高中数学不等式模块知识点集合

高中数学必修5 不等式

知识点归纳

一．不等式的概念与性质

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

a >b ⇔a -b >0 a

（1）a >b ⇔b a （反对称性）

（2）a >b , b >c ⇒a >c ，a b ⇒a +c >b +c ，故a +b >c ⇒a >c -b （移项法则） 推论：a >b , c >d ⇒a +c >b +d （同向不等式相加） （4）a >b , c >0⇒ac >bc ，a >b , c b >0, c >d >0⇒ac >bd 推论2：a >b >0⇒a n >b n 推论3：a >b >0⇒a >b

不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强

3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）a ∈R , a ≥0, a ≥0 当且仅当a =0, 取“=” （2）a , b ∈R , 则a +b ≥2ab

+

（3）a , b ∈R ，则a +b ≥2ab

2

2

2

a 2+b 2a +b 2

>=() （4）

22

4最值定理:

设x , y >0, 由x +y ≥

（1）如积xy =P (定值），则积x +y 有最小值2P

2

（2）如积x +y =S (定值），则积xy

S

2

即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等5 均值不等式:

a +b

≥ab 2

a +b +c 三个正数的均值不等是：≥abc

3

两个正数的均值不等式：n 个正数的均值不等式：

a 1+a 2+ +a n ≥a 1a 2 a n

n

6四种均值的关系：两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

a +b

≤ab ≤≤112+a b

2

a 2+b 2

2

小结:在不等式的性质中，要特别注意下面4点：

1不等式的传递性：若a>b,b>c, 则a>c,这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b, 在证出a>b,c>b,后，就误认为能得到a>c 2同向不等式可相加但不能相减，即由a>b,c>d，可以得出a+c>b+d, 但不能得a —c>b—d

3不等式两边同时乘以一个数或式时，只有该数或式保证为正，才能得到同向的不等式，否则不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方总之，不等式的概念和性质是本章内容的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，必须透彻理解，特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负。

不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组) 的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等

二．不等式的证明方法

（1）比较法：作差比较：A -B ≤0⇔A ≤B 作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小 （2）综合法：由因导果

（3）分析法：执果索因

①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达

（4）反证法：正难则反（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：

①添加或舍去一些项，如：a +1>a ；n (n +1) >n ； ②将分子或分母放大（或缩小） 如：log 3⋅lg 5

2

lg 3+lg 52

) =lg

n +(n +1)

n (n +1)

2

Ⅰ、k +1-k =

1k +1+k

12k

；

Ⅱ、

11111111

； （程度大） =-22

k (k -1) k -1k k (k +1) k k +1k k 111111

Ⅲ、

（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元

已知x +y =a ，可设x =a cos θ, y =a sin θ；

已知x +y ≤1，可设x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤1) ；

2

2

222

x 2y 2

已知2+2=1，可设x =a cos θ, y =b sin θ；

a b x 2y 2

已知2-2=1，可设x =a sec θ, y =b tan θ；

a b

（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．

数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究例1已知a ，b ∈R ，且

求证：(a +2)+(b +2)≥

2

2

证法一：（比较法）

a , b ∈R , a +b =1, ∴b =1-a

∴(a +2)+(b +2)-

259=a 2+b 2+4(a +b ) - 22911

=a 2+(1-a ) 2+4-=2a 2-2a +=2(a -) 2≥0

22225122

即(a +2)+(b +2)≥（当且仅当a =b =时，取等号）22

2

2

证法二：（分析法） (a +2)+(B +2)≥

2

2

2525

⇐a 2+b 2+4(a +b ) +8≥

22

⎧b =1-a

⎪ ⇐⎨2 25122

a +(1-a ) +4+8≥⇐(a -) ≥0⎪22⎩

因为显然成立，所以原不等式成立 点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件 证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法）假设(a +2) 2+(b +2) 2

25

， 2

由a+b=1，得b =1-a ，于是有a +(1-a ) +12

22

12

1⎫⎛

这与 a -⎪≥0矛盾2⎭⎝

2

证法五：（放缩法）∵a +b =1

所以(a +2)+(b +2)≥

2

2

∴左边＝(a +2)+(b +2)

22

⎡(a +2)+(b +2)⎤≥2⎢⎥

2⎣⎦

2

=

2125

＝右边a +b +4=⎡⎤()⎦2⎣2

点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式

⎛a +b ⎫a 2+b 2≥2 ⎪2⎝⎭

证法六：（均值换元法）∵a +b =1， 所以可设a =

11

+t ，b =-t ，

22

∴左边＝(a +2)+(b +2)=(+t +2) 2+(-t +2) 2

22

1212

2525⎛5⎫⎛5⎫

＝右边 = t +⎪+ t -⎪=2t 2+≥

2222⎝⎭⎝⎭

22

当且仅当t=0时，等号成立

点评：形如a+b=1证法七：（利用一元二次方程根的判别式法） 设y=(a+2)2+(b+2)2，

由a+b=1，有y =(a +2) +(3-a ) =2a -2a +13， 所以2a -2a +13-y =0，

因为a ∈R ，所以∆=4-4⋅2⋅(13-y ) ≥0，即y ≥故(a +2)+(b +2)≥

2

2

222

2

小结：

1．掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点2在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等3比较法是证明不等式最常用最基本的方法常用差值比较法a >b , (a >0, b >0) 可证

a >1 b

4

⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法⑶ “分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“⇐”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：

