二次函数面积和周长最值问题

二次函数面积和周长最值问题

15、[淮南市洞山中学第四次质量检测，21,12分]（本题12分）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A （1，0）、

B （5，0）、C （0，5）三点。 （1）求这个二次函数的解析式；

（2）过点C 的直线y =kx +b 与这个二次函数的图象相交于点E （4, m ），请求出△CBE 的面积S 的值。

y

16、（2012

0) 三点. (1)求抛物线的解析式；(3分)

(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 求出S 的最大值；(4分)

(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y =－x 形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.(3分)

25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a ＜0）与双曲线y=

k

x

2，2），点B 在第四象限内，过点B 作直线BC∥x轴，点C 为直线BC 与抛物线的另一交点，已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC与△ABE的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？

若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（山东省临沂市）如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA

2. 如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=-2x +12的图象相交于点A ，动点E 从O 点出发，沿OA 方

向以每秒1个单位的速度运动，作EF ∥y 轴与直线BC 交于点F ，以EF 为一边向x 轴负方向作正方形EFMN ，设正方形EFMN 与△AOC 的重叠部分的面积为S.

（1）求点A 的坐标； （2）求过A 、B 、O 三点的抛物线的顶点P 的坐标； （3）当点E 在线段OA 上运动时，求出S 与运动时间t （秒）的函数表达式； （4）在（3）的条件下，t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？此时（2）中的 抛物线的顶点P 是否在直线EF 上，请说明理由.

-2

y B

O

1

A

x

11. 如图12-2，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式；

（2） 求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；

（3） 设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，

9

使S △P AB =S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．

8

图12-2

6. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，OA=4,AO=2OC，且抛物线对称轴为直线x =-3

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)已知矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在AC 、BC 上，设OD=m，矩形DEFG 的面积为S ，当矩形DEFG 的面积S 取得最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM =

2

DF ，求出此时点M 的坐标。 5

(3)若点Q 是抛物线上一点，且横坐标为-4，点P 是y 轴上一点，是否存在这样的点P ，使得 BPQ 是直角三角形，如果存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

7. （一中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =-x +3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y =mx 2+nx +3经过点A 和点（2，3），与x 轴的另一交点为C.

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若点P 是x 轴下方的抛物线上一点，且△ACP 的面积为10，求P 点坐标； （3）若点D 为抛物线上AB 段上的一动点（点D 不与A ，B 重合），过点D 作DE ⊥x 轴交x 轴于F ，交线段AB 于点E. 是否存在点D ，使得四边形BDEO 为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点D 的坐标；若不存在，请通过计算说明理由.

x

26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，3），△AOB

的面积是3.

（1）求点B 的坐标；

（2）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△AOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在（2）中x 轴下方的抛物线上是否存在一点P ，过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，线段OD 把△AOB 分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD 面积比为2 : 3？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

8. （一中）如图，在Rt △ABO 中，OB=8,tan∠OBA=

3

. 若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面4

2

直角坐标系，点C 在x 轴负半轴上，且OB ＝4OC. 若抛物线y =ax +bx +c 经过点A 、B 、C .

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为P ，求四边形OAPB 的面积；

（3）有两动点M,N 同时从点O 出发，其中点M 以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB 按O →A →B 的路线运动，点N 以

每秒4个单位长度的速度沿折线按O →B →A 的路线运动，当M 、N 两点相遇时，它们都停止运动. 设M 、N 同时从点O 出发t 秒时，△OMN 的面积为S .

①请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ②判断在①的过程中,t 为何值时，△OMN 的面积最大？

10. （一中）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－4，0），点N 的坐标为（－3，－2）, 直角梯形OMNH 关于原点O 的中心对称图形是直角梯形OABC ，（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （1）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；

（2）在直角梯形OABC 中，截取BE=AF=OG=m(m＞0) ，且E ，F ，G 分别在线段BA ，AO ，OC 上，求四边形的面积．．．BEFG ．．．．．．．S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值? 若存在，请求出这个最小值；若

不存在，请说明理由；

（3）在（2）的情况下，是否存在BG ∥EF 的情况，若存在，请求出相应m 的值，若不存在，说明理由．

11．（南开）如图，已知直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于A 、C 两点，抛物线

y=-2x+bx+c (a≠0) 经过点A 、C.

（1）求抛物线的解析式;

（2）设抛物线的顶点为P ，在抛物线上存在点Q ，使△ABQ 的面积等于△APC 面积的4倍. 求出点Q 的坐标;

（3）点M 是直线y=-2x+4上的动点，过点M 作ME 垂直x 轴于点E ，在y 轴（原点除外）上是否存在点F ，使△MEF 为

等腰直角三角形? 若存在, 求出点F 的坐标及对应的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 2

12. （一中）矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示, A、C 两点的坐标分别为A(6,0), C(0, 2), 直线y =与BC 相交于D.

(1) 求点D 的坐标;

(2) 若抛物线y =ax +bx 经过D 、A 两点, 试确定此抛物线的解析式;

2

1x 2

(3) P 为x 轴上方(2)中抛物线上一点, 求∆POA 面积的最大值;

(4) 设(2)中抛物线的对称轴与OD 交于点M, 点Q 为对称轴上一动点, 以Q 、O 、M 为顶点的三角形与∆OCD 相似,

求符合条件的Q 点的坐标.

