悬索桥的计算方法及其历程1

悬索桥的计算方法及其发展

悬索桥是一种古老的桥梁结构形式，也是目前大跨度桥梁的主

要结构型式之一。悬索桥主要是由缆索、吊杆、加劲梁、主塔、锚碇等构成。从结构形式上看，它是一种由索和梁所构成的组合体系，在受力本质上它是一种以柔性索为主要承重构件的悬挂结构。悬索桥随着跨度的增大，柔性加大，在荷载作用下会呈现出较强的非线

性，所以悬索桥宜采用非线性方法来进行结构分析 。

考虑悬索桥非线性因素的结构分析方法主要有挠度理论和有限

位移理论。挠度理论考虑 了悬索桥几何非线性的主要因素，可用比较简便的数值方法来分析，又有影响线可资利用，故很适用于初步设计阶段的结构设计计算。有限位移理论则全面地考虑了悬索桥几何非线性因素，计算结果较挠度理论精确，但计算过程复杂，直接用于设计计算有诸多不便和困难。

悬索桥挠度理论是一种古典的悬索桥结构分析理论。这种理论

主要考虑悬索和加劲梁变形对结构内力的影响，在中小跨度范围内其计算结果比较接近结构的实际受力情况，具有较好的精度。悬索

桥挠度理论主要分为多塔悬索桥挠度理论和自锚式悬索桥挠度理论。 最初的悬索桥分析理论是弹性理论。弹性理论认为缆索完全柔性，缆索曲线形状及坐标取决于满跨均布荷载而不随外荷载的加载而变化，吊杆受力后也不伸长，加劲梁在无活载时处于无应力状态。弹性理论用普通结构力学方法即可求解，计算简便，至今仍在跨径小于200米的悬索桥设计中应用[1]。但弹性理论假定缆索形状在加载前后不发生变化，显然与悬索桥的可挠性不符，因此发展出计入变形影响的悬索桥挠度理论。

古典的挠度理论称为“膜理论”。它是将悬索桥的全部近视看成是一种连续的不变形的膜，当缆索产生挠度时，加劲梁也随之产生相同的挠度。由于根据作用于缆索单元上吊杆力与缆索拉力的垂直分力平衡以及作用于加劲梁单元上的外荷载及吊杆力与加劲梁弹性抗力平衡的条件建立力的平衡微分方程而求解。挠度理论和弹性理论的最大区别是摒弃了弹性理论中关于缆索形状不因外荷载介入而改变的假设，相应建立缆索在恒载下取得平衡的几何形状将因外荷载介入而改变及同时计入缆索因外荷载所增索力引起的伸长量的假设，极大的接近悬索桥主索的实际工作状态，对悬索桥的发展起到了很大的推动作用。

悬索桥的挠度理论也是一种非线性的分析方法，至今仍不失为分析悬索桥的较简单实用的手段。但挠度理论在基本假设中忽略了吊杆的变位影响及加劲梁的剪切变形影响等，使分析结果的精度受到限制。随着计算方法、计算手段的发展，悬索桥的计算理论也发展到将悬索桥作为大位移构架来分析的有限位移理论。有限位移理论将整个悬索桥包括缆索、吊杆、索塔、加劲梁全部考虑在内，分析时可以将各种二次影响包括进去，从而使悬索桥的分析精度达到新的水平。

有限位移理论是20世纪60年代提出的计算理论。它是一种精确的理论，不需挠度理论所作的那些假定。其计算值一般要小于挠度理论[3]。根据参考文献，主跨为380m 时，用有限位移理论计算的内力、挠度值，比挠度理论小10﹪；主跨768m 时，在半跨加均

布荷载的情况下，主跨四分点弯矩的绝对值，用有限位移理论计算值比挠度理论小26﹪. 因此，在大跨径悬索桥（例如大于600m ）的施工图设计中，有必要用有限位移理论进行计算。有限位移理论采用可考虑几何大变行的矩阵分析法求解。在刚度矩阵中，既考虑了节点坐标在加载过程中变化所产生的几何非线性影响，又用主缆在恒载下产生的初始轴向力，对刚度矩阵进行修正。至于缆索中的E 值，应按Ernst 公式取用[4]。具体的计算方法请参见参考文献。有限位移理论适用于带斜吊杆的悬索桥。对于一般的特大跨径悬索桥，可先用线性挠度理论法求的最不利和在位置，然后用有限位移理论计算最终的内力和挠度。把挠度理论于有限位移理论结合使用，既可节省机时，加快设计速度，又可提高设计精度。

