高考数学应用题的解法

高考数学应用题的解法

2007年全国数学考试大纲（课标版）中，能力要求中指出，能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识，其中对实践能力的界定是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.

实践能力是将客观事物数学化的能力. 主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决.

2007年山东数学考试说明对实践能力的界定是：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题

抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题，并能用数学语言正确地表述、说明．

对实践能力的考查主要采用解决应用问题的形式. 命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际，考虑学生的年龄特点和实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平.

数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题. 由于这类题目文字叙述长，数学背景陌生，涉及面又广，对相当一部分学生来讲，连题目都不“敢”去看了，心理失衡，导致在阅读和理解方面存在着一定困难.

解答这类问题的要害是消除心理和语言障碍，深刻理解题意, 做好文字语言向数学的符号语言的翻译转化, 自信，冷静地去读完题目，保持冷静，认真对待，不能随意放弃. 读题是翻译的基础，读题时要抓住题目中的关键字、词、句，弄清题中的已知事项，初步了解题目中讲的是什么事情，要求的结果是什么。在读题的基础上，要能复述题目中的要点，深思题意，很多情况下，可将应用题翻译成图表形式，形象鲜明地表现出题中各数量之间的关系，将文字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言，这个过程其实就是建模。函数, 数列, 不等式，排列组合、概率是较为常见的模型, 而三角, 立几, 解几等模型也时有出现.

一般来说，可采用下列策略建立数学模型：（1）双向推理列式，利用已知条件顺向推理，运用所求结果进行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增长率的问题可建立指、对数或方程模型，行程、工程、浓度问题可以建立方程（组）或不等式模型，拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次模型，测量问题可建立解三角形模型；计数问题可建立排列组合问题；机会大小问题可建立概率模型，优化问题可建立线性规划模型„„

一、 建构函数模型的应用性问题

解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答．因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用．

1．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息) ．

已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q （百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；

职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．

（Ⅰ）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； （Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？

讲解 本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面．由题目的问题找到

关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关．

从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题．为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q 、单位商品的销售价p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答．

由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润． （Ⅰ）设该店的月利润为S 元，有职工m 名．则

S =q (p -40)⨯100-600m -13200．

⎧⎪-2p +140, (40≤p ≤58)又由图可知：q =⎨．

⎪⎩-p +82 (58

所以，

⎧⎪(-2p +140)(p -40)⨯100-600m -13200 (40≤p ≤58) S =⎨

⎪⎩(-p +82)(p -40)⨯100-600m -13200 (58

由已知，当

p =52时，S =0，即

(-2p +140)(p -40)⨯100-600m -13200=0解得m =50．即此时该店有50名职工．

（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润

⎧⎪(-2p +140)(p -40)⨯100-37200 (40≤p ≤58)当40≤S =⎨⎪⎩(-p +82)(p -40)⨯100-37200 (58

p ≤58时，求得p =55时，S 取最大值7800元．

当58

综上，当

设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有12n ⨯7800-268000-200000≥0． 解得n

≥5．

所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元． 点评 求解数学应用题必须突破三关：

（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义． （2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题． （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．

2．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量

⎧1

(1≤x ≤c , x ∈N )⎪⎪96-x x （件）之间大体满足关系：P = ．其中c为小于96的正常数) (⎨⎧1

≤N x )≤c , x ∈N )⎪2⎪ x x > c , x 1∈(⎪96-⎪3⎨⎩=P (其中c为小于96的正常数)

