A E ≠; 丙:A B ∶A C ＝A D ∶A E ≠１, , ∠∠B B A A C C ＝∠＝∠D D A A E E ＝９０°≠９９００°

°; ．

(１

) 　

(第(２

) ２题)

３．(２０１２ 四川成都)

如图, 腰直角三角形, ∠B A C △＝A ∠B E C 和D F △＝９D ０E F , 是两个全等的等旋转过程B C 的斜边B C 的中点重合．°△中, 线段D E 与线段A B 相D D 交E E F F 的顶点△A E

与将△绕点E 旋转, 于点P E (１F ,

线段) 与射线如图(１) C , A 相交于点当点Q ．

Q 在线段A C 上, 且A P ＝A 求证:(２) △如B 图P E (≌△, 当C Q 点E Q ; Q 时, 在线段C 求证:△B P E ２) A 的延长线上时,

∽△C E Q ; 并求当B P ＝a , C Q ＝９a 时, P 两点间的距离．(用含a 的代数式表示)

２

、Q

(１

) 　

(第(３２

) 题)

A B C D 中, E 于点G , 且B E 、F 分别是边B C 和C D 上的两点, A E ⊥B F

(＝１．

(１) (２３) 求证) 求出:现将△△A A B E ≌△B C F ; 即△B 的面积; (转前后与２) ) △B E 和△B C F 重叠部分(E G ) , 使点A B E 绕点A 逆时针方向旋转到E 落在边C D 上的点E ′处, 问△A 积是否发△B 生A ′E B ′(

如图了E 在旋

变化?

请说明理由△B ．

C F 重叠部分的面(１

) 　

(第(４２

) 题)

．如图, 正方E (２０１２ 江苏苏州)

形A B C D 的边A D 与矩形F G H 的边F G 重合, 将正方形A B C D 以G 方向移动,

移动开始前点A 与点F 重合１c m /．s 的速度

沿F 在移动过程中, 边A D 始终与边F G 重合, 连接C G 的平行线交线段G H 于点P , 连接P D , ．

过已点A 作C G

知正方形A B C D 的边长为别为１c m , 矩形E F G H 的边F G 、G H 的长分

为y (４c m c m ) , 、３其中c m ０．设正方形移动时间为≤x ≤２．５．x (s ) , 线段G P 的长

(１

) (２) x 试的值求出y 关于x 的函数关系式, 并求当y ＝３时相应;

记△(３) 当线段－D G P 的面积为S １, △C D G 的面积为S S ２, 试说明１S ２是常数;

P D 所在直线与正方形A B C D 的对角线A C 垂

直时, 求线段P D 的长．

(第５题)

５

２有最小值, 最小值是当x ＝２时y ８y ．

此时O A ＝２, A B ＝, O B ＝

) ２．(１①结论:B D ＝C E , B D ⊥C E ．

②结论:B D ＝C E , B D ⊥C E ．

故△A 其最小值是４＋O B 的周长存在最小值,

２

B －O A ２２．

∴　∠B A D －∠D A C ＝∠D A E －∠D A C , 即　∠B A D ＝∠C A E ．

, 理由如下:∵　∠B A C ＝∠D A E ＝９０°

() １

　(第２题)

() ２

∵　A B ＝A C , ∠B A D ＝∠C A E , A D ＝A E , ∴　△A B D ≌△A C E ．

∴　B D ＝C E , ∠A B D ＝∠A C E ．在△A B F 与△H C F 中,

在R t △A B D 与R t △A C E 中,

延长B 交C D 交A C 于点F , E 于点H ．∵　∠A B F ＝∠H C F , ∠A F B ＝∠H F C , ∴　B D ⊥C E ．

∴　∠C H F ＝∠B A F ＝９０°．

) 连接O M ．１．(１

§５．３　面　运　动

１

P Q ＝２, ∠P O M ＝∠B O M ＝∠P ＝２

) , ３．(１∵　△A B C 是等腰直角三角形, ∠B A C ＝９０°

, ∴　∠B ＝∠C ＝４５°A B ＝A C ．∵　A P ＝A Q , ∴　B P ＝C Q ．∴　B E ＝C E ．

９０°．

() 结论:乙:２A B ∶A C ＝A D ∶A E ≠１, ∠B A C ＝∠D A E ＝

∵　在R t △P O Q 中, O P ＝O Q ＝４, M 是P Q 的中点,

∴　O M ＝P M ＝４５°．

∵　E 是B C 的中点, 在△B P E 和△C Q E 中,

, ∵　∠P MA ＋∠AM O ＝∠O M B ＋∠AM O ＝９０°∴　∠P MA ＝∠O M B ．

∴　△P MA ≌△O M B ．∴　MA ＝M B ．

() ２△A O B 的周长存在最小值, 最小值为４＋．∴　P A ＝O B ．＝４．

理由:根据△P MA ≌△O M B ,

() ２∵　△A B C 和△D E F 是两个全等的等腰直角三角形, ∴　∠B ＝∠C ＝∠D E F ＝４５°．∵　∠B E Q ＝∠E Q C ＋∠C ,

) ∴　△B P E ≌△C Q E (S A S ．

∵　B E ＝C E , ∠B ＝∠C , B P ＝C Q ,

即　∠B E P ＋∠D E F ＝∠E Q C ＋∠C ．∴　∠B E P ＋４５°＝∠E Q C ＋４５°．∴　∠B E P ＝∠E Q C ．∴　△B P E ∽△C E Q ．

∴　O A ＋O B ＝O A ＋P A ＝O P

(第１题)

