华东师大版 九年级数学上册复习(全部内容)

华东师大版 九年级数学上册复习（全部内容）

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

期中复习（九年级上册全部内容） 二. 重点、难点： 1. 重点：

⑴二次根式的化简以及运算．

⑵运用一元二次方程的知识、技能解决问题． ⑶相似三角形性质、判定的应用．

⑷理解并掌握直角三角形边角之间的关系．

⑸学会求解简单随机事件的概率，会进行简单的实验． 2. 难点：

⑴二次根式性质、法则的正确使用．

⑵灵活运用一元二次方程的知识解决实际问题． ⑶相似三角形性质、判定的灵活应用．

⑷如何应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题． ⑸对实验频率与理论概率的内涵的理解． 三. 知识梳理： 1. 二次根式

本章是前面学习数的开方的延伸，主要是在理解二次根式概念的基础上，进一步掌握最简二次根式和同类二次根式的意义，并能熟练进行二次根式的乘除、加减运算．体会运算律在计算过程中的简便思想，完善幂的运算性质的知识体系．

本章学习应该注意二次根式是从形式上给出的定义，不要与判断带根号的数是不是无理数、有理数混淆．同时注意二次根式乘除法运算公式正反用法的条件及最后计算结果的最简性．学习本章还要注意类比方法的运用，即以前学习的运算律、公式在二次根式计算中同样可以使用．

本章常见考点有：⑴利用二次根式性质进行化简；⑵利用二次根式的定义确定字母取值范围；⑶利用二次根式的加减乘除法则进行计算、化简、求值． 2. 一元二次方程 本章是我们在前面学习的一元一次方程、二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程等知识的延伸，它也是数学科学中方程领域的重要基础部分．通过系统地学习本章知识，不但可以熟练地解一元二次方程，而且还要更深入地了解一元二次方程与一元一次方程之间的联系和相互转化的思想，经历一元二次方程解法的探究过程，更好地体会数学的实际应用价值．

学习本章可以采用公式记忆法类比学习法．如以“公式”形式记忆一元二次方程的一般形式，直接开平方法、因式分解法及公式法解一元二次方程的模型．再如：一元一次方程有一个解，而一元二次方程有解时一定是两个解，可以通过类比记忆二者的联系和区别．

本章常见考点有：⑴利用一元二次方程的四种常用方法解一元二次方程；⑵一元二次方程根的判别式的简单应用；⑶利用一元二次方程解决简单的实际问题． 3. 图形的相似

本章是对三角形知识的进一步认识，围绕比例线段和相似三角形的基础知识展开，主要研究了相似图形的概念、性质，相似三角形的判定、性质及其应用，并介绍了用坐标研究图形的运动变换的方法．

在学习过程中应注意：⑴观察图形结合图形特点弄清概念的意义，理解概念的范畴；⑵注意与实际问题相结合，体会相似及相似三角形在现实生活中的应用；⑶注意加强合情推理，注重通过直观操作（测量、观察、画图等）得出结论．

本章常见考点有：⑴求比例线段；⑵应用相似三角形的性质或判定进行证明和计算；⑶图形与坐标；

⑷运用相似三角形的知识解决实际生活问题． 4. 解直角三角形

本章主要是直角三角形的边、角关系及其应用．在实际生活中，很多问题，特别是测量问题都可以通过解直角三角形来解决．锐角三角函数是在直角三角形中定义的，它是研究直角三角形中边与角之间关系的根本依据．

学习本章注意数形结合的思想，解直角三角形本身就是用数研究形或用形表示数，只有正确运用数与形的结合，才能深刻理解、迅速掌握、牢固地记忆定义和定理．我们要学会用解直角三角形解决现实生活中的实际问题，即把实际问题转换成直角三角形中的边、角关系问题，要在解题中体会，探索并运用一定的技巧．

本章常见考点有：⑴三角函数的概念；⑵解直角三角形；⑶解直角三角形的应用． 5. 随机事件的概率 本章主要是概率的概念及通过模拟实验进行概率的预测，教材首先通过大量的实验得出概率的概念，体现了频率与概率的辩证关系，频率是对概率的估计，概率是对频率的预测．动手操作、多实验、用心观察、勤于思考、善于总结；改变学习方式，养成自主探索、合作学习的习惯，是学好本章的诀窍．