2⎪ (x >c , x ∈N )⎪次品数⎩3

注：次品率P

=

生产量

，如P =0.1表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．

已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损

A

元，故厂方希望定出合适的日产量． 2

（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？

讲解：（Ⅰ）当x >c 时，P

=

212A

=0． ，所以，每天的盈利额T =xA -x ⋅

3323

当1≤x ≤c 时，P =

11⎫⎛⎛1⎫

，所以，每日生产的合格仪器约有 1-件，次品约有x x 件．故，每天的盈利额 ⎪ ⎪96-x ⎝96-x ⎭⎝96-x ⎭

⎫ 1⎫3x ⎛⎛1⎫A ⎛

T = 1-x -⎪⎪xA - ⎪x ⋅= ⎪A 296-x ⎝96-x ⎭⎝96-x ⎭2 ⎝⎭

综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：

⎧⎡⎤3x

⎪⎢x -⎥A , 1≤x ≤c ． T =⎨⎣296-x ⎦

⎪

⎩0, x >c

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x >c 时，每天的盈利额为0． 当1≤

x ≤c 时，T =⎛

x -

⎝⎫． 3x

⎪A

296-x ⎪⎭

为表达方便，令96-x =t ，则0

．（等号当且仅当

396-t -⎛⎛)t ⎫)A 144⎫⎫⎛⎛1

11471473(96⎫⎛⎛11t -144T = 96-t -=97A ≤97-A =A >0 T = 96-t -972⎪A = 97-t -⎪A ≤ ⎪ 2t ⎭⎭⎝⎝2t ⎭⎭⎝⎝2222⎝⎝

．所以， t =128(即x =8)时成立）

（1）当c ≥88时，T max

t =

144

t

，即

=

147

A （等号当且仅当x =88时成立）． 2

x ≤c 得12

（2） 当1≤c

144

在t ∈(12,+∞) 上单调递增（证明过程t

略）．

所以，g (t ) ≥g

(96-c )．所以，

2

⎛22c ⎫1144144+189c -⎛1⎛144⎫⎛⎫1A 144144⎫A =⎛⎫⎛1T = 97T -=t -97-c -)-97-⎪t -⎪A ≤ -97-(96c )-⎪0A >0． ⎪A = -c ⎭⎝⎝19219296-2-c 2c ⎭⎭⎝2⎝2⎭t ⎭2⎝2

即T max

⎛144+189c -2c 2⎫

（等号当且仅当x =c 时取得） = ⎪A ．

192-2c ⎝⎭

综上，若88≤c

基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段．

3. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成

本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x ) 满足

⎧-0. 4x 2+4. 2x -0. 8 (0≤x ≤5)

R (x )=⎨. 假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.

(x >5) ⎩10. 2

（1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？

（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？ 解：依题意，G （x )=x +2,设利润函数为f (x ), 则

⎧-0. 4x 2+3. 2x -2. 8 (0≤x ≤5)

(1)要使工厂有赢利，则有f (x )>0. f (x ) =⎨

(x >5) ⎩8. 2-x

当0≤x ≤5时，有–0.4x 2+3.2x –2.8>0,得15时，有8.2–x >0,得x

综上，要使工厂赢利，应满足15时f (x )

所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x =4时，每台产品售价为

R (4)

=2.4（万元/百台）=240（元/台）. 4

4. 为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？

分析：关键在于理解题意而列出关系式，找到a 与b 间的等量关系. 函数最小值可应用重要不等式或利用导数解决. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =要求y 的最小值，只须求ab 的最大值. 由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0, b ＞0)

且ab =30–(a +2b )

应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4 ≥2

k

ab

(k ＞0为比例系数) 其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①

(a +2)(2b +2) -4=12

∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立 将a =2b 代入①得a =6,b =3.

故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：由2a +4b +2ab =60,得b 记u

=

30-a

,

2+a

=ab =

(30-a ) a

(0＜a ＜30) 则要求y 的最小值只须求u 的最大值.

2+a

，令u ′=0得a =6

64-(a +2) 2

由u '=

(a +2) 2

u ′＜0, ∴u 且当0＜a ＜6时，u ′＞0，当6＜u ＜30时

=

(30-a ) a

在a =6时取最大值，此时b =3.

2+a

从而当且仅当a =6，b =3时, y =

k ab

取最小值.

5. 运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v 千米/小时、2v 千米/小时、10v 千米/小时，每千米的运费分别为a 元、b 元、c 元. 且b ＜a ＜c , 又这批海鲜在运输过程中的损耗为m 元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等. 试确定使用哪种运输工具总费用最省. （题中字母均为正的已知量）

5. 解：设运输路程为S （千米），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y 1(元) 、y 2(元) 、y 3(元). 则由题意，

S m m m m

m =(a +) S . y 2=(b +) S , y 3=(c +) S . y 1-y 2=[(a -b ) +]S , 由a >b , 各字母均为正值，所以y 1–y 2>0，v v 2v 10v 2v

2m 2m 2m

即y 20,由c >b 及每字母都是正值，得c >b +. 所以，当c >b +时y 2

5v 5v 5v

2m

当b

5v y 1=aS +

6. 已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位小时）的函数，记作y =f (t ) ，下表是某日各时的浪高数据

经长期观测y =f (t ) 的曲线可近似地看成函数y =A cos ωt +b .

