育才分流数学试题及答案

数学试题

考试时间120分钟 试题满分120分

一、选择题:(下列各题的备选答案,只有一个答案是正确的,请将正确答案的序号填入题的括号内,每小题3分,共30分)

1.Rt ∆ABC 中,∠C=90°,则下列式子中,不一定成立的是( )

(A) cosA=sinB (B) sinA=cosB (C) sinA=sinB (D) sin(A+B)=sinC 2. 下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( )

(A) 菱形 (B) 等腰梯形 (C) 平行四边形 (D) 等边三角形 3. 如图所示,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定) ,注满烧杯后,继续注水,直至注满水槽,水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图像中的(

) ...

4. 某个体商贩在一次买卖中,同时卖出2双鞋子,每双都以180元的价格出售,若按成本计算,其中一双盈利20%,另一双亏本20%,在这次买卖中,商贩( ) (A) 不赔不赚 (B) 赔15元 (C) 赚15元 (D) 赔30元

5. 如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 上一点,AE 交BD 于F, 若BE:EC=3:5,则BF:BD等于( )

(A) 3:5 (B) 3:8 (C) 3:11 (D) 5:8

6. 初三一班50名学生身高平均数是167cm ,中位数是162cm ,众数是165cm ,以下说法合理的是( )

(A) 至少有20名同学身高不大于162 cm (B) 有一半以上的同学身高为165 cm (C) 至少有一名同学的身高是162 cm (D) 有一半同学的身高大于167cm 7. 设a 、b 、c 均为非零数,且满足a +b -c =a -b +c =-a +b +c , 则(a +b )(b +c )(c +a )

abc c b a 等于( )

(A) -1 (B)

11

(C) 或-1 (D) -1或8 22

8. 平面内任选一点,它的横纵坐标均是绝对值小于4的整数,且所有这样的点被选中的机

会是均等的,则所选的点到原点的距离至多是2单位长度的概率是(

)

(A)

1313133 (B) (C) (D) 8164497

9. 按右面的程序计算,若开始时,输入x=4,则最后输出的结果为(

)

(A) 10 (B) 55 (C) 231 (D) 1540

10. 水平桌面上放置着一个容积为V 的密闭长方体玻璃容器,其中装有

1

V 的水。下面四2

个结论中:

①把容器一端慢慢提起,使容器的一条棱AD 保持在桌面上,这个过程中,水的形状始终是柱体;

②在①中的运动过程中,水面始终是矩形;

③把容器提离桌面,随意转动,水面始终过长方体内一个定点; ④在③中水与容器的接触面积始终不变。 其中正确结论的个数为( )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

二、填空题(每小题3分,共30分)

11. 如图,PB 、PC 分别是∆ABC 的内角平分线和外角平分线,

若∠A=56°, 则∠BPC=________ 12. 定义

a b c d

表示运算ad-bc, 若1

x -26-3

13. 如果一条直线l 经过不同的三点,A(a,b)、B(b,a)、C(a-b,b-a),那么直线l 的解析式为

_______________ 14.

当x =4x 4-4x 3-1999x 2-8x 的值为_____________. ______________.

2

15. 设a 、b 为方程x +9x

+4=0 (2) 根据表中的数据,如果把n 作为横坐标,y 作为纵坐标,在平面直角坐标系中,描出相应的各点,这些点是否在你所熟悉的某一函数的图象上,请写出它的解析式_______________.

17.如图,⊙O 1和⊙O 2外切于A,PA 是内公切线,BC 是外公切线,B 、C 是切点,给出以下5个结论,①∠PBA=∠PAB, ②BP=PC, ③∆ABC 为直角三角形,④O 1A:O2A=AB:AC,○5

∆PAB ∽∆O 2AC ,其中正确结论的序号为___________

18. 迎新班会布置教室,张红同学在一个长100cm ,宽72cm 的矩形彩纸上,剪去一个和

三边都相切的大圆后,李华同学要在剩余的彩纸上再剪去一个尽量大的圆,则李华同学剪去的圆的直径为_____________ ..

