韦达定理的若干应用

　　摘 要：韦达定理及其逆定理是初中数学极为重要的基础知识之一，在中学数学中应用较为广泛，在一些数学竞赛中常出现巧用韦达定理来解决问题。本文从六个方面来谈韦达定理及其逆定理的应用。 　　关键词：韦达定理 韦达定理的逆定理 初中数学竞赛 一元二次方程 　　 　　一元二次方程的根与系数关系定理是韦达定理的特殊情况，它的逆命题也是正确的。初中阶段我们不妨称之为韦达定理和逆定理。 　　韦达定理及逆定理是初中数学极为重要的基础知识之一，在解决初中数学的许多问题中，它是有力的工具，在初中数学竞赛中巧用韦达定理及逆定理来解的竞赛题屡见不鲜。本文通过六个方面的应用探讨如何利用韦达定理及逆定理解题目的方法和技巧。 　　 　　一、求值，当所求代数式是某个一元二次方程两根对称时，可应用韦达定理使计算简便。 　　 　　说明：1.求代数式值的问题常规方法是先求出代数式中求知数的值，然后代入。此例如按上述方法解将陷入复杂的计算，没有用韦达定理求解简便。 　　2.这种解法必须能熟练地将要求的代数式化为用α+β和αβ表示的形式。 　　3.这种方法一般适用于求关于方程根的对称式。 　　 　　分析：要求7p+2q的值，应先求出p、q 的值，而此例中方程的两根都是质数，由韦达定理知两根之积为74，故必有一根为偶数，而2是唯一的偶质数，则方程两根是2和37，再结合 p、q是自然数可求p、q的值。（解略） 　　 　　二、构造一元二次方程，当问题中出现a+b=m、ab=n的形式时，可用韦达定理和逆定理把a、b看作t■-mt+n=0的两 　　∴ 当m=-7或m=3时，抛物线与x轴两个交点间距离是3。 　　说明：此类问题利用二次函数图像与x轴交点横坐标是函数值为零时自变量的值，即方程的根，再利用韦达定理把图像与x轴交点的距离与函数解析式联系起来。 　　 　　四、研究一元二次方程的整数解，此法主要是应用韦达定理结合题意把问题转化为不定方程组或不等式，再进一 　　步求不等式的整数解，以达到解决问题的目的。 　　 　　六、证明不等式。 　　 　　例7. 已知：a、b、c为实数，且a+b+c=0，a・b・c=1，求证：a、b、c中必有一个大于 。 　　分析：已知条件是三个数的和与积，把它转化为两个数的和与积的问题，然后利用韦达定理解决。 　　证明：由a+b+c=0a・b・c=1知a・b・c＞0，且a、b、c中有一个正数两个负数，不妨设a＞0，b＜0，c＜0， 　　 　　参考文献： 　　［1］吴志翔.中学数学教学参考书证明不等式［M］.1982年02月第1版. 　　［2］唐耀庭.一元二次方程的特殊解法［J］.中学生数理化初中版，2007年Z1期. 　　［3］杨茜，郑建平.谈韦达定理的应用［J］.成都教育学院学报，2002年01期. 　　 　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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