初中数学动点专题

动点问题

例题：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=16cm，AB=6cm，BC=24cm，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以4厘米/秒的速度向B 点运动。已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t 秒，问： （1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？

（2）在某个时刻，四边形PQCD 可能是菱形吗？为什么？ （3）t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形？

（4）在某个时刻，四边形PQCD 可能是等腰梯形吗？为什么？

我们来通过这道例题，严格按照上面所讲的步骤尝试一次看看。 1，看要素。其中点P 和Q 为动点，其余点问固定点。

点P 运动的起点为点A ，终点为点D ，方向为AD 方向，速度为1厘米/秒。 点Q 运动的起点为点C ，终点为点B ，方向为CB 方向，速度为4厘米/秒。

我们可以看到两点是相向运动，点Q 速度要快。另外大家这里要特别注意点的运动范围：点P 从A 到点D 需16s ，点Q 从点C 到点B 只需6s ，而题目中说“当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动”，所以这道题整个的运动时间最多是6s ，也就是说大家解出的答案不能大于6了，这点往往易被大家忽略，也是经常出错的地方。 2，表线段。运动时间为t ，则AP=t，CQ=4t，PD=16-t，BQ=24-4t，还可以得到AB=6，CD=10 3，列等式。这里要借助几何图形本身的性质，找出其中的等量关系来列等式。 平行四边形：对边相等。PD=CQ ，16-t=4t，t=3.2

菱形：四边都相等。

PD=CD=CQ=PQ，即t=3.2且PD=12.8，但PD=CD=10，矛盾，不可能形成菱形。

直角梯形：借助四边形APQB 是矩形，矩形对边也相等。AP=BQ，t=24-4t，t=4.8

等腰梯形：作等腰梯形的两高，底角的两个三角形全等。过点P ，D 分别向BC 作垂线，垂足为E ，F ，则QE=CF，t-(24-4t)=24-16，t=6.4

4，查结果。我们发现第四问的结果超过6了，要舍去，所以题目不可能形成等腰梯形。

动点问题常见题型：

一、建立函数解析式

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律, 和动点问题反映的是一种函数思想, 由于某一个点或某图形的有条件地运动变化, 引起未知量与已知量间的一种变化关系,

1、应用勾股定理建立函数解析式

例1：如图1, 在半径为6, 圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上, 有一个动点P,PH ⊥OA, 垂足为H, △OPH 的重心为G.

(1)当点P 在弧AB 上运动时, 线段GO 、GP 、GH 中, 有无长度保持不变的线段? 如果有, 请指出

这样的线段, 并求出相应的长度.

(2) 设PH=x，GP=y，求y 关于x 的函数解析式，并写自变量x 的取值范围（即自变量x 的取值范围).

(3)如果△PGH 是等腰三角形, 试求出线段PH 的长.

解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变, 于是线段GO 、GP 、GH

中, 有长度保持不变的线段，这条线段是GH= NH= OP=2.

图1

(3)

△

2、应用比例式建立函数解析式

例2：如图2, 在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动. 设BD=x ,CE= y. (1)如果∠BAC=30°, ∠DAE=105°, 试确定 y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α , ∠DAE 的度数为β , 当

α, β 满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解

析式还成立? 试说明理由.

解:(1)在△ABC 中, ∵AB=AC,∠BAC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°, ∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,

∴△ADB ∽△EAC, ∴ AB =BD ,

CE AC

∴

11x

=, ∴y =.

x y 1

(2)由于∠DAB+∠CAE=β-α , 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=90︒-∴90︒-

α

2

, 且函数关系式成立,

α

2

2

α1

当β-=90︒ 时, 函数解析式y = 成立.

2x

=β-α =, 整理得 β-

α

=90︒.

例3:如图3(1),在△ABC 中, ∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点, 以点O 为圆心作半圆, 与边AB 相切于点D, 交线段OC 于点E. 作EP ⊥ED, 交射线AB 于点P, 交射线CB 于点F.

(1)求证: △ADE ∽△AEP.

(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式, 并写出它的定义域.

图3(1) (3)当BF=1时, 求线段AP 的长.

解:(1)连结OD.

根据题意, 得OD ⊥AB, ∴∠ODA=90°, ∠ODA=∠DEP.

又由OD=OE,得∠ODE=∠OED. ∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP. (2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠

A ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴ OD x AD x

=, =, , , 3(2)

3545

3438

x ,AD= x . ∴AE=x +x =x . 555584x x 25AE AD 1655∵△ADE ∽△AEP, ∴ , ∴ . ∴ y =) =x (0

8AP AE 58y

x 5

∴OD=

(3)当BF=1时，

①若EP 交线段CB 的延长线于点F, 如图3，则CF=4.

∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-

85

x =4,得x = . 可求y=2 ,即AP=2. 58

②若EP 交线段CB 于点F, 如图3(2), 则CF=2. 类似①, 可得CF=CE. ∴5-

815x =2,得 x =. 58

可求得y=6 ,即AP=6.

