求解一类矩阵特征向量的几种近似方法

求解一类矩阵特征向量的几种近似方法

◎丁克华（江苏省泰州市姜堰市罗塘高级中学225300）

◎王明刚（南京师范大学泰州学院数学系225300）

【摘要】研究高阶矩阵的特征向量是解决决策问题的

重要手段，对实际生活中的问题如何作出抉择有重要的作用，但众所周知，用定义计算矩阵的特征值和特征向量是相当困难的，特别是矩阵的阶数较高的时候. 本文研究了求解一类高阶矩阵的三种近似方法，为求解高阶矩阵的特征向量提供了一条简便的思路.

【关键词】矩阵；特征向量；特征值；近似解法高等代数中求解矩阵A 的特征向量的方法如下：（1）求特征方程f （λ）＝｜λE －A ｜＝0的全部特征根λ1，λ2，…，λr ；（2）求相应的特征向量，对每个特征值λi （i ＝1，2，…，r ），求齐次线性方程组（λi E－A）λ=0的基础解系. 可以看出如果矩阵的阶数较高时，计算特征值和基础解系是相当困难的，因此，定义法只可以适用于阶数较低的矩阵来解得特征向量.

对于在实际决策中应用较广泛的一类矩阵———正互反阵，下面介绍三种简便的近似方法计算此类矩阵的特征根和特征向量.

方法一和法

1.769+0.974+0.268

特征根λ=1（Aw ）i =1=

i ＝1i 3.009. 因此，运用和法计算的特征向量w ＝（0．587，0．324，0．089）T ，特征根为λ=3.009. 而通过精确计算，可以得到特征向量w ＝（0. 588，0．322，0．090）T ，特征根为λ=3.010. 两者相比，相差很小.

方法二根法.

w =a ；a．将A 的每一列向量归一化得

ij

i =1

n

Σa

n

ij

1

w ij 按行求积并开n 次方，即 w i =b．对

w i 归一化w i ＝c．将

w 0仪

n

ij

j ＝1

；

w i

i ＝1

w Σ

i

，w ＝（w 1，w 2，…，w n ）T ；

i

w ij =a．将A 的每一列向量归一化得

i =1

Σa

a ij

ij

；

d．计算λ=1

i ＝1

）

Σ（Aw

i

0ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ

n

，作为最大特征根的近似值.

w ij 按行求和得 w i ＝Σ w ij ；b．对

w i 归一化w i ＝c．将

n

w i

i ＝1

i ＝1

w Σ

，w ＝（w 1，w 2，…，w n ）T ；

i

d．计算λ=1

i ＝1

Σ

n

（Aw ）i ，作为最大特征根的近似值

．

i

这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值，作为A 的特征向量. 因为当A 为一致阵时，它的每一列向量都是特征向量，所以若A 的不一致性不严重，则取A 的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的.

ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ

例1运用和法求矩阵A =

11126

1411ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ

的特征值和

126ΣΣ

Σ

114ΣΣ

ΣΣ例2运用根法计算A =的特征值与特征向量. ΣΣ

111Σ

ΣΣ

Σ

Σ0

26ΣΣ1ΣΣ

ΣΣ0.60.6150.545Σ114ΣΣΣ

Σ列向量归一化0.3解A =Σ0.3080.364Σ

ΣΣ

Σ111Σ0.10.0770.091ΣΣ

ΣΣ

ΣΣ0.2010.5860.587

按行求积0.034开3次方0.324归一化0.324=w ；

0.00070.0890.0891.769Aw =0.974

0.268

00

00000

）

Σ（Aw

n

特征向量.

1211

解A =111.760

按行求和0.972

0.2680

2Σ1Σ

ΣΣ11ΣAw =ΣΣ

1Σ1ΣΣ

ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ

00000000

0.6

列向量归一化0.3

0.114

0.587

归一化0.324=w ；

0.089

ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ

6

ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ

0.6150.3080.0770.5450.3640.091

1.769+0.974+0.268=1

i ＝1i

特征向量w =（0.5870.3240.089）T . 方法三幂法.

a．任取n 维归一化初始向量w （0）；λ=1

w （k＋1）＝A w （k ），k ＝0，1，2，…；b．计算

w （k＋1）归一化，即令w (k +1)=c．

=3.009. 0

w （k＋1）

i =1

w Σ

n

；

i

（k＋1）

6

4

1

0.5871.769

0.324=0.974. 0.0890.268

d．对于预先给定的精度ε，当｜w i （k ＋1）－w i （k ）｜＜ε（i ＝1，2，…，n ）

时，w （k＋1）即为所求的特征向量，否则返回b ；

e．计算特征根λ=1

i ＝1

Σw

n

i （k＋1）

i

（）

.

