数学建模:水资源短缺风险综合评价

2011河南科技大学第八届大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C中选择一项填写): B 题目:

B水资源短缺风险综合评价

摘 要:本文基于模糊概率理论和回归理论建立了水资源短缺风险评价模型,可对水资源短缺风险发生的概率和缺水影响程度给予综合评价。首先,采用回归的模型对风险度量和若干风险因子的关系进行拟合,根据各因子的风险度量的相关性评定因子是否为主要因子。然后,选取区域水资源短缺风险程度的风险率、脆弱性、可恢复性、重现期和风险度作为评价指标,研究了水资源短缺风险的模糊综合等级评价及对未来预测的方法。建立以上模型年对北京市1979--2009年的水资源短缺风险进行了分析,结果表明,水资源总量、农业用水量以及生活用水量是北京市水资源短缺的主要致险因子。再生水回用和南水北调工程可使北京地区未来几年各种情景下的水资源短缺风险降至较低的风险水平。

关键词:水资源短缺风险 线性回归确 模糊概率 北京

一、问题重述

水资源,是指可供人类直接利用,能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。

风险,是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。

水资源短缺风险,泛指在特定的时空环境条件下,由于来水和用水两方面存在不确定性,使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。

近年来,我国、特别是北方地区水资源短缺问题日趋严重,水资源成为焦点话题。 以北京市为例,北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一,其人均水资源占有量

3

不足300m,为全国人均的1/8,世界人均的1/30,属重度缺水地区,附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是,气候变化和经济社会不断发展,水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别,对风险造成的危害等级进行划分,对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害,这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。

《北京2009统计年鉴》及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和你自己可获得的其他资料,讨论以下问题:

1.评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么?影响水资源的因素很多,例如:气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度,人口规模等。 2.建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价, 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控,使得风险降低?

3.以北京市水行政主管部门为报告对象,写一份建议报告。

二、模型假设

(1)假设题中所给数据基本真实有效;

(2)假设没有重大的自然灾害发生如干旱等; (3)假设北京地区人口流动正常;

(4)假设南水北调及其它工程正常运行;

三、符号约定

1: r 水资源总量 2: x 缺水量 3: u 用水量 4: X 风险度量 5: x1 农业用水 6: x2 工业用水

7: x3 第三产业及生活等其它用水

四、问题分析与模型的建立

针对不同的问题我们建立了不同的数学模型。对主要风险因子的求解,我们使用多

元线性回归的方法,对1979年到2009年的数据进行处理,将风险度量作为因变量,各个风险因子作为自变量,求出多元线性回归方程,以此判断主要风险因子。

对于未来风险的预测,可以以时间为自变量,风险量度v为因变量,建立回归方程。

(一) 利用多元线性回归分析方法建立模型,求解主要风险因子

在这里的风险预测中,风险度量受到多个元素影响,可以建立多元线性回归模型,使用最小二乘法对已知的数据进行最佳直线拟合分析和预测。建模如下形式:

(u为随机量)

式中,Y为因变量的预测值;Xj(j=1,2,3,„,k)为自变量已知值,k为自变量的个数,bj为偏回归系数,b0为截距。

则对于变量取值不同有

其中有i=1,2,3,„ 则有

z

拟合多元线性回归模型的原则是建立在因变量的预测值与实际值之间的误差最小的基础上,即表示为:

取最小。

根据微分学知识,偏回归系数bj的求解可由下式得到: 求解可得

。则有回归方程

在这里,我们是通过运用Excel来完成多元线性回归的操作,完成之后,用样本决定系数对回归方程“拟合优度”进行检验,通过统计对模型线性关系的显著性进行检验。

计算相关系数即为

y与X1,X2,...,Xk之间的复相关系数。复相关系数的计算公式

为:

(此处y表示Y)

通过对回归方程进行相关系数的求解,并且判断自变量与因变量的拟合程度,来得出主要变量。

先分析一下北京市水资源短缺风险影响因子[1],北京市水资源开发利用中存在的问题主要有:

(1)上游来水衰减趋势十分明显;

(2)长期超采地下水导致地下水位下降; (3)水污染加重了水危机;

(4)人口膨胀和城市化发展加大了生活用水需求等。

因此,导致北京水资源短缺的主要原因有资源型缺水和水质型缺水等。 影响北京水资源短缺风险的因素可归纳为以下两个方面:

(1)自然因素;①人口数;②入境水量;③水资源总量;④地下水位埋深; (2)社会经济环境因素:①污水排放总量;②污水处理率;③放总量;④生活用水量;⑤农业用水量。

利用上述讨论的风险因子及逐步回归方法建立以风险度量为因变量,风险因子为自变量的多元线性回归模型。模型中最后剩下的自变量即为主要风险因子,这些自变量前的回归系数即为该变量每变化一单位对风险度量的影响程度有多大,从而确定该如何调控风险因子,使得风险降低。该模型可以指出如果这些主要风险因子不加控制,将会对风险度量产生多大的影响,实质即为一综合评价模型。