综上所述, 当BF=1时, 线段AP 的长为2或6.

3、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4：如图4, 在△ABC 中, ∠BAC=90°

,AB=AC=

, ⊙A 的半径为1. 若点O 在BC 边上运

动(与点B 、C 不重合), 设BO= x,△AOC 的面积为 y.

(1)求y 关于 x 的函数解析式, 并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O, 求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.

解:(1)过点A 作AH ⊥BC, 垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=∴ OC=4- x.

图4 ∵S ∆AOC =

, ∴BC=4,AH= BC=2.

1

OC ⋅AH , ∴y =-x +4 (0

7. 6

(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,

222

在Rt △AOH 中,OA=x +1,OH=2-x , ∴(x +1) =2+(2-x ) . 解得x =

此时, △AOC 的面积y =4-②当⊙O 与⊙A 内切时,

717=. 66

7. 2

222

在Rt △AOH 中,OA=x -1,OH=x -2, ∴(x -1) =2+(x -2) . 解得x =

此时, △AOC 的面积y =4-

71=. 22

171或. 26

综上所述, 当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积为

二：动态几何题

动态几何特点----问题背景是特殊图形，（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

点动问题．

如图5，△ABC 中，AB=AC=10，

BC=12

，点D 在边BC 上，且BD=4，以点D 为顶点作∠EDF=∠B ，分别交边AB 于点E ，交AC 或延长线于点F ．

（1）当AE=6时，求AF 的长；

（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长；

（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长．

[题型背景和区分度测量点] 图5

CF CD

= ，代入数据得CF =8，∴AF=2 BD BE

32

（2） 设BE=x , 则d =AC =10, AE =10-x , 利用（1）的方法CF =，

x

32

相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，10=10-x +，x =42；

x

解：（1） 证明∆CDF ∽∆EBD ∴内切，10=-x -

32

，x =10±2． 0

∴当⊙C 和⊙A 相切时，BE 的长为42或10-2． （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，BE = 习题：

1. 如图，已知点F 的坐标为（3，0），点A 、B 分别是某函数图像与x 轴、y 轴的交点，点P 是此图像上的一动点，设点P 的横坐标为x ，PF 的长为d ，且d 与x 之间满足关系：d=5－x(0≤x ≤5) ，则结论：① AF= 2 ② BF=4 ③ OA=5 ④

53

20

． 3

OB=3，正确结论的序号是 A ．①②③ B ①③ C．①②④ D．③④

所用到的相关知识点：勾股定理

解题思路：获得该曲线的解析式即可得到所有的答案。

所谓的解析式就是曲线上的某一点的y 值与x 值之间的关系。 解析式：

1) 当P 点的x 值小于OF 时，则P 点解析式：y 2=d2-(3-x)2

8

2

2

y =(8-5 x )(2-

5 点坐标是（

0，

4）

勾股数3,4,5)

因此A 、C 排除。

2) 当P 点的x 值大于OF 时，则P 点解析式：y 2=d2-(x-3)2

25

y 2 =(2+

x )(8-5 点坐标是（5,0），AF=5-3=2

因此D 排除 因此答案是B.

2. 一电工沿着如图所示的梯子NL 往上爬，当他爬到中点M 处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点M 的坐标为（x ，y ）（x>0）, 则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是

L

M

N

A ． B． C． D ．

所用到的相关知识点：勾股定理、相似三角形。 想办法找到y 和x 之间的关系式

解题思路：获得该曲线的解析式，根据解析式判断图形的样子。

设：梯子的长度是L. 从M 点做轴的垂线。因为M 点是中点，所以ON=2x; 解析式：y 2=(错误！未找到引用源。) 2 -x 2

从解析式看，只有图形A 是正确的。

3．如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是

CD 的中点，点P 在矩形的边上沿

A →B →C →M 运动，则△APM 的面积y 与点P

经过的路程x 之间的函数关系用图象

表示大致是下图中的

A

．

C ．

B ． D C

P

A B

D ．

所用到的相关知识点：勾股定理，三角形面积公式。 想办法找到△APM 和x 之间的关系式

解题思路：分段获得△APM 与x 的解析式，根据解析式判断图形的样子。

ADM=1/4 矩形ABCD; 只要得到APB 和PCM 的面积，即可求出APM 的面积。 或者直接求出APM 的面积。 分段：

第一段：P 在AB 线段上移动，则APM=y=

*2*x=x

排除了B 、C

第二段：P 在BC 段移动，则 APM=y=2*1— 错误！未找到引用源。 — 引用源。*1*(x-1)— 错误！未找到引用源。*错误！未找到引用源。*（3-x ）=错误！未找到引用源。 - 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。x 排除了B

第三段：：P 在BC 段移动，则APM=y=错误！未找到引用源。*（）*2=3.5-x 答案是A

4. 如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一 动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 设AP =x , △PBE 的面积为y . 则能够正确反映之间的函数关系的图象是

所用到的相关知识点：勾股定理 想办法找到PBE 和x 之间的关系式

解题思路：从P 点做AB 的垂线，交与O 点。则PBE 的高=1-错误！未找到引用源。x ；因为PBE 是等腰三角形，所以BE=2*错误！未找到引用源。x

PBE=错误！未找到引用源。*2*

x*

（1-

x

）

PBE=错误！

未找到引用源。x-错误！未找到引用源。x 2 这是个抛物线方程，故选A.