正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯

简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法⑸换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这

⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度

三、解不等式

1．解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式．

(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式； ②解分式不等式； ③解无理不等式； ④解指数不等式； ⑤解对数不等式；

⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组．

2．解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质．

(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性． (3)注意代数式中未知数的取值范围． 3．不等式的同解性

⎧f(x)＞0⎧f(x)＜0

(1)f(x)·g(x)＞0与 ⎨ 或⎨同解．

⎩ g(x)＞0⎩ g(x)＜0 ⎧f(x)＞0⎧f(x)＜0

(2)f(x)·g(x)＜0与⎨ 或⎨同解．

g(x)＜0g(x)＞0⎩⎩ (3)

⎧f(x)＞0⎧f(x)＜0f(x)

＞0与⎨ 或⎨同解．(g(x)≠0) g(x)⎩g(x)＞0⎩g(x)＜0

⎧f(x)＞0⎧f(x)＜0f(x)(4)＜0与⎨ 或 ⎨同解．(g(x)≠0) g(x)g(x)＜0g(x)＞0⎩⎩

(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0) (6)|f(x)|＞g(x) 与

①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0) ；②g(x)＜0同解

⎧f(x)＞[g(x)]2

⎧f(x)≥0⎪

(7)f(x)＞g(x)与 ⎨f(x)≥0或⎨同解．

g(x)＜0⎩⎪

⎩g(x)≥0

⎧f(x)＜[g(x)]2

(8)f(x)＜g(x)与⎨同解．

⎩f(x)≥0

(9)当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，

当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．

⎧f(x)＞g(x)

(10)当a ＞1时，log a f(x)＞log a g(x)与⎨同解．

⎩f(x)＞0

⎧f(x)＜g(x)⎪

当0＜a ＜1时，log a f(x)＞log a g(x)与⎨ f(x)＞0同解．

⎪

⎩g(x)＞0

4 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法

步骤：①形式：

P (x )

>0←移项，通分（不轻易去Q (x )

②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为小结：

1一元一次不等式、一元二次不等的求解要正确、熟练、迅速，这是解分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的基础带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等

于0，二次函数y =ax +bx +c 的值恒大于0的条件是a >0且∆0且∆≤0必须考虑二次项系数为0化对转化的依据的思考3数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题，还可利用图形验证，4解指数、对数不等式的过程中常用到换元法化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌再三5．解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨，根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值），按照解答的需要（例如进行不等式变形时必须具备的变形条件）等方面来决定，要求做到不重复、不遗漏

解不等式是不等式研究的主要内容，许多数学中的问题都可以转化为一个解不等式的问

四．含绝对值的不等式

1．解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方

2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题

||a|─|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;||a|─|b||≤|a─b|≤|a|+|b|;并指出等号条件3．(1)⇔─g(x)

2

(2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)

a ±b ≤a ±b ≤a +b

左边在ab ≤0(≥0) 时取得等号，右边在ab ≥0(≤0) 时取得等号五．简单的线性规划问题

1二元一次不等式表示平面区域:

在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）

B ＞0时，①Ax 0+By 0+C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =02线性规划:

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；

（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；

（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；

（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；

（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案例1 求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为

⎧x ≥1⎧x ≥1⎧x ≤1⎧x ≤1

⎪⎪⎪⎪或⎨y ≤1或⎨y ≥1或⎨y ≤1 ⎨y ≥1

⎪x +y ≤4⎪x -y ≤2⎪-x +y ≤2⎪x +y ≥0

⎩⎩⎩⎩

1

×4×4=8 2

点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界例2 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mil e/h（4≤v ≤20）从A 港出发到距50 n mil e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h（30≤w ≤100）自B 港向距300 km的C 市驶去在同一天下午4至9点到达C 市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h∴面积S =

（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；

（2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元）， 那么v 、w 分别是多少时走得最经济? 此时需花费多少元?

分析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围解：（1）依题意得v =

50300

，w =，4≤v ≤20，30≤w ≤100 y x

5≤y ① 2由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，

即9≤x +y ≤14 ②

因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）

（2）∵p =100+3·（5－x ）+2·（8－y ），

∴3x +2y =131－p 设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为

∴3≤x ≤10，

－

3

的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x =10，y =4时，p 2

此时，v =12，w =30，p 的最小值为93元

小结：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标