（1）根据以上数据，求出函数y =A cos ωt +b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；

（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.

解：（1）由表中数据，知T =12，ω=由t =0,y =1.5得A +b =1.5.

2ππ

=T 6

.

11π

，∴y =cos t +1 2261ππ

t >0. (2)由题意知，当y >1时，才可对冲浪者开放. ∴cos t +1>1, cos 626

由t =3,y =1.0,得b =1.0.所以，A =0.5,b =1.振幅A =∴2k π–

π

2

π

6

t

π

2

,

即有12k –3

由0≤t ≤24, 故可令k =0,1,2,得0≤t

7. 某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.

（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？

（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？

解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f (n ), 则f (n )=50n –［12n +72

=–2n 2+40n –72

(1)获纯利润就是要求f (n )>0,∴–2n 2+40n –72>0，解得2

n (n -1)

×4］–2

f (n ) 36

=40–2(n +) ≤16. 当且仅当n =6时取等号. 故此方案先获利6×16+48=144（万美元）， n n

此时n =6,②f (n )=–2(n –10) 2+128.

当n =10时，f (n )|max =128.故第②种方案共获利128+16=144（万美元）.

故比较两种方案，获利都是144万美元，但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案.

8. 某厂使用两种零件A 、B 装配两种产品P 、Q ，该厂的生产能力是月产P 产品最多有2500件，月产Q 产品最多有1200件；而且组装一件P 产品要4个A 、2个B ，组装一件Q 产品要6个A 、8个B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14000个；B 零件最多12000个. 已知P 产品每件利润1000元，Q 产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装P 、Q 产品各多少件？最大利润多少万元.

解：设分别生产P 、Q 产品x 件、y 件，则有

⎧0≤x ≤2500⎧4x +6y ≤14000⎧2x +3y ≤7000设利润S =1000x +2000y =1000(x +2y )

依题意有⎨则有⎨⎨

⎩0≤y ≤1200⎩2x +8y ≤12000⎩x +4y ≤6000

要使利润S 最大，只需求x +2y 的最大值.

x +2y =m (2x +3y )+n (x +4y )=x (2m +n )+y (3m +4n ) ∴⎨

2⎧2m +n =1⎧

m = ∴⎪⎪5⎨⎩3m +4n =21

⎪n =⎪5⎩

有x +2y =≤

2

5

(2x +3y )+

1

(x +4y ) 5

25

×7000+

1

×6000. 5

当且仅当⎨

⎧2x +3y =7000⎧x =2000

解得⎨时取等号，此时最大利润S max =1000(x +2y )

x +4y =6000y =1000⎩⎩

=4000000=400(万元).

另外此题可运用“线性规划模型”解决.

9. 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（140

3

，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 4

解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元, 则 y =(2a -x )(b +0. 01bx ) -0. 4bx

b

[x 2-2(a -70) x ]+2ab =-100

3

依题意 2a -x ≥⋅2a

4a

∴0

2

又140a

(1)当0

2a a

(2)当a -70>, 即140

22

生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 综上所述，当70

在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为10. 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某的98%．

（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最天）

（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天） 已知：lg 2=0.3010．

B 140

a

2

人.

什么分类？对谁分类？如何分类？

v t

2(1－k )t

其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠记录如下表. 已知该种病毒细胞在种药物，将可杀死其体内该病毒细胞

4k t

A

迟应在何时注射该种药物？（精确到

讲解 （1）由题意病毒细胞关于时间n 的函数为

y =2n -1, 则由2n -1

≤108,

两边取对数得

(n -1) lg 2≤8, n ≤27.5,

26

即第一次最迟应在第27天注射该种药物.

（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为2再经过x 天后小白鼠体内病毒细胞为226⨯2%⨯2x , 由题意226⨯2%⨯2x ≤108，两边取对数得

⨯2%,

26lg 2+lg 2-2+x lg 2≤8, 得x ≤6. 2，

故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．

本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.