悬索桥随着跨度的增大, 柔性加大, 在荷载作用下会呈较强的非线性, 所以悬索桥宜采用非线性方法来进行结构分析。考虑悬索桥非线性因素的结构分析方法主要有挠度理论和有限位移理论。挠度理论考虑了悬索桥几何非线性的主要因素, 可用比较简便的数值方法来分析, 又有影响线可资利用, 故很适用于初步设计阶段的结构设计计算。有限位移理论则全面地考虑了悬索桥几何非线性因素, 计算结果较挠度理论精确, 但计算过程复杂, 直接用于设计计算有诸多不便和困难。本文利用挠度理论提出了悬索桥结构设计的实用计算方法, 可简捷、有效地确定出悬索桥各部分的结构尺寸。

挠度理论较弹性理论前进了一大步，但也还存在一些缺陷：

（1）忽略了吊杆的倾斜与伸长、节点的水平位移、加劲梁剪切

变形的影响，使计算结果一般偏大。跨径越大，误差也越大。因此，在跨径超过600M 时，还亦同时用有限位移理论进行计算。

（2）不能用于带斜吊杆悬索桥的分析计算。

1、悬索桥挠度理论

挠度理论是一种古典的悬索桥结构分析理论。19世纪80年代，提出了挠度理论，首次在Mahattan 桥设计中应用。和弹性理论不同，挠度理论考虑了恒载作用下主缆处内力对刚度的影响，以及活载作用下位移的非线性影响，使加劲梁的计算内力急挠度减小了很多。大体上400～500M 的悬索桥，主跨跨中的弯矩减小35％以上；半跨均布荷载时，挠度减小50％以上。直至目前，仍是应用最广的方法。这种理论主要考虑悬索和加劲梁变形对结构内力的影响，在中小跨度范围内其计算结果比较接近结构的实际受力情况, 具有较好的精度。同时, 它也可以用于大跨度悬索桥的初步设计计算。

1.1挠度理论的基本假定

（1）恒载为均布。恒载在加劲梁为无应力状态，主缆呈抛物线。

（2）吊杆竖直，不考虑其因活载而引起的延伸及倾斜。

（3）不计加劲梁的剪切变形。

（4）每一跨径内加劲梁为等截面。

（5）吊杆很密，当作仅在竖直方向有弹性抗力的膜。

（6）主缆及加劲梁均仅有竖直方向的变形。

1.2挠度理论基本微分方程

在这里只考虑缆索和加劲梁竖向挠度这个主要因素, 忽略塔的变形、缆索的水平位移、吊杆的倾斜和伸长等因素的影响。在恒载(g)和活载(P(x))的作用下, 缆索的水平拉力增加, 同时它和加劲梁产生竖向挠度()。如果考虑对内力的影响, 并假定加劲梁不承担恒载, 则可推得加劲梁的挠曲微分方程为:

（1）式中:

EI ———加劲梁的竖向刚度;

———加劲梁的竖向挠度;

H ———缆索中由恒载和活载产生的水平分力和之和; y ———恒载下缆索的垂度;

p(x)———作用在加劲梁上的活载。

式(1)中和是两个相互关联的未知数, 且都为的函数, 故考虑H ″影响的二阶理论是非线性的。为求得方程的解, 必须增加一个条件, 在此以两锚固点间缆索伸长的水平投影等于0为相容条件, 则可得:

(2)式中:

, ———缆索的截面积及弹性模量;

, ———缆索的热膨胀系数及温度变化值;

———缆索的水平倾角。

式(1)和(2)为悬索桥挠度理论的两个基本方程, 联立求解此二式, 即可得到活载作用下加劲梁的挠度、弯矩、剪力及缆索水平力。

1.3挠度理论实用计算方法

挠度理论的基本方程是非线性的, 到目前为止还难以得到其精确的解析解, 因此在实际计算中都转而求其近似解。挠度理论的基本微分方程从形式上看, 悬索桥的整个结构可以用一假想的加劲梁即等代梁来代替。等代梁上作用着活载(p(x)),悬索对加劲梁的悬吊作用力

()及梁端作用轴力(H)。若将H 固定为常量时, 则式(1)变为线性方程, 对p(x)和适用叠加原理, 因而可将两个分别处理,

这样加劲梁和缆索的挠度和内力M 、Q 、都可以仿照结构力学的一阶理论来进行求解。计算时先假定H 值, 再求解出、、、、、, 则=+、M=+、Q=+。将代入式(2)即可求得值。当p(x)取为单位荷载沿加劲梁移动时, 则可得到加劲梁弯矩、剪力、挠度的影响线及缆索水平拉力()的影响线。

由于上述所求得的影响线是在假定H 为常量的情况下得到的。只有当H=+条件成立时, 才能提供准确的解, 因此这种影响线的适用性是有限的, 故称之为“狭义影响线”。为求得较精确的解, 可通改变H 值, 求出H —,H —M,H —等曲线, 由H —曲线插值得到H 后再确定其它值。在实际应用中, 通常H 值取为,+max/2,+max值, 一般用2到

