仿射变换的应用

第２６卷第４期

２０１３年１２月

聊城大学学报（口然科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬｉａｏｃｈｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ．Ｎｃｉ．）

Ｖ０１．２６ＮＯ．４

Ｄｅｃ．２０１３

仿射变换的应用

梁秀红１’３

窦龙江２

于兴江３

（１．聊城八中，山东聊城２５２０００；２．聊城文轩中学，山东聊城２５２０００；３．聊城大学数学科学学院，山东聊城２５２０００）

摘要

利用仿射变换研究了椭圆的性质仿射变换，椭圆，圆

文献标识码Ａ

文章绾号

１６７２—６６３４（２０１３）０４—００３３－０３

关键词

中图分类号０１８２．１

仿射变换（见｛－１３＞是一种常见的变换，其定义为

定义称平面＇【到自身的一个变换Ｔ为仿射变换，如果对兀上的任意点Ｐ（ｘ，Ｙ）与其像Ｐ７（ｚ７，ｙ７）

之间的关系，由公式下式确定

ｆｚ：一ｍ一＋吼ｚｙ＋吼ａ，『吼・吼ｚｆ≠ｏ．１Ｙ７＝口２１ｘ＋ａ２２ｙ＋ａ２３’ｌ口２ｌ口２２｝。。

仿射变换保持图形的同素性和结合性．所谓保持同素性就是把点（线）变成点，保持结合性就是把点在线上变成点在线上．

现在利用仿射变换把圆的几个性质推广到椭圆上．我们知道，半圆上的圆周角是直角．现把推广到椭圆上．

多飞、∥Ｌ／

Ｉ｛｝ｊ

ｌ

７＼／Ｂ｜｜

图２

多蕊。

半椭圆的圆周角

半圆上的圆周角

设椭圆的方程为

薯＋菩ｂ＿１’

Ⅱ２‘

２

１’