11. 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人, 从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船. 若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

讲解: 不妨画一个图形, 将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型. 设船速为v ，显然v

≥4km /h 时人是不可能追上小船，当0≤v ≤2km/h

时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可

以追上小船，因此只要考虑2

的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v ，人追上船所用 时间为t ，人在岸上跑的时间为kt (0

为(1-k ) t ，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.

|OA |=4kt , |AB |=2(1-k ) t , |OB |vt , 由余弦是理得

|AB |2=|OA |2+|OB |2-2|OA |⋅|OB |⋅cos 15︒即4(1-k ) 2t 2=(4kt ) 2+(vt ) 2-2. 4kt ⋅vt ⋅+

4

整理得12k 2-[2(+) v -8]k +v 2-4=0.

2

要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有0

12

解得2

2]内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为22km /h ，由此可见当船速为

2.5km /h 时, 人可以追上小船.

涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注.

有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V 立方米，每天流出湖泊的水量都是r 立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g (t ) 表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t 时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天

p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )=

p r

+［g (0)-

p r

］·e

r

-t v

(p ≥0), 其中，g (0)是湖水污染的初始质量分数.

（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （2）求证：当g (0)

p r

时，湖泊的污染程度将越来越严重；

（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？ 讲解（1）∵g (t ) 为常数, 有g (0)-∴g (0)=

p r

=0,

(2) 我们易证得0

r t 2v

r t 1v

p r

.

g (t 1)-g (t 2)=［g (0)-

p r

］e

r -t 1v

-［g (0)-

p r

］e

r -t 2v 1

=［g (0)-

p r

］［e

r

-t 1v

-e

r -t 2v 1

］=［g (0)-

p r

］

(e -e )

e

r

(t 1+t 2) v

,

∵g (0)·

p r

r t 2v 1

>e

r t 1v

, ∴g (t 1)

故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重. (3)污染停止即P =0，g (t )=g (0)·e

r -t v

, 设经过t 天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g (t )=5% g(0)

1∴20

=e

r -t v

，∴t =

v

ln20， r

故需要

v

ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%. r

12．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：

x -3000⎫x -3000⎛． f (x )= 100-⨯50⎪(x -150)-

50⎭50⎝

2

整理得：f (x )=-x +162x -21000=-1(x -4050)2+307050．

3600-3000

=12，所以这时租出了88辆车．

50

5050

所以，当x 307050元．

=4050时，f (x )最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是

点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．

13. 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.

（1）写出y 与x 之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；

(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.

讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. （1）

y =50x -[12x +

2

x (x -1)

⨯4]-98 2

=-2x （2）解不等式 -2x 得 10-

+40x -98. +40x -98＞0,

2

＜x ＜10+51.

∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17. 故从第3年工厂开始盈利.

（3）(i) ∵ y =-2x +40-98=40-(2x +98）

x x x

≤40-2当且仅当2x

2⨯98=12

=

98

时，即x=7时，等号成立. x

2

2

∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元. (ii)

y=-2x+40x-98= -2（x-10） +102，

max

∴当x=10时，y

=102.

故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.

二、建构不等关系的应用性问题

不等式应用题，多以函数面目出现，以最优化的形式展现，解答这一类问题，不仅需要不等式的相关知识（不等式的性质、解不等式、均值不等式等），而且往往涉及函数、数列、几何等多方面知识，综合性强，难度可大可小，是高考和各地模拟题的命题热点．

1. 某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时（4≤V ≤20）从A 港出发前往50千米处的B 港，然后乘汽车以匀速W 千米/小时（30≤W ≤100）自B 港向300千米处的C 市驶去，在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、y 小时，若所需经费

p =100+3(5-x ) +2(8-y ) 元，那么V 、W 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.

讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于y =50及4≤V ≤100, ∴2. 5≤y ≤12. 5, 同理3≤x ≤10又9≤

V

x +y ≤14,

P =100+3(5-x ) +2(8-y ) =131-(3x +2y ), 令z =3x +2y .

则z 最大时P 最小.

作出可行域，可知过点（10，4）时, z有最大值38， ∴P 有最小值93，这时V=12.5，W=30.

视z

=3x +2y 这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.

