相似三角形的应用举例练习

27.2.2 相似三角形应用举例（2）练习题

一、基础练习 1．如图1，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离1.6m，梯上点D距墙1.4m，•BD•长0.55m，则梯子的长为_______m．

（1） （2） （3） 2．•要做甲、•乙两个形状相似的三角形框架，•已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm．那么，•符合条件的三角形框架乙共有_____种，这种框架乙的其余两边分别为________． 3．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，•现将它折叠，•使点B•与点C•重合，•则折痕长是______． 4．如图2，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP，•△DPA，•△PCD两两相似，则a，b间的关系一定满足（ ） A．a≥

13

b B．a≥b C．a≥b D．a≥2b 22

5．如图3，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高AM=hcm•要剪出一个正方形铁片

DEFG，使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长=_______． 6．如图4，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，•长臂端点升高______m（杆的宽度忽略不计）．

（4） （5） （6）

7．如图5，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A•′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是______cm．

8．如图6所示，一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，•折线MN=________．

9．如图7所示，ABCD为正方形，A、E、F、G在同一条直线上，并且AE=5cm，EF=3cm，•那么FG=_______cm．

（7） （8） 10．如图8，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE为Rt△CDB的斜边BC上的高，若BE=6，CE=4，则AD=_______． 二、整合练习

1．如图，现有两个边长比为1：2的正方形ABCD与A′B′C′D′，已知点B、C、B′、C ′在同一直线上，且点C与B′重合，请你利用这两个正方形，通过截割、平移、旋转等方法，拼出两个相似比为1：3的三角形，要求： （1）借助原图拼图；（2）简要说明方法；（3）注明相似的两个三角形．

2．如图，运河边上移栽了两棵老树AB、CD，它们相距20m，分别自两树上高出地面3m、4m的A、C处，向两侧地面上的点E和D、B和F处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索AD与BC的交点P离地面的高度为多少米？

3．小R、小D、小H在一起研究相似三角形，分别得到三个命题：

（1）两个相似三角形，如果它们的周长相等，那么这两个三角形全等； （2）两个相似三角形，如果有两组边长相等，那么这两个三角形全等；

（3）不等边△ABC的边长为a、b、c

A′B•′C•一定不能与△ABC相似．

请你判定一下，这三个命题中，哪些是真命题？说说你的理由．

答案：

一、基础练习 1．4.4

2．3 若20与50对应，则另两边分别为24cm、32cm；若20与60对应，则另两边分别为

508025

cm,cm；若20与80对应，则另两边分别为cm、15cm． 332

3．因△ABC为Rt△，B与C重合，折痕DE为BC的中垂线交BC于D、AC于E、

5

DECD15． Rt△CDE∽Rt△CAB，,DEABCA48

3

4．△ABP、△DPA、△PCD两两相似，即∠APD=90°，

即以AD为直径的圆与BC•至少有一个交点P，所以a≥2b，选D． 5．设正方形DEFG的边长为x，由FG∥BC， 所以△AGF∽△ABC，设AM交GF于N，6．8m 7．14

8．设MN与AC交于点O，MN垂直平分AC，AD=9，AB=12，

ANGFhxxah

,即,解得x（cm）． AMBChaah

，

NOAD91545

,NO,MN2ON△CON∽△CDA，． OCDC1224

得

9．设FG=xcm，由△AFD∽△GAB和△AED∽△GEB，

8ADAE516

,解得FG． 8xBGEG3x3

BEBC

10．由DE∥AC，△BDE∽△BAC，，CE=4，BE=6，DE为Rt△CDB斜边BC上的高，BDAB

22

△DEB∽△CED，DE=CE·BE=24，BD=24+36=60，

．

二、整合练习

1．连结BD并延长交A′D′于点E，交C′D′的延长线于点F， 将△DA′E绕点E旋转至△FD′E位置，则△BAD∽△FC′B， 且相似比为1：3．

2．过P作PH⊥BD于H，由于AB⊥BD，CD⊥BD，

所以AB∥CD，PH∥CD，△ABP∽△DCP，BP：PC=AB：CD=3：4，

PHBP3

=， CDBC7

31212

所以PH=×4=，即点P离地面的高度为m．

777

BP：BC=3：7，又△BPH∽△BCD，（这里AB、CD相距20m为多余条件）．

3．真命题为（1）、（3）．

理由是（1）若△ABC∽△A′B′C′， 它们的相似比为k，（•k≠0）则

ABBCCA

=k， A'B'B'C'C'A'

△ABC的周长为AB+BC+CA，△A′B′C′的周长为A′B+B′C′+C′A′，• 又AB=A′B′k，BC=B′C′k，CA=C′A′k．由周长相等，得k=1， 所以AB=A′B′，BC=B•′C′，CA=C′A′， 所以△ABC≌△A′B′C′．

（2）是假命题，可举反例 若△ABC∽△A′B′C′，

设AB=1，BC=2，

A′B′

B′C′

C′A′=2，

虽然有两组边长相等，但它们显然不全等． （3）不等边△ABC中，不妨设a>b>c，

若△A′B′C′与△ABC相似，则a、b、c

a=b=c与△ABC是不等边三角形矛盾，



A′B′C′一定不能与△ABC相似．

（如果△ABC的三边长分别为a、b、c，

abc,

A′B′C′由bca,

cab.

abc,可证bca,

即）

cab.