全等三角形中的常见辅助线

全等三角形中的常见辅助线

一、目的性的辅助线 【知识整理】

用“全等三角形的方法”证明两条线段、或角相等、或线段的和差倍分。

（1）作辅助线的目的是构建两个全等的三角形，构建的两个三角形要尽量与要证明的线段有直接或间接的关系。

（2）辅助线的常用画法：①连接，②作平行，③作垂直，④截取，⑤延长相交，⑥延长截取。 【基本题型】

1. 已知：AB ∥CD ，AD ∥BC 。 求证：AB ＝CD

2. 如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上， E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ， DE 与BC 交于点F ． 求证：DF=EF．

A D

A D

B

F

E

B

F

E

3、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°， BC=CD，CE⊥AD，垂足为E ， 求证：AE=CE．

4. 如图，在等边△ ABC 中，延长AB 到D ， 使BD=AB，取AB 的中点E ，连接CD 和CE.

求证：CD=2CE

【截长法：证明某两条线段的和或差

等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取 一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等 或相似证明余下的等于另一条线段即可】 【补短法：证明某两条线段的和或差

等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延

长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的 线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等 于那一条长线段即可】

5. 如图，△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2。 求证：AB ＝AC ＋CD

A

A

D

A

D

B

A

A

11B

D

C

B

D

C

二、探究性的常作辅助线

1. 角平分线：（1）作角的两边的垂线，使用“角平分线的点到角两边的距离相等” （2）作一边的平行线，使用“平行线的性质、等腰三角形的性质” （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

例：已知：△ABC 的∠B 、∠C 的外角平分线交于点P 。 求证：AP 平分∠BAC

A

2. 中垂线：作辅助线构建“中垂线的基本图案”，使用“线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”

3. 等腰三角形：（1）作辅助线构建“三线合一”

（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60

4. 三角形的中线（或中点）：倍长中线（中点），使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形。

A

例：如图，已知△ABC 中，AD 是△ABC 的中线， AB=8，AC=6，求AD 的取值范围

辅助线：【倍长中线：题目中如果出现了三角形的 中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结， 便可得到全等三角形。】 5. 有30

B

D

C

,600,450的角，作辅助线构建直角三角形。使用“直角三角形中，300所对的边是斜边

的一半”、“等腰直角三角形的性质”、“勾股定理” 例：如图, 梯形ABCD 中，∠A =∠ABC =90

AD ∥BC, ∠EBC =30, 求证：点E 是CD 的中点。

三、按基本图形添辅助线：

A

D E

B

C

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

（1）等腰三角形是个简单的基本图形： 例1. 如图. 已知∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠1＝∠2， CE ⊥BD ，求证：BD ＝2CE

A

E C

B

例2. 图4，△ABC 是等边三角形，延长BC 至D ， 延长BA 至E ，使AE ＝BD ，连结CE 、ED 。

证明：EC ＝ED

E A B

C

D

例3. 如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＋∠C ＝90°， F 、G 分别是AD 、BC 的中点，若BC ＝18，AD ＝8， 求FG 的长。

三、典型例题

例1. 已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF ，M 是AF 的中点，连接MB 、ME ．

（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM ，ME 的长； （3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

（1）证法一：【如图】

延长AB 交CF 于点D ， ∵∠ACB =∠BCD =450

则△ABC与△BCD均为等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD，

∴点B 为线段AD 的中点， 又∵点M 为线段AF 的中点， ∴BM为△ADF的中位线， ∴BM∥CF．

证法二：【如图】

延长BM 交EF 于D ， ∵∠ABC=∠CEF=90°， ∴AB⊥CE，EF⊥CE， ∴AB∥EF， ∴∠BAM=∠DFM， ∵M是AF 的中点， ∴AM=MF，

∵在△ABM和△FDM中，

，

∴△ABM≌△FDM（ASA ）， ∴AB=DF=BC，

∵BE=CE﹣BC ，DE=EF﹣DF ， ∴BE=DE，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠EBM=45°，

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°， ∴∠EBM=∠ECF， ∴MB∥CF

（2）解法一：【如图】

延长AB 交CF 于点D ， 则易知△BCD与△ABC为等腰 直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，

AC=CD=

a ，

∴点B 为AD 中点，又点M 为AF 中点，

∴BM=DF ．

分别延长FE 与CA 交于点G ，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， ∴CE=EF=GE=2a，

CG=CF=

a ，

∴点E 为FG 中点，又点M 为AF 中点， ∴ME=AG ．

∵CG=CF=∴AG=DF=

a ，

CA=CD=a ，

a=

a

a ，

∴BM=ME=

×

解法二：【如图】

∵CB=a，CE=2a， ∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a， ∵△ABM≌△FDM，

∴BM=DM，

又∵△BED是等腰直角三角形， ∴△BEM是等腰直角三角形，

∴BM=ME=

BE=

a

（3）证法一：【如图】

延长AB 交CE 于点D ，连接DF ，

则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形， ∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴点B 为AD 中点，又点M 为AF 中点

∴BM=DF ．

延长FE 与CB 交于点G ，连接AG ， 则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形， ∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴点E 为FG 中点，又点M 为AF 中点，

∴ME=AG ．

在△ACG与△DCF中，

，

∴△ACG≌△DCF（SAS ）， ∴DF=AG， 证法二：【如图】

如答图3b ，延长BM 交CF 于D ，连接BE 、DE ，∵∠BCE=45°，

∴BM=ME．

∴∠ACD=45°×2+45°=135° ∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°， ∴AB∥CF， ∴∠BAM=∠DFM， ∴M是AF 的中点， ∴AM=FM，

在△ABM和△FDM

中，

∴△ABM≌△FDM（ASA ）， ∴AB=DF，BM=DM， ∴AB=BC=DF， ∵在△BCE和△DFE中，

，

∴△BCE≌△DFE（SAS ）， ∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，

∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°， ∴△BDE是等腰直角三角形，

又∵BM=DM， ∴BM=ME=BD ， 故BM=ME 练习：

1. 已知在△ABC 中，AD 是BC 边

A

F

B

D

C

上的中线，E 是AD 上的一点， 且BE=AC，延长BE 交AC 于F ， 求证：AF=EF

2. 已知：如图，A 、D 、B 三点在同一条直线上， ΔADC 、ΔBDO 为等腰直角三角形，AO 、BC 的大小 关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

B

D

E ⊥A C 3．已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且B

于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF =AC ； （2）求证：CE =

A

D B

H

E C

1

BF ； 2

（3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．

4、如图，∆ABC 中，AB=2AC，AD 平分∠BAC ， 且AD=BD，求证：CD ⊥AC

辅助线：【延长AC 至E, 使AE=2AC.连接DE 】

C

B

D

5. 如图，已知E 为梯形ABCD 的腰CD 的中点； 证明：△ABE 的面积等于梯形ABCD 面积的一半。

A

D E

B

C