1

5. 如图，在平面直角坐标系中，两个函数y =x , y =-x +6的图象交于点A . 动

2

点P 从点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PQMN ，设它与△OAB 重叠部分的面积为S . （1）求点A 的坐标.

（2）试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动时间t （秒）的关系式.

（3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.

所用到的相关知识点：勾股定理、二元一次方程

关键要明白正方形PQMN 和△OAB 重叠部分的面积为S . 什么时候为正方形，什么时候为长方形。

1）A 点处，两条直线的x 、y 值相等； x= - 错误！未找到引用源。x +6 x=4 2) 线段PQ 与直线的交点，y 值相等。x +6 –x=6-1错误！未找到引用源。x PQx

222

S 与t 的关系，亦即x 与t 的关系: x +x=(1*t)x=错误！未找到引用源。 t 带入上式：

当PQ 长度大于x 时，则S=（6-1错误！未找到引用源。x ）*x ; S=（6-1错误！

未找到引用源。*错误！未找到引用源。 t ）*错误！未找到引用源。 t;

当PQ 长度小于x 时，则S=（6-1错误！未找到引用源。x ）* （6-1错误！未找到引用源。x ） S= （6-1错误！未找到引用源。*

t ）

2

当PQ

长度等于x

时，则（

6-1

x ）=x x= S=错误！未找到引用源。*

3)S 有最大值。即当PQ=x时，亦即t=

时，Smax=错误！未找到引用源。144/25

6. 如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC , O 为坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴正半轴上，点B 坐标为（2，2），∠BCO = 60°，OH ⊥BC 于点H . 动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度. 设点P 运动的时间为t 秒. （1）求OH 的长；

（2）若∆OPQ 的面积为S （平方单位）. 求S 与t 之

∆OPQ 的面积最大，间的函数关系式. 并求t 为何值时，

最大值是多少？

所用到的相关知识点：勾股定理、等边、等腰三角形的特征、2个动点。

关键点：点B 坐标为（2，23），∠BCO = 60°；S 的面积的求法。

1）通过B 点的坐标知道，∠ABO=60∠OBC=60三角形OBC 为等边三角形； 2) 从P 点做x 轴的垂线交于N 点，则∆OPQ 的面积为S =SOQPN -S OPN

因为∠POC=30PN= (2-t) ; ON=

(2-t) ;

S OQPN=

(OQ+PN)*ON= [1*t+ (2-t)]* (2-t);

S OPN=ON*PN=* (2-t)*

*

(2-t)*t = *（2t-t

）

2

= *[1-(t-1)]

2

当t=1时，S 面积最大。S= *

，AD =3，DC =5，AB =B =45︒．1. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC 动点

M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点

C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位

长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．

（1）求BC 的长．

从A 和D 做BC 的垂线A ’和D ’。则BA ’=4；D ’C=3

BC=4+3+3=10 （2）当MN ∥AB 时，求t 的值．

（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．

C

②t=25／8时，MN=CN

3、如图，已知△ABC 中，AB =AC =10厘米，BC =8厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；

全等的概念是角度和边长都相同。

两个三角形中∠DBP=∠PCQ;BD=PC(8-3*1);BP=CQ 所以，两个三角形全等。

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？

设Q 的速度为v, 要使两个三角形全等，则需要满足下列条件：

v=15/4厘米/秒

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

追击问题

3

4、直线y =-x +6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，

4同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．

（1）直接写出A 、B 两点的坐标；

A(8，0) B(0，6)

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；

所用的知识：勾股定理，距离、速度、时间关系式，相似三角形。注意所给的

数字的相关性;

解题思路：要找到P 的运动速度，分段列式；

由问1得知，AB=10

P 速度=（10+6

）/8=2 P 在OB 段运动时：S= (1*t)*(2*t)=t2

P 在AB 段运动时,BP=2t-OB=2t-6;则P 点的坐标是： 横坐标=OA*BP/AB=0.8(2t-6) 纵坐标=OB*BP/AB=0.6(2t-6)

S= (1*t)* 0.6*(2t-6)=0.3 *(2t-6)t

4. 有一根直尺的短边长2㎝，长边长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm.. 如图12，将直尺的短边DE

放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合. 将直尺沿AB 方向平移(如图13) ，设平移的长度为xcm(0≤x ≤10) ，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分) 的面积为S ㎝2.

(1)当x=0时(如图12) ，；当x = 10时，S =(2) 当0＜x ≤4时(如图13) ，求S 关于x 的函数关系式；

A 2) (D) (图12)

S=(x+x+2)*2/2=2x+2 (0＜x ≤4)

B