由于上述风险因素多而杂,所以,我们在实际操作过程中5个大因素作为研究对象,即总用水量u、水资源总量r、农业用水x1、工业用水x2、第三产业及生活等其它用水x3。其中,将u,r之差定义为风险度量X,r、x1、x2和x3作为风险因子。这四个因子范围较广可涵盖以上几个方面的风险因素。所以由此用模型经计算得到的结果可以较好地反应实际情况,同时也有较高的预测性,可对实际问题的解决起到一定的指导作用。

(二) 基于模糊概率[2](参阅)的风险等级划分的模型的建立

(1).风险率 根据风险理论,荷载是使系统“失事”的驱动力,而抗力则是对象抵御“失事”的能力。

如果把水资源系统的失事状态记为 F∈(λ>ρ),正常状态记为 S∈(λ

r=P(λ>ρ)=P{Xt∈F} (1)

式中:Xt为水资源系统状态变量

如果水资源系统的工作状态有长期的记录,风险率也可以定义为水资源系统不能正常工作的时间与整 个工作历时之比,即

(2)

式中:NS 为水资源系统工作的总历时;It 是水资源系统的状态变量。

(2).脆弱性 脆弱性是描述水资源系统失事损失平均严重程度的重要指标。为了定量表示系统的脆弱性,假定系统第 i 次失事的损失程度为 Si,其相应的发生概率为 Pi,那么系统的脆弱性可表达为

(3)

式中:NF 为系统失事的总次数。

例如,在供水系统的风险分析中,可以用缺水量来描述系统缺水失事的损失程度。类似洪水分析,假定P1=P2=„=PNF=1/NF,即不同缺水量的缺水事件是同频率的,这样上式可写为

( 4)

式中:VEi 为第 i 次缺水的缺水量。

上式说明干旱的期望缺水量可以用来表示供水系统的脆弱性。为了消除需水量不同的影响,一般采用相对值,即

(5)

式中:VDi 是第 i 次干旱缺水期的需水量。

(3).可恢复性 恢复性是描述系统从事故状态返回到正常状态的可能性。系统的恢复性越高,表明该系统能更快地从事故状态转变为正常运行状态。它可以由如下的条件概率来定义

β=P(Xt∈S | Xt-1 ∈F) (6)

上式亦可用全概率公式改写为

(7)

引入整数变量

(8)

(9)

这样,由式(8)可得

(10) 记

则有

(11)

(12)

从上式可以看出,当 TF=0,即水资源系统在整个历时一直处于正常工作状态,则β=1;而当 TFS=0,即

水资源系统一直处于失事状态(TF=NS),则β=0。一般来讲,0

(4).风险度 用概率分布的数学特征,如标准差σ或半标准差σ-,可以说明风险的大小。σ和σ-越大则风险越大,反之越小。这是因为概率分布越分散,实际结果远离期望值的概率就越大。

(13)

(14)

用σ、σ-比较风险大小虽简单,概念明确,但σ-为某一物理量的绝对量,当两个比较方案的期望值相差很大时,则可比性差,同时比较结果可能不准确。为了克服用σ-可比性差的不足,可用其相对量作为比较参数,该相对量定义为风险度 FDi,即标准差与期望值的比值(也称变差系数

)

(15)

表4-1 各评价因素分级指标

五、模型求解

(一)利用多元线性回归分析方法求解主要风险因子

(1).计算1979年到2000年X关于r,x1,x2,x3的回归方程

将附表1中的数据输入excel表格中,计算出风险度量,再运用回归工具进行计算

表5-1 1979到2000年回归结果

200

回归方程中r,x1,x2,x3的系数分别为:-1.00022,1.0008, 0.999688, 1.003856,随机项为-0.04506486。则有回归方程:

Y=-0.04506486-1.00022r+1.0008x1+0.999688x2+1.003856x3。 计算得复相关系数R=0.999995 ,说明线性回归的结果拟合度很高,符合实际情况。 由表1-1中的和t Stat 可知水资源总量和农业用水为四个风险因子中较为主要的因子。其中水资源总量所产生的风险度量最大,为最主要致险因子。

各变量与风险度量的散点图如下:

图5-1

图5-2

图5-3

图5-4

(2).2001年到2009 年X关于r,x1,x2,x3的回归方程

表 5-2

将附表2中的数据输入excel 表格中,计算出风险度量,再运用回归工具计算出回归方程中r,x1,x2,x3的系数分别为:1.0460056,-1.4067698,-0.03277379,-1.5828568;随机项3.9380165;