则它的两个顶点的坐标为Ａ（一口，ｏ），Ｂ（ａ，ｏ）．设Ｍ（ｘ。，Ｙ。）为椭圆上异于Ａ，Ｂ的点，见图２．作仿射变换

，ＸＺ

口

２一，

了７一了Ｙ，

收稿日期：２０１３—０６—０ｌ

基金项目：山东省中青年科学研究奖励基金资助（ＢＳ２０１０ＳＦ００４）通讯作者：于兴江，Ｅ—ｍａｉｌ：ｙｕｘｉｎｇｊｉａｎｇ＠ｌｃｕ．ｅｄｕ．ｃａ．

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聊城大学学报（自然科学版）第２６卷

则椭圆变成了，单位圆：Ｘ”＋ｙ”一１，直线ＭＢ和ＭＡ的斜率分别为

忌旧２瓦了Ｙｏ面，忌砌２瓦再Ｙｏ面．

设椭圆上的点Ｍ在上述变换下变成了单位圆上的点Ｍ７（ｚ７。，ｙ７。），而Ａ和Ｂ分别变成Ａ７（一１，ｏ）和Ｂ７（１，Ｏ）（见图１）．

易见直线吖Ｂ

７

Ｍ＇Ａ

７的斜率分别为若等％和若等南，而这二者垂直，所以乙７而‘石７而一石７两一一ｂ

（ｙ／０）．（ｙ７。，一（ｙ７秒一一１

于是利用公式（１）得

¨五。＝毒‰一矗警≥＝孑ｂ２・篇一孑ｂ２．

这就得到下述定理

定理１设Ｍ是椭圆≥＋旁一１上的一点，Ａ和Ｂ是椭圆的两个顶点，则直线ＭＡ和ＭＢ的斜率之

积为常数一箬．

２０１３年高考数学（全国大纲卷，理科）有这样一道题．

椭圆ｃ：ｘ百ｚＴｉｙ２—１的左、右顶点分别为Ａ。、Ａ。，点Ｐ在ｃ上且直线ＰＡ２的斜率取值范围是［一２，一

１］．那么，直线ＰＡ。斜率的取值范围是

（Ａ）［丢，詈］，（Ｂ）［百３，｛］，（ｃ）［虿１，１１，（Ｄ）［导，１］．

由上述定理，忌Ｐ＾，惫ＰＡ。＝一百３，现在一２≤忌ＰＡ。≤一１，可见忌ＰＡ，＞０．所以一２ｋＰ＾，≤忌ＰＡ。ｋｐＡ］≤一ＩｋＰ＾。，

ａＰ－２ｋｌ，ａ。≤一手≤一１忌ＰＡ。，因此百３≤忌ＰＡ，≤｛，所以答案为Ｂ．

我们知道，对于圆下面的结论成立

一

、

Ｍ

从圆≯＋３，２＝，外一点Ｍ（ｍ，竹）（ｍｎ≠ｏ）向圆引切线ＭＡ和ＭＢ，

Ａ，Ｂ是切点，坐标原点０是圆心．则弦ＡＢ被直线ＯＭ垂直平分．见图３．

证我们知道，从圆外一点向圆引切线，若（ｓ，￡）是切点，则切线方程为ＳＸ＋￡ｙ一，．于是

ｆ

ｆ５２＋产一，，

严忿Ｂ。

＼、／ｊ

图３

（２）

ｌｓｍ＋ｔｎ＝，上，

将（３）代入（２），整理得到关于ｔ的二次方程

（３）

圆上弦ＡＢ被直线ＯＭ垂直平分

（ｍ２＋竹２）ｔ２—２以，￡＋一一，ｍ２＝０，

解之得￡一—ｒ（≯ｎｒ矿＋ｍａ）．其中，口一杉≯干孑＝＿．如此，便得两组切点坐标

从而弦ＡＢ的斜率为五＾Ｂ

Ａ．（¨。一（等，帮），Ｂ．（跏彩一（ｒ而（ｍｒ＋ｎａ），帮）．

垂直．此外，ＡＢ之中点的坐标为（堕≯，生≯）一（嘉军；，南），而ｏＭ的方程显然为ｙ—ｍｎｘ，ＡＢ

之中点的坐标显然满足ＯＭ的方程，这表明ＯＭ平分ＡＢ．

现在，我们把这个结论推广到椭圆匕．

２ｉｔｚ－－ｔ１＝一署；直线ｏＭ的斜率为忌伽２暑，由于是伽忌ＡＢ＝一１，所以ＯＭ－与ＡＢ

第４期

梁秀红等：仿射变换的应用

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给定椭圆

ｘ≯ｚＴ矿ｙ２＝１，

从它之外一点Ｍ（ｍ，行）（ｍｎ≠Ｏ）向椭圆引切线ＭＡ，ＭＢ，Ａ，Ｂ为切点，Ｏ为坐标原点，见图４．作仿射变换

ｒｘ７ｆＩｚ一——．

，Ｊ

｛

则它把圆。２＋，一，变成了椭圆

ａ，

（４）

ｌｙ２孚，害ａ＋害ｂ乩

●

‘

乒念口．

＼。／／。

闵４椭圆上弦ＡＢ被直线（）Ｍ平分

把圆的切点变成了椭圆上的切点，把圆外的一点变成了椭圆外一点，而坐标原点保持不动．设切点Ａ，Ｂ的坐标分别为（ｓ７。，ｔ’。）和

（ｓ７：，￡７ｚ），由公式（４）得ｚ７一ａ７ｘ，ｙ７一譬．于是

（￥ｓＩ，ｔ／１，＝（等，等）＝（帮，丙ｂ（ｎｒ＋ｍａ）），“川７２）＝Ｆａｓｚ，等）＝（掣，可ｂ（ｎｒ－－ｍａ）），

（华，华）一（希氟ｂｎｒ

ｖ

所以，ＡＢ的斜率为忌＾Ｂ一一一ｂｍ．

注意，在仿射变换下，Ｍ的坐标变成了（芋，ｂ，．ｎ），所以ｏＭ的斜率为‰一兰．由于毛伽是＾Ｂ一一孑５２≠一１，

所以ＯＭ不垂直于ＡＢ．

此外，ＱＭ的方程为ｙ２墨ｚ，ＡＢ之中点坐标为

它显然满足ＯＭ的方程，此表明直线ＯＭ平分ＡＢ．

至此，我们得到下面的结论．定理２给定椭圆

７ＸｚＴ矿ｙＺ一＿＿１，

从它之外一点Ｍ（ｍ，靠）（仇押≠ｏ）向椭圆引切线ＭＡ，ＭＢ，Ａ，Ｂ为切点，０为坐标原点．则直线ＯＭ平：ｆＪ＂

ＡＳ，

ＯＭ矛ＩＩＡＢ的斜率之积是个常数一≯ｂｚ．

参考文献

［１］罗崇善，庞朝阳，田玉屏．高等几何［加．北京：高等教育出版社，２００ｆｉ．

ＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＡｆｆｉｎｅＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＬＩＡＮＧＸｉｕ—ｈｏｎ９１’３

（１・Ｅｉｇｈｔｈ

３．Ｓｃｈｏｏｌｏｆ

ＤＯＵＬｏｎｇ－ｊｉａｎ９２

ＹＵ

Ｘｉｎｇ－ｊｉａｎ９３

ＭｉｄｄｌｅＳｃｈｏｏｌｏｆＬｉａｏｃｈｅｎｇ，Ｌｉａｏｃｈｅｎｇ２５２０００，Ｃｈｉｎａ２．ＬｉａｏｃｈｃｎｇＷｅｎａｕａｎＭｉｄｄｌｅ

Ｓｃｈｏｄｌ，Ｌｉａｏｃｈｅｎｇ２５２０００，Ｃｈｉｎａ｝

ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＬｉａｏｃｈｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉａｏｃｈｅｎｇ２５２０００，Ｃｈｉｎａ）

ＡｂｓｔｒａｃｔＫｅｙｗｏｒｄｓ

Ｔｈｅｅｌｌｉｐｓｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄｂｙａｆｆｉｎｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．ａｆｆｉｎｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｅｌｌｉｐｓｅ，ｃｉｒｃｌｅ

仿射变换的应用

作者：

作者单位：

梁秀红， 窦龙江， 于兴江， LIANG Xiu-hong， DOU Long-jiang， YU Xing-jiang

梁秀红,LIANG Xiu-hong(聊城八中,山东聊城252000;聊城大学数学科学学院,山东聊城252000)， 窦龙江,DOU Long-jiang(聊城文轩中学,山东聊城,252000)， 于兴江,YU Xing-jiang(聊城大学数学科学学院,山东聊城,252000)

聊城大学学报（自然科学版）

Journal of Liaocheng University（Natural Science Edition)2013,26(4)

刊名：英文刊名：年，卷(期)：

参考文献(1条)

1. 罗崇善;庞朝阳;田玉屏 高等几何 2006

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_lcsyxb-zrkxb201304007.aspx