第五讲 数字信号处理-相关函数

第五讲 相关函数

------信号的时域分析与处理------

1、 研究背景

（1） 想通过声音或振动分析实现：①检测发动机机械故障；

②再现发动机缸内燃烧压力曲线；

（2）检测淹没在强噪声中的极微弱信号：TDLAS 测量气体浓度。

2、 信号的时域分析

定义：在时域内对信号进行滤波、放大、统计特征计算、相关性分析等处理统称为信号的时域分析。

突出：信号滤波器分为经典滤波器和现代滤波器：

（1） 经典滤波器：强调噪声和有用信号处于不同频带。

（2） 现代滤波器：噪声频带和有用信号频带重叠。

维纳滤波器，卡尔曼滤波器：非平稳、多输入、多输出，递推型的线性最小均方误差。

3、 时域统计分析与随机过程

3.1概率密度函数的定义（统计模式识别的核心难点）

3.2 宽平稳随机信号的定义

4、 相关分析及应用

相关分析是数字信号处理中最主要的“时域处理”方法

相关函数：在信号处理中研究信号的相似性，或一个信号经过一段延迟后自身的相似性，以实现信号的检测、识别与提取。

研究信号间的相似性或信号自身的相似性，是信号处理的核心问题。

注意：两个信号相乘的结果表示它们之间的相似性。

有很多基本应用：①噪声中有用信号的检测；

②信号中隐含周期性的检测；

③信号相关性的检验；

④信号延时长度的测量；

⑤作为随机信号的重要统计量；

⑥功率谱估计。

4.1 确定性信号的相关函数

4.1.1 x (n ) , y (n 是能量有限的确定性信号，) x (n ), y (n ) 的相关系数定义为：

∞

∑x (n ) y (n )

ρxy =n =0∞

2∞21 [∑x (n ) ∑y (n )]2

n =0n =0

∞

ρxy 的大小由r xy 确定，r xy =∑x (n ) y (n )

n =0

∞

r xy (m ) =∑

n =-∞

∞x (n ) y (n +m ) 相关函数的定义：

r xy (m ) = x (n -m ) y (n ) ∑

n =-∞

∞

自相关函数定义：r xx (m ) =

4.1.2 对于功率信号 ∑n =-∞x (n ) x (n +m )

相关函数定义为：r xx (m ) =lim 1N N →∞2N +1n =-N ∑x (n ) y (n +m )

若x (n ) 是周期信号，且周期为N ，其自相关函数为：

1

N

1

N N -1r x (m ) =lim r x (m ) =lim N →∞∑x (n ) x (n +m ) n =0N -1N →∞∑x (n ) x (n +N n =0+m )

r x (m ) =r x (m +N )

无限多个周期的求和平均可用一个周期的求和平均代替。

r x (m ) =1N N -1∑x (n ) x (n +m )

n =0

4.1.3 相关函数的性质

4.1.4 自相关函数的性质

特别是：r x (m ) 在m =0时取得最大值，即r x (0)≥r x (m )

4.1.5 互相关函数

特别是：r xy (m

) 满足|r xy (m ) |≤

=4.2 平稳随机信号的自相关函数

*定义1：r x (m ) =E {X (n ) X (n +m )}（课本P467）

定义2：信号x (t ) 的自相关函数R x (τ) 是描述信号一个时刻的取值与另一个时刻的取值之间

的依赖关系（工程定义）。

R x (τ) =lim 1T T →∞⎰T 0x (t ) x (t +τ) dt 若离散化：R x (n ∆τ) =

自相关函数的应用： 1N -n N -n ∑r =1x (r ) x (r +n )

（1）根据自相关图的形状来判断原信号的性质（课本P38，图1.8.1）；

（2）用于检测混于随机噪声中的确定性信号；

课本例10.4.3 有先验知识与无先验知识两种情况。

（3）自相关函数作傅立叶变换可求得自功率谱密度函数

G x (f ) =2⎰∞-∞R x (τ) e -j 2πf τd τ, f ≥0

应用举例：（1）识别车床变速箱运行状态

①正常状态变速箱噪声信号的自相关函数；

②异常状态变速箱噪声信号的自相关函数；

将各轴的转速与自相关函数上周期性波动的频率进行比较。

4.3 互相关分析

互相关函数R xy (τ) 表示两组数据之间依赖关系的相关统计量：

R xy (τ) =lim 1T T →∞⎰T 0x (t ) y (t +τ) dt

互相关函数的应用：

（1） 系统的时间滞后直接由输入输出互相关图中峰值的时间位移来确定；

（2） 利用互相延时和能量信息可对传输通道进行分析识别；

（3） 利用互相关函数可得互谱密度函数G xy (f ) =2⎰∞-∞R xy (τ) e -j 2πf τd τ

（4） 测定未知参数线性系统得频率响应（课本例10.4.4）

( ) r uy (m ) =h m

（5） 相干平均（课本例10.4.5）

课本P480 ：相关函数与功率谱是描述随机信号的两个主要特征量。

对这感兴趣的原因：这涉及工程信号处理与设备故障诊断

① 相关测速和定位；

问题：测量船舶的航速，在船舶前进方向，相距为l 的两点安转两组超声发射机和接收机，得到两组回波信号x 1(t ) 和x 2(t ) ，计算两者之间的互相关函数R x x (τ) ，为什么船12

舶的航行速度为v =l /τm ax ？这里τm ax 是互相关函数上峰值对应得时间。

详细论述见《相关流量测量技术》一书中，P57-P59 x (t ) =ay (t +τ) ，另外假设系统是线性的。

② 振动噪声源的测定；

来自多个源的非频变传播的典型互相关图 σ1y =ρ1y (τ1) σy

③ 同频检测

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5、

微弱信号检测专题—基于TDLAS 测量气体分子浓度