2. 某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n 个月内，对某种商品需求的累计数

f (n ) （万件）近似地满足下列关系：

f (n ) =

1

n (n +2)(18-n ) , n =1, 2, 3, , 12 （Ⅰ）问这一年内，哪几个月需求量超90

过1.3万件？

（Ⅱ）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）

⎧⎪f (1), n =1讲解：（Ⅰ）首先，第n 个月的月需求量＝⎨

f n -f n -1, 2≤n ≤12()⎪⎩()

1

n (n +2)(18-n ) ， ∵f (n ) =9017

当n

≥2时，f (n -1) =

1

(n -1)(n +1)(19-n ) 90

n 3+5

2

1∴ f (n ) -f n (-1) =-(n 23+90

1 9)

令f (n ) -f (n -1) >1.3，即-3n ∵ n ∈N ， ∴n = 5 ，6

+35n +19>117 ，解得：

14

即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件．

（Ⅱ）设每月初等量投放商品a 万件，要使商品不脱销，对于第n 个月来说，不仅有本月投放市场的a 万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，需且只需：na -

∴ a ≥

f (n ) ≥0，

f (n ) (n +2)(18-n )

=n 90

10

又∵(n +2)(18-n ) ≤1[(n +2) +(18-n ) ]2=10 ∴ a ≥

9909029

即每月初至少要投放11112件商品，才能保证全年不脱销．

点评：实际问题的解答要注意其实际意义．本题中a 的最小值，不能用四舍五入的方法得到，否则，不符合题意．

3．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B. （Ⅰ）用x ，y 表示混合食物成本c 元； （Ⅱ）确定x ，y ，z 的值，使成本最低．

讲解：（Ⅰ）由题，c =11x +9y +4z ，又x +

y +z =100，所以，c =400+7x +5y ．

（Ⅱ）由⎧600x +700y +400z ≥56000, 及z =100-x -y 得，⎨

⎨

⎩800x +400y +500z ≥63000

⎧4x +6y ≥320

，

3x -y ≥130⎩

所以，7x +5y ≥450.

所以，c =400+7x +5y ≥400+450=850,

当且仅当⎨

⎧4x +6y =320⎧x =50

时等号成立． , 即⎨

3x -y ≥130y =20⎩⎩

所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．

⎧x ≥0

⎪y ≥0⎪

点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域⎨上使得

⎪4x +6y ≥320⎪⎩3x -y ≥130

c =400+7x +5y 最大的点．不难发现，应在点M （50，20）处取得．

三、建构数列模型的应用性问题

数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．

建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向．

1．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．

（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？ （Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？

讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题．不难看出，这是一道数列型应用问题．因此，我们可以设：

全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为a 0，经过n 年后全县绿地面积占总面积的百分比为a n ，则我们所要回答的问题就是：

（Ⅰ）是否存在自然数n ，使得a n >80% ？ （Ⅱ）求使得a n >60%成立的最小的自然数n . 为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列式．

由题可知：a 0

{a n }的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公

=30%=

3

， 10

44a n + 525

≥1时，a n =

a n +1=(1-4%)a n +16%(1-a n )=

所以，当n

a n +1-a n =

⎝5

44

a n -1+525

，两式作差得：

4

(a n -a n -1) 5

25⎭

255

10

又a -a =⎛4a +4⎫-a =4-1a =1，

100 0⎪0

所以，数列

{a n -a n -1}是以a 1-a 0=10为首项，以5为公比的等比数列．

14

14n

所以，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+ +(a 1-a 0)+a 0 (1-() ) 3414

=+=-⋅() n

105251-5由上式可知：对于任意n ∈N ，均有a n （Ⅱ）令a n

4

．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%． 5

34n 2，得()

4n 4n 2

由指数函数的性质可知：g (n )=() 随n 的增大而单调递减，因此，我们只需从n =0开始验证，直到找到第一个使得()

555

的自然数n 即为所求．

4n 24n 2

验证可知：当n =0,1,2,3,4时，均有() >，而当n =5时，() =0.32768

5555

4n 2

由指数函数的单调性可知：当n ≥5时，均有()

55

>

所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%． 点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定n 的值．

2. 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.

讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.

由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为为a 1，a 2，„, a 25小时，依题意它们组成公差d =-

1

480

，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间

1（小时）的等差数列，且 3

a 1≤24, 则有

5

a a 1a 1192.

+2+ +25≥1, 即(a 1+a 25) ⋅25≥480，化简可得2a 1-8≥

[1**********]

5

解得a 1≥231, 由于231

可见a 1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.

3. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2) 的宿舍楼. 已知土地的征用费为2388元

/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍. 经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为

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