２２２２２() x ＋(４－x ) ＝２x －８x ＋１６＝２x －２＋８≥８．y ＝

令O 则A ＝x , A B ＝y ,

E P B

＝．∴　

Q E C

９

∵　B P ＝a , C Q ＝a , B E ＝C E ,

２a ．∴　B E ＝C E ＝∴　△G C D ∽△A P G ．

G D ＝．∴　

G D ∴　A B ＝A C ＝B C s i n ４５°＝３a ．∴　A Q ＝C Q －A C ＝

．∴　B C ＝) ４．(１∵　四边形A B C D 是正方形,

连接P 在R Q , t △A P Q 中, P Q ＝

３,

a P A ＝A B －B P ＝２a ．２

１y , 即y ＝４－x ．∴　＝

－x ４－x ３－x

５

a ．２

∴　G D ＝３－x , A G ＝４－x ．

∵　G F ＝４, C D ＝D A ＝１, A F ＝x ,

Q ２＋A P ２－x ∴　．y 关于x 的函数关系式为y ＝

－x －x 解得x ＝２．当y ＝３时＝３, ５．－x

经检验x ＝２．５是分式方程的根．∴　∠∴　∠A B E ＝∠B C F ＝９０°, A B ＝B C ．

∵　∴　∠A E A ⊥B F B F ＋∠,

C B F ＝９０°．∴　∠A 在B B A F E ＋∠＝∠B C A B F E ．＝９０°．∠A △B A E B ＝∠E 和△B C F 中, A B ＝B C ∴　△A B E B ≌△C F B , C F ．

, ∠B A E ＝∠C B F ,

(∴　２) ∵　正方形的面积为A B ＝３, 在∵　∠△B G G E 与B E ＝∠△A B B E 中, ∴　△B G E ∽△(A B A E E ．, ∠E G B ＝∠E B A ＝９０°

, ∴　S S △B G E

A B E △A B E ＝

E

)

２

．

又∴　　B A E E ２＝＝１A ,

B ２＋B E ２

＝３＋１＝４．

∴　S △B G E ＝E E

２

２×S △A B E ＝１

４×＝．(３

) 没有变化．理由:∵　A B ＝B E ＝１, ∴　t a n ∠B A E ＝

∵　A B ′＝A D , ∠A ＝B ′E ′,

∠B A E ＝３０°．＝∠A D E ′＝９０°, A E ′＝A E ′∴　R∴　∠t ∴　A B D △′A A 与E B ′E A ＝∠≌RE 在同一直线上B t ′△A A , E ′B ′＝∠E ′≌RB , A t 即E △B ＝A F ３D ０°E ′与．．A B ′的交点是G ,

设B F 与A E ′的交点为H , 则＝A ∠G B ,

A G ＝∠HA G ＝３０°, 而∠A G B ＝∠A G H ＝９０°, A G ∴　△∴　S B 四A 边G ≌△形HA G ．

G H E ′B ′＝S △A B ′E ′－S △A G H ＝S △A B E －S △A B G ＝

S △B G E ．

化∴　△．

A B E 在旋转前后与△B C F 重叠部分的面积没有变

．(１) ∵　C G ∥A P ,

故x 的值为２．５．

(２) ∵　S １＝

１１２

G P G D ＝１２ ４３－－x x (３－x ) ＝４－２x , ２＝

２G D C D ＝１２ (３－x )

１＝３－２

x , ∴　(S １－S ２＝

４－３) 延长P D 交A ２x －－C 于点２x ＝１Q ．２, 即为常数．∴　∠∵　正方形A B C D 中, A C 为对角线,

∵　∴　∠P Q C A ⊥D A C ＝,

４５°．∴　∠A ∴　△G D D D Q G P ＝P ＝∠４５°是等腰直角三角形A ．

D Q ＝４５°．

, 则G D ＝G P ．

∴　３－x ＝４３－－x x

, 化简, 得x ２－５x ＋５＝０．解得x ＝±∵　０≤x ≤．

２．５,

∴　x ＝

－２

．在R t △D G P 中, P D ＝o G s D ４５°

＝３－x ) ＝２．

S ５