则回归方程为X=3.9380165+1.0460056r-1.4067698x1-0.03277379x2-1.5828568x3

计算得复相关系数R=0.998467,说明线性回归的结果拟合度很高,符合实际情况。

根据所得数据可知主要风险因子是水资源总量以及农业用水。最主要风险因子是水资源总量。

各变量与风险度量的散点图如下:

图 5-5

图 5-6

图 5-7

图 5-8

综述,四个风险因子均为引起北京市水资源短缺的较为主要风险因子,其中,水资源总量占最主要的位置,农业用水次之。

(二)根据1979年到2009年的供水量和需水量的数据(表2-1),带入以上模型计算出风险率u1

表5-3

可恢复性和风险度数据为下表:

表5-4

观察以上数据由模型可知北京30年来的缺水风险等级为最高的v5(高)级,若不及时采取有效的措施,北京人民的生活会受到重大影响,北京市的发展会受到极大的阻碍。由此可见,对水资源采取有效的风险管理措施已刻不容缓。

六、建议报告

(一).结论:

(1).一般的水资源短缺风险评价仅是对水资源短缺风险率的统计,而本文则引用了多个评价指标对区域水资源短缺风险进行描述。

(2).本文在对单个水资源短缺风险性能指标计算的基础上,更进一步采用综合评价方法对区域水资源短缺情况进行判别,基于多个指标评价的模糊综合评判方法用于区域水资源短缺情况评价具有一定的可操作性和实用性。

(3).应用所建立的线性回归和模糊概率的数学模型,对北京过去近30年的水资源短缺情况进行了评价,并对未来几年的水资源短缺风险进行了预测。

(4).本次评价综合考虑了区域的来水和需水情况,首先采用长系列供需操作方法得到区域规划水平年的缺水量系列,然后利用所建立的数学模型对区域缺水风险进行综合评判,结果表明:在没有南水北调的情况下,到2010 水平年,北京市水资源短缺风险将处于高风险水平,水资源供需状况极度危险。

( 二).基于上述判断,建议:

(1).对首都圈的水资源短缺风险必须进行调控,这些调控措施主要有需水管理和供水管理。需水管理的核心是抑制水资源需求的过度膨胀,促进水资源的可持续利用,节水防污型社会建设是需水管理中最重要的系统工程之一;供水管理措施主要有提供污水处理率和污水利用率、对当地水资源进行挖潜、增加雨洪利用、增加海水利用等等。

(2).南水北调工程是解决首都圈水资源短缺风险的根本措施。如果将南水北调工程加入到风险分析模型中,2010 年首都圈的水资源短缺风险率、脆弱性等将得到大幅度的改善,所以当前最重要的工作是保证南水北调东、中线工程按规划准时建成,保证首都圈的经济社会可持续发展。

(3).对于工业和农业用水对北京市水资源短缺所造成的较为重大的影响,应改进工业生产工艺,大力发展农业节水技术,以提高水资源的利用率,从而较为显著地降低水资源短缺风险。

七、模型评价

在本次的建模中,我们查阅了大量的资料,对于这个课题首先有了比较深刻的认识。在这个模型的建立中,经过合理的假设,运用所学知识把实际问题抽象化、代数化、理想化,把它变成一个数学问题。我们所建立的数学模型在实际生活中也有一定推广意义,在对于某件事发生的影响因子的求解、为达到某项目的而对主要因子进行宏观调控等方面有通用性,如影响学生学习成绩的主要因素的求解。不过我们的模型都是在合理假设的条件下建立的,我们所求解的值有近似性,对于那些需要精确计算的问题都不能根据此模型草率计算,而需要根据具体问题具体分析,因此如果能对此模型能做出进一步的深入和改进,使计算变得更加精确合理,将会有更高的使用价值。

八、模型的改进与应用

在本次的建模中,毕竟模型只能是模型,只是理想化的,有太多的其他因素不能考虑完全,因此我们只能尽量减少误差。而在这个模型中,考虑的变量太少,只是作为线性模型来考虑,比如在考虑风险因子时不全面,没有考虑水资源污染、气候、人口迁移等因素,在这方面可以进行改善。而在模型中运用的程序不够方便精细,且模型不够简便,可以更加完善。

九、参考文献

[1] 王红瑞,钱龙霞,许新宜,王 岩 《基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型及其应用》 水利学报 第40卷第7期 p 813-p 821 2009年

[2] 阮本清,韩宇平,王浩,蒋任飞, 《水资源短缺风险水资源短缺风险的模糊综合评价》 水利学报 第36卷第8期 p 1-p 10 2009年

[3] 《北京统计年鉴-2009》 编委会 http://www.bjstats.gov.cn 2010.6.5

附表2 北京市水资源情况(2001-2009年)[3]

注:万元地区生产总值水耗按现价计算,下降率按可比价计算。

资料来源:除人均数据和万元地区生产总值水耗以外其它数据来自北京市水务局。


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