3个H 值作出插值曲线, 即可得到较为满意的结果。

2、悬索桥结构设计的实用计算方法

悬索桥结构设计计算的目的是拟定出悬索桥结构各部分的截面尺寸及其几何特性值。在悬索桥的结构设计过程中, 一般都要经过初拟结构截面尺寸和估算恒载值, 进行结构分析, 改变截面尺寸和恒载值的反复计算来确定出符合设计要求的结构截面尺寸[7]。因此用有限位移理论来进行结构设计计算时, 计算工作量将相当大, 并且在计算实施上不如挠度理论简便。挠度理论考虑了主要的非线性因素, 计算结果具有一定的精度, 并且可以采用比较简便的实用计算方法来分析, 输入数据简单, 计算快捷, 因此比较适用于初步设计阶段的结构设计计算。为了能简捷、有效地进行悬索桥的结构设计, 本文以挠度理论为基础提出了一种实用计算方法。该方法的分析过程包含3部分内容:初拟和估算各结构参数、挠度理论分析、参数的改进和优化。通过初拟—分析—改进和优化过程的反复循环, 得出悬索桥结构各部分的截面尺寸和几何特性值。

2.1初拟和估算各结构参数

在桥梁的结构设计中, 经常要借鉴同类桥梁的一些成功经验来提高设计的质量和水平。对于悬索桥这一点显得尤为重要。在SID 程序中有一个基本参数的输入模块, 要求输入以下各参数拟定值:

①桥跨结构布置方式, 是单跨还是三跨;

②主跨跨长()及矢高()和边跨跨长()和矢高();

③加劲梁的宽跨比(/)和高跨比(/)及顶底板、腹板的厚度; ④吊杆间距(λ) 和中央吊杆长度();

⑤使用的荷载标准;

⑥各构件的容许应力值([σ])和容重(ρ) 及弹性模量(E)。 根据以上参数, 缆索、吊杆、加劲梁截面特性值可由以下方法初步确定。

2.1.1吊杆截面积

可以根据以下假定来确定最大吊杆内力:吊杆承受作用于长度等于吊杆间距(λ) 的加劲梁上的分布荷载(w+p)以及集中力(p)(可以等代为作用在30d 长度上的均布荷载,d 为加劲梁的高度), 由此可以得出吊杆截面积:

(6)式中:

w ———加劲梁恒载;

p ———均布活载;

P ———集中力;

λ———吊杆间距;

———吊杆容许应力。

2.1.2缆索截面积

主跨内缆索的最大内力可由下述假定来确定; 加劲梁的恒载及分布的车辆荷载在整个主跨内均布作用以及集中力作用在跨中。鉴于吊杆的恒载值通常很小, 在设计中可忽略不计, 因此主缆内的最大水平力) 为:

(7)跨中主缆截面积为:

边跨主缆截面积可按塔柱左右水平力相等的原则来确定。

(8)式中:

———主缆容重;

———主缆容许应力。

(9)式中:

———边跨主缆塔顶处的水平倾角。

2.1.3加劲梁的截面特性值

由于具有良好的气动稳定性, 自Seven 桥以后修建的大跨度悬索桥多数采用流线型加劲箱梁, 为方便计算在此将流线型箱梁简化为矩形箱形梁来分析, 如图1所示。

图1加劲梁简化截面图

截面积为(10)

惯性矩为(11)

2.2挠度理论分析

该模块以上述所拟定和估算的结构参数作为结构分析的基本参数, 用挠度理论进行影响线计算, 而后根据所选用的荷载标准进行影响线最不利位置的加载计算, 得出结构受力和变形的包络图, 以确定相对于主缆、加劲梁、塔柱的最大内力值。

2.3参数的改进和优化

根据挠度理论对初拟结构的分析结果, 可以结构各部分承载状况的合理性。如果结构的容许承载力不够或富余很多, 则需改进和优化结构的截面尺寸。在改变截面尺寸时,

依据前一步计算求得的结构最

大内力值来得出满足结构容许应力的截面几何特性值, 并以此来修正结构的截面尺寸, 为下一步试算提供结构基本参数。通过对结构截面尺寸的不断改进和优化, 直至使结构的容许承载力略微有富余时为止。

悬索桥结构设计的实用计算程序(SID),程序计算流程如图2所示：

图2(SID)程序计算流程图

3、结语

在已有方法的基础上, 本文方法完善了悬索桥的挠度理论及其计算方法, 通过影响线加载可方便地得到主缆水平力、加劲梁内力和位移、塔顶处主缆水平力差和塔顶水平位移等, 具有良好的精度, 适合于方案设计阶段结构选型时采用。当然, 挠度理论也有一定局限性, 由于吊索只能传递竖向力而不能传递因吊索倾斜引起的水平力, 因此挠度理论无法考虑加劲梁轴向刚度对主缆纵桥向的约束作用(包括中央扣和悬索桥加劲梁的纵桥向约束) 的影响，然而，即便有这些局限，挠度理论对把握悬索桥的受力特点还是很有价值的。