学习过程中应注意：⑴注意相关知识的前后联系，有助于理解和掌握知识；⑵注意频率与概率之间的关系．当实验次数充分大时，可以取频率值作为概率的估计值，当理论概率不易求时，往往通过频率来求；⑶注意替代物选择的条件，在用替代物模拟实验时，要求必须在相同的条件下进行．

本章常见考点有：⑴画树状图或列表求解某事件的概率；⑵利用概率，判断游戏的公平性；⑶利用概率设计方案．

【典型例题】

例1.

x

有意义的x 的值． +2-x 分析：使代数式有意义的未知数的值，因不同代数式而各异．一般来说，二次根式要使被开方数是非

负数，分式要使分母不为零．如果同时出现在几个不同的代数式中，则应综合考虑．使上式有意义的x 的值必须满足被开方数为非负数，分母不等于零．

⎧4-x >0, ⎧x

解：由题意得：⎨3+x ≥0, 解得⎨x ≥-3, . 即-3≤x

⎪2-x ≠0. ⎪x ≠2⎩⎩a 2-1a 2-2a +11

-例2. 化简求值：，其中 a =2

a -1a -a 2+3

分析：

=a 化简，并注意题目中的隐含条件．

a 2-1a 2-2a +1-解： 2

a -1a -a

=

(a +1)(a -1) |a -1|

-

a -1a (a -1)

12+3

=

1⨯(2-3) (2+3)(2-)

=2-

因为a =

所以0

所以原式=a +1-

1-a

a (a -1)

=a +1+

1 a

=2-+1+2+3

＝5

例3. 下列方程是关于x 的一元二次方程的是 （ ） A. 3(x +1) =2(x +1) B.

2

2

11

+-2=0 x 2x

2

2

C. ax +bx +c =0 D. x +2x =x -1

解析：选A ．因为B 选项含有分式，不是一元二次方程；C 选项由于a 的取值不确定，有可能等于0，不一定是一元二次方程；D 选项化简后是一元一次方程． 例4. 方程x （x ＋3）＝x ＋3的解是 （ ）

A. x＝1 B. x1＝0， x 2＝－3 C. x1＝1， x 2＝3 D. x1＝1， x 2＝－3 解析：根据方程的特点可用因式分解法． x （x ＋3）－（x ＋3）＝0 （x ＋3）·（x －1）＝0

∴x 1＝－3，x 2＝1，∴选D

误点警示：要根据方程的特点灵活选用方法解方程． 但是解方程时切记不可在方程的两边同时除以（x ＋3）这个因式，否则会错选答案A ．

例5. 对于二次三项式x 2－10x ＋36，小聪同学作出如下结论：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．

解析：此题问某个代数式的值能不能等于某个定值，我们可以从反面出发来思考，即假设其能够等于某个定值，再看其构成方程的解是不是存在，若存在说明可能，若不存在说明不可能．具体解法如下：

不同意．

∵当x 2－10x ＋36＝11时，

化简得x 2－10x ＋25＝0即（x －5）2＝0 此方程有解，解得： x 1＝x 2＝5

即当x ＝5时，x 2－10x ＋36＝（ｘ－5）2＋11＝11．

例6. 如图，已知∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，问当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，ΔABC 与ΔCDB 相似

?

解析：ΔABC 与ΔCDB 相似，这样设问时要分两种情况讨论，不要遗漏． ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°

AC BC b 2

1）当时，ΔABC ∽ΔCDB ，∴BD ＝ =

a BC BD

b a 2-b 2AB AC

2）当时，ΔABC ∽ΔBDC ，∴BD = =

BD BC a

b a 2-b 2b 2

∴当BD ＝或 BD ＝时，这两个三角形相似

a a

例7. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 边上的点，连结DE 并延长交AC 的延长线于F ，若BD ∶

DE ＝AB ∶AC ．

求证：△CEF 是等腰三角形．

分析：由已知AB ∶AC ＝BD ∶DE 并结合图形容易看出，若过点D 作DG ∥AF ，交BC 于G ，则AB ∶AC ＝BD ∶DG ，所以DG ＝DE ，从而可证CF ＝EF ．