（下转83页）

2x ＋y ≤60，

（2）40≤x ≤50，

y ≥0，且x ，y 是非负整数.

我们要在区域（1）和（2）上选点，使s ＝3x ＋2．6y 取得最大值.

∵s ＝3x ＋2．6y 可变形为y ＝s -3x ，代入x ＋y ≤60

得2．6x ＋s －3x ≤60×2．6.

∴s ≤0．4x ＋60×2．6，

∴s 最大＝0．4×40＋60×2．6＝172（千元）.

答：生产甲产品40套，生产乙产品20套时，工厂的月产值最大为172千元.

四、借助函数解几何问题

例4如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在圆上，且CD ∥AB ，若AB ＝10，求梯形ABCD 周长的最大值.

分析对几何极值问题，建立变量之间的函数关系是一种有效的解决途径. （上接81页）

≥

解设AD ＝x ，梯形ABCD 的周长为y ，连BD ，作DE ⊥AB．则由AB 为直径易

C D

知△ABC～△DEB ，从而AD 2＝

AE ×AB，即AE ＝1x 2.

于是CD ＝AB －2AE ＝10－1x 2.

A B

∴y ＝AB ＋2AD ＋CD ＝－1x 2＋2x ＋20＝－1（x －5）2＋25.

注意到0﹤x ﹤5姨，易知x ＝5时梯形ABCD 的周长

取得最大值25.

综上，可知几何方法直观、形象，代数方法解答过程严密、规范、思路清晰. 我们在解决有关问题时，见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系. 数形结合思想方法体现了思路的灵活、过程的简便、方法的多样化. 它为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性、创造性的思维品质得到了更大程度的发挥.

例3运用幂法求矩阵A =

1116

2614114

的特征值与

11

w （4) =Aw （3）=16

2614114

特征向量.

解a．任取w （0）=（100）T ；

归一化， w （4) =

w （4）

i ＝1

1

1

（1）（0） b．w =Aw =1

21

64

11

100

w （1）归一化，即w （1）＝

w （1）

i ＝1

w i （1）Σ

1

1=；

10．6

＝0．3；不满足

0．1

ΣΣ

w i （4）Σ

3

0．585

=0．325，满足条件（1）；0．089

Σ

Σ Σ

0．5851．7690．325=0．974；0．0890．268

0．585

所以w （4）=0．325为所求特征向量；特征根

0．089λ=1

i ＝1

Σ

i

Σw

3

i （4）

=11.768+0.973+0.268

=3.010. Σ

（1）｜wi （1）－w i （0）｜＜ε（i ＝1，2，3）；

26 1

0．61．8 1

14

0．3；w （2）=Aw （1）= 1=

111 0．10．275

0．585

w （2）（2）

归一化，即w =3=0．325，不满足条件（1）；

0．089w i （2）Σ

Σ Σ Σ

比较上面的三种方法，不难发现和法是最为简便的，

且精确度较高. 和法和根法都是采用平均值来计算特征向量，只是和法是求列向量的算术平均值，而根法是求几何平均值. 幂法是求最大特征根对应特征向量的迭代方法. 三种方法都比定义法计算高阶矩阵特征向量简便得多，是正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法.

【参考文献】

［1］姜启源，谢金星，叶俊．数据模型（3版）［M ］，北京：高等教育出版社，2003．

［2］施劲松，刘剑平．矩阵特征值、特征向量的确定［J ］．大学数学，2003（06）．

［3］熊凯俊，李丽萍．矩阵多项式特征值、特征向量的简单求法［J ］．科协论坛（下半月），2008（02）．

［4］杨兴东．2n 阶矩阵特征值与特征向量的分块计算［J ］．徐州师范大学学报（自然科学版），1993（01）．

［5］陈攀峰．矩阵特征问题的计算方法［J ］．宿州师专学报，2003（01）．

［6］阚永志，周绍华．谈秩为1的方阵的特征值的求法［J ］．辽宁工学院学报，2005（04）．

i ＝1

11

（3）（2） w =Aw =1

2614

11归一化，w

（3）

=

w （3)

i ＝1

w i （3）Σ

0．585

=0．325，不满足条件（1）；

0．089

Σ

Σ Σ

0．5851．7690．325=0．974；0．0890．268