4、（2009年重庆市江津区）如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0) 两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值. 若没有，请说明理由.

14. （一中）如图，已知抛物线y =a x 2+b x +c 经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3) 三点，连接AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.

（1） 求这条抛物线的函数关系式.

（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 同时出发, 以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着线段AB 向B 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ≤2) ，△PQA 的面积记为S.

① 求S 与t 的函数关系式；

② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；

（3）是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形? 若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.

26、已知二次函数y =(x -1) -4的图象如图所示.

（1）求抛物线与x 轴交点A 、B 的坐标（点A 在点B 的左侧），及与y 轴的交点C 的坐标； （2）设抛物线的顶点为点D ，求∆BCD 的面积S ；

（3）在抛物线上是否存在点E ，使以A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点E 的坐标，并说明

理由；若不存在，请说明理由。

2

2. （2010年广州中考数学模拟试题(四) ）关于x 的二次函数y ＝－x 2＋(k2－4)x ＋2k －2以y 轴为对称轴，且与y 轴的

交点在x 轴上方．

(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；

(2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过D 点作DC 垂直x 轴于点C, 得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；

(3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说

第2题图

25．如图，抛物线y =

12

x +bx +c 与直线l :y =kx +m 交于A (4,2),B (0,-1) 两点。 2

(1)求抛物线与直线的解析式；

(2)若点D 是直线，下方抛物线上的一动点，过点D 作DE//y

轴交直线l 于点E ，求DE 的最大值，并求出此时D 点的坐标；

(3)在(2)的条件下，DE 取最大值时，点P 在直线AB 上，平面内是否存在点Q ，使得以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形? 若存在直接写出Q 点坐标，若不存在说明理由．

25、如图，抛物线y =ax +bx +2与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴为直线x =1.5，

2

点M 为线段AB 上一点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于P ，交过点A 的直线y =-x +n 于点C 。 （1）求直线AC 及抛物线的解析式；

（2）M 位于线段AB 的什么位置时，PC 最长，并求出此时P 点的坐标； （3）若在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点Q ，使

S ∆A B Q =

2S ∆3

A P ，求点B

Q 的坐标。

26．已知如图1，抛物线y =-

323

x -x +3与x 轴交于A 和B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，点D 84

的坐标是（0，-1），连接BC 、AC . （1）求出直线AD 的解析式；

（2）如图2，若在直线AC 上方的抛物线上有一点F ，当∆

ADF 的面积最大时，有一线段MN =M 在点

N 的左侧）在直线BD 上移动，首尾顺次连接点A 、M 、N 、F 构成四边形AMNF ，请求出四边形AMNF 的周

长最小时点N 的横坐标；

（3）如图3，将∆DBC 绕点D 逆时针旋转α（0

直线AC 交于点P ，直线B 'C '与直线DC 交于点Q ，当∆CPQ 是等腰三角形时，求CP 的值.

′

′

图1 图2

（第26题图）

图3

25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线-x -

2

791

x +与直线y =x +b 交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上，点P 222

是直线AB 上方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合) ，连接PA 、PB 。

(1)求直线的解析式及A 、B 两点的坐标；

(2)过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点C ，当线段PC 最大时，求此时点C 的坐标及PC 的最大值：

(3)当∠PAB=90°时，求此时点P 的坐标。

2

25． 如图，二次函数y =ax +bx -3的图象与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），一次函数y =mx +n 的

a t 图象经过点B 和二次函数图象上另一点A . 点A 的坐标（4 ，3），n ∠ABC =

1

. 2

（1）求二次函数函数和一次函数解析式；

（2）若抛物线上的点P 在第四象限内，求∆ABP 面积S

（3）若点M 在直线AB 上，且与点A 的距离是到x 轴距离的求点M 的坐标.

5

2

25. 如图，抛物线y=ax2+ bx +2与z 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为（-1,0），抛物线的对称轴为直线x=

3

，点M 为线2

段AB 上一点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于P ，交过点A 的直线y= -x+n于点C ． (1)求直线AC 及抛物线的解析式； (2)着PM=3，求PC 的长；

(3)过P 作PQ ∥X 轴交抛物线于点Q ，过Q 作QN 垂直x 轴子N ，若点P 在Q 左侧，矩形PMNQ 的周长记为d ， 求d 的最大值．

2

26．如图l ，抛物线y =ax +bx -3交x 轴于B 、C 两点，且B 的坐标为(-2，0) ，直线y =mx +n 过

点B 和抛物线上另一点A(4，3) ． (1)求抛物线和直线的解析式；

(2)若点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，过P 作PQ ∥x 轴。且PQ=4(点Q 在点P 右侧) ，以PQ 为一边作矩形PQEF ，且点E 在直线AB 上。求矩形PQEF 周长的最大值，并求 出此时点P 的坐标；

(3)如图2，在(2)的结论下，连接AP 、BP ，设QE 交x 轴于点D ，现将矩形PQEF 沿射线DB

以每秒1个单位长度的速度平移，当点D 到达点B 时停止。记平移时间为t ，平移后的矩形

PQEF

为P ' Q ' E ' F ' ，且Q ' E ' 分别交直线AB 、x 轴于N 、D ' ，设矩形P ' Q ' E ' F ' 与∆ABP 的重叠部分 面积为s . 当NA =8ND ' 时，求s 的值．