证明：过点D 作DG ∥AF 交BC 于G ，则∵

AB BD

， =

AC DE

AB BD

， =

AC DG

∴DE ＝DG

∵DG ∥CF ，∴△CFE ∽△GDE ． ∴

CF EF

＝． DG ED

∴CF ＝EF ．∴△CEF 是等腰三角形．

例8. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的平分线，已知AB ＝

AD ＝_________．

解析：在Rt △ACD 中，可得∠CAD ＝30°，则再需设法找出另一条件，可以先解Rt △ACB ，求出AC ，从而求出AD ．

在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，

1

AB ＝

2

∵∠CAB ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°，

1

∴∠CAD ＝∠CAB ＝30°，

2

AC

在Rt △ACD 中，cos ∠CAD ＝，

AD

∴AC ＝

AC 23

＝4． =

cos ∠CAD cos 30︒

领悟整合：解直角三角形的关键是把要求的有关量放到某个直角三角形中，利用角的关系、边的关系、锐角三角函数进行求解．尤其是用三角函数时要确定好已知量和所求量之间建立哪种函数关系，不能用错了．

例9. 如图，河对岸有一铁塔AB ．在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进16米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高．

∴AD ＝

分析：本题求线段的长，结合已知条件，要通过解直角三角形来解决．由题可得△ABD 为等腰直角三角形，于是可设AB ＝BD ＝x ，在Rt △ABC 中用锐角三角函数得方程，解方程可得x 即AB 的高．

解：在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝45°， ∴BD ＝AB ．

在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝30°，∴BC

AB ．设AB ＝x （米）， ∵CD ＝16， ∴BC ＝x ＋16． ∴x ＋16

⇒x =

=81．即铁塔AB

的高为8

)

1米．

)

另解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝30°，∴BC ＝ABcot30° 在 Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝45°，∴BD ＝ABcot45° ∵CD ＝BC －BD ＝16，∴ ABcot30°－ ABcot45°＝16

∴AB =

1616

==8(+1)

cot 30︒-cot 45︒3-1

即铁塔AB 的高为

8

1米．

)

例10. （2007年泰州市）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷

宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．

⑴小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．

⑵小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．

⑶在⑵的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？

分析：运用树状图求出概率，从而可以判断游戏是否公平，最后借助不等式的知识可以求出答案． 解：⑴树状图：

P (进入迷宫中心) =

41=． 123

⑵不公平，理由如下：

法一：由树状图可知，

P (5的倍数) =

121，P (非5的倍数的奇数) =，=3126

P (非5的倍数的偶数) =

61

=．所以不公平． 122

法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平．

法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率．P (奇数) =

13

，P (偶数) =，所以不公平．可将第二道环上的数4改为任一奇数． 44

⑶设小军x 次进入迷宫中心，则2x +3(10-x ) ≤28，解之得x ≥2． 所以小军至少2次进入迷宫中心．

【模拟试题】（答题时间：120分钟）

一、填空题（每小题2分，共24分，错填、漏填、多填均不得分） 1. 当时，a ＝－a ；当a 为时，a ＝| a | ；

2. 写出两个与23是同类二次根式且被开方数不是3的二次根式 3. 将－π，0，23，－3. 15，3. 5用“＞”连接：； 4. （a ＋2）2＋|b－1|＋－c ＝0，则a ＋b ＋c ＝ ．

5. 当x ＝x -3x 比代数式2x -x -1的值大2 6. 方程x -2ax +3=0有一个根是1，则a 的值是

2

2

2

22

7. 若x 满足x -5x -1=0，则x -

2

1

的值 x

8. 如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为100cm ，木棒上沾油部分的长为60cm ，桶高为80cm ，那么桶内油面的高度是．

9. 如图所示，线段m 的两个端点分别是梯形两个腰从上至下的2、3、4„n 等分点，梯形的两底长为a 、b ，根据图中规律，猜想m 与n 的关系是．

3

，则△ABC 的周长为 5

11. 如图，在离塔150米的A 处，用测角仪测得塔顶为30o ，已知测角仪高AD ＝1.52米，则塔高BE ＝ 米（精确到0.1米）

10. 等腰△ABC 中，底边BC 长为20，sinC ＝

12. 小洪班有男生25人，女生29人，随机抽取9名同学进行义务劳动，则男生小洪被抽到的机会大小为 ．

二、选择题（每小题3分，共24分，每小题只有一个正确答案，错选，漏选，多选均不得分） 13. 下列说法正确的是（ ）

A 、任何有理数均可用分数形式表示； B 、数轴上的点与有理数一一对应；

C 、1和2之间的无理数只有2 ； D 、只有同类二次根式才可以相乘除． 14. 使式子

2x －2

有意义的x 的取值是（ ）

A 、x ≠2 ； B 、x ≥2 ； C 、x ＞2 ； D 、x ＜2 ． 15. 某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x ，则列出方程正确的是（ ）

