极坐标计算二重积分

极坐标计算二重积分

一般分为两种方法，即先对求，再对求积分，和先对求，再对求积分。一、先对求，再对

求积分

先在[,]上选取一个固定的1()穿进积分域，从

2()穿出。即1()2()，得的范围为[,]。则

f(cos,sin)dd

D





2()cos,sin)dd

几种积分区域的情况

(1)

.

1()2()







d

2()

1()

f(cos,sin)d

(2).

02()









d

2()

f(cos,sin)d

(3).

.

02

0(2

d0

f(cos,sin)d

关键是定出1()和2()的表达式。

则的范围是()，同时注意将直角坐标下的方程，转化

例题1.在伋坐标下把二重积分化为先对r再对的累次积分，区域Ｄ为

D:{(x,y)|Rxx2y2R2}，f在Ｄ上连续。如图：



从rR时，

22

入积分域，从rR即R

cos当0进入积2分域，从

rR当

f(x,y)dD

)dr

322

drf(x,y)dr

R

注意：在不同的取值范围内，将二重积分在极坐标下化为先对1.先确定的范围是[0,2]。一般的范2.1()，2()[,]上确定一角度，以此角度从极点引一条线，1()，穿出时，2()，需注意，在不同范围内，1()与2()的表达式r与的范围，则二重积分就很容易写出：

f(rcos,rsin)rdrd

D

2

1

d

2()

1()

f(rcos,rsin)rdr

n

d

2

33()

2()

f(rcos,rsin)rdr...

n1

d

2()

1()

f(rcos,rsin)rdr

上述公式用于需分区的情况







d

2()



1()

f(rcos,rsin)rdr（此公式用于不需要分区域的情况）

二、先对后对r积分如图：

先在[a,b]上选取一个固定的r值，在此积分区域内，从

1()进入积分区域，从2()

出来，1()2()而r[a,b]

b2()

则f(cos,sin)ddf(cos,)dd

a1()D

例2，在极坐标下把二重积分f(x,，再对r的累次积分，

D

积分区域Ｄ为：D{(x,y)|0xy1}。

解：由下图知，当0r1时，从0进入



积分区域，从出积分区

2

域，即0

2

当1r时，从

1

arccos进入积分区域，从

r1

arcsin出积分区域。

r11

即arccos

arcsin

rr

于是：

f(x,y)ddr

D

1



20

rf(rcos,rsin)d



1

1r1arccos

rarcsin

rf(rcos,rsin)d