A 、580(1+x)=1185 B 、1185(1+x)=580

2

2

C 、580(1-x)=1185 D 、1185(1-x)=580

16. 过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是 （ ）

A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条

17. 在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8，另一个三角形的一边长是2，则另一个三角形的周长是 （ ）

A 、4.5 B 、6 C 、9 D 、以上答案都有可能

18. 某人沿坡度1：8的山坡向上走了65米，则此人离开地面的垂直高度为（ ）

A 、65

B 、60

65C 、

2

D 、

22

3 2

19. 有两人用掷一枚骰子比大小的方式决定胜负，下列说法正确的是（ ） A 、先掷的人胜的可能性大 B 、后掷的人胜的可能性比较大 C 、先掷和后掷的人胜的可能性相同 D 、以上都不对

20. 甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（ ） A 、游戏的规则由甲方确定 B 、游戏的规则由乙方确定

C 、游戏规则由甲乙双方商定 D 、游戏双方要各有50%赢的机会 三、解答题

21. 作图题（12分，每小题6分，不写作法，保留作图痕迹）

（1）如图所示，在右边的方格中，画出边长是左边四边形2倍的相似形

（2）如图所示，在△ABC 中画出长宽之比为2：1的矩形，使长边在BC 上，

22. （本题10分）解方程x 2＋4x ＝2时，有一位同学解答如下：

解：这里a =1, b =4, c =2, b -4ac =4-4⨯1⨯2=8，

2

2

==-2±

所以x =

即：x 1=-2+x 2=-2-

请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程．

2

23. （本题12分）设a 、且满足（2－a ）a +b+c ＋∣c ＋8∣＝0，ax +bx +c =0．求b 、c 都是实数，

2

2

代数式x +2x +1的值．

24. （14分）如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30°的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角是15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离．（结果保留根号，参考数值：

sin 15︒=

-2，

cos 15︒=

4

6+2，tan 15︒=2-3，cot 15︒

=2+ 4

25. （12分）小明把语文、数学、外语三本书按任意次序放在他的书架上，求： ⑴语文书恰好被放在中间的概率 ⑵外语书恰好被放在边上的概率 ⑶数学书恰好被放在右边的概率

26. （12分）如图，在△ABC 中，∠C ＝60o ，AD 、BE 是△ABC 的高，DF 为△ABD 的中线，试确定DE 与DF 的关系，并证明你的结论．

试题答案

一. 1. ≤0；任意实数 2. 略 3. 3.5＞3 ＞0＞－π＞－3.15 4. 2 5. －1 6. 2 7. 5 8. 48

na+b19. m＝ 10. 45 11. 88.1 12.

n+16

二. 13. A 14. C 15. D 16. D 17. D 18. A 19. C 20. D 21. 略

22. 以上解答有错误．

没有化一元二次方程为一般形式；正确结果为x 1=-2x 2=-2 23. 由题意知，a ＝2，c ＝－8，b ＝4．又有ax 2＋bx ＋c ＝0得，2x 2＋4x －8＝0．从而x 2＋2x －4＝0，则x 2＋2x ＋1＝5

24. 由速度为每分钟28米，显然AD ＝28×35＝980，在Rt 三角形AFD 中，可得DF ＝4903 ，AF ＝490．

又由∠MDB ＝15o ，所以在Rt △DBF 中，∠DBF ＝15o ．BF ＝cot15o ·DF ＝（2＋3）·490＝980＋1470

BA ＝BF －AF ＝9803＋

980

25. （1） 所有机会均等的结果有（语、数、外）、（语、外、数）、（数、语、外）、（数、外、语）、（外、数、语）、（外、语、数）六种，其中，语文书放在中间的有2种．

P （语文书放在中间）＝

1

3

2 31

（3）数学书放在右边的有2种 所以P （数学书放在右边）＝

3

DE DC DC 1

26. DE和DF 相等；先证明△ABC ∽△DEC ，得，在Rt △ADC 中，∠C ＝60o ， ==。

AB AC AC 2

DE 111

所以=，所以DE ＝AB ，又在Rt △ABD 中，F 是AB 的中点，所以DF ＝AB ，所以DE ＝

2AB 22

DF ．

（2）外语书放在边上的有4种 所以P （外语书放在边上）＝