19.如图,凸五边形ABCDE 中,∠A=∠B=120°,CD=DE=2EA=2AB=2BC=a,则此凸五边形的面积为___________________

20.如图,两个以O 为圆心的同心圆,AB 切大圆于B ,射线AC 切小圆于C ,交大圆于D 、E ,已知AB=12,AO=13,AD=9,则小圆半径为_______________.

三、解答题(共8小题,共60分)

21.(6分) 四边形一条对角线所在直线上的点,如果到这条对角线上的两端点的距离不等,但到另一对角线的两个端点的距离相等,则称此点为这个四边形的准等距点。 (1) 画出下图中这个四边形的准等距点。

(2) 是否存在没有准等距点四边形,如果存在,试画出一例;若不存在,说明理由。

(3) 是否存在有无穷多个准等距点的四边形,如果存在,说明其特征(不必证明);若不

存在,说明理由。

22.(6分) 某个商场将进货价为每个10元的商品按每个18元出售时,每天可卖出60个,商店经理去市场做了一番调查后,发现若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元,则日销售量就减少5个;若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元,则日销售量就增加10个。为获得每日最大利润,此商品售价应定为每个多少元?

23.(6分) 如图,矩形ABCD 的在水平面上滚动,每次以一个顶点为支点,无摩擦向前翻滚,最后遇到一障碍物后停止,停止时AD 边和水平面的夹角为30°,设矩形的边长AD=1,AB=2.

(1) 计算C 点所经过的轨迹的长度。 (2) 若记∠C 4AD=α, 求tan α。

24.(6分) 如图,M 为劣弧¼AM 上任 AC 的中点,B 是¼意一点,MD ⊥BC 于D, 求证:AB+BD=DC。有人给出如下 的证明方法。试判断这个方法的正误,若正确,请在括号 中注明推理过程所用到的原因;若错误,请给出正确证明。

证明:延长DB 至N, 使DN=CD。 易知MN=MC。( ) 连接MA 、MB 、MC 、MN 。 在∆MBA 和∆MBN 中

ìMB =MB (ïïïï(íMN =MA ïïïïî? MNB MAB(

) )

)

∆MBA ≌∆MBN ( ) BA=BN.( )

DC=DN=DB+BN=AB+BD.( )

25.(8分) 已知关于x 的方程(m-1)x -3(3m-1)x+18=0有两个正整数根(m 是正整数),∆ABC 的三边a 、b 、c 满足

c=m +am-8a=0, m+bm-8b=0。 求:(1)m 的值; (2)∆ABC 的面积。

2

2

2

2

2

2

26.(8分) 如图,ABC 为边长2的正三角形,以点A 为圆心,1为半径的圆弧与AB 、AC 交

»上的动点,连接AP ,并延长交线段BC 于点K 。过点P 作弧所在于E 、F 两点,点P 是EF

圆的切线,当该切线不与BC 平行时,设它与直线BC 交于点M 。 (1)当K 与B 重合时, PM: KP的值是多少?

(2)在点P 运动的过程中,是否存在PM: KP=3的情况?若存在,请求出BK 的值;若不存在,请说明理由。

(3)一般地,是否存在PM: KP=n(n为正整数) 的情况?试提出你的猜想(不要求证明)。

27.(10分) 以满足|x|+|y|=1的所有的数对(x,y )为坐标的点,构成了一个正方形MNPQ (如图所示)。这个正方形被直线l :y=ax-a-1分成了两部分。

(1)求证:无论a 为何值,直线l 恒过定点A, 并求出A 点坐标, 用a 表示l 与MQ 的交点C 的坐标。

(2)当a 在什么范围时,l 分别与线段NM,PN,PQ 有交点(只要求结论)。

(3) 当l 与线段PN 交于D 点时,设四边形CMND 的面积为S, 求S 关于a 的函数关系式。

28.(10分) 过M(0,1)点的直线y=kx+1与抛物线y =1x 2交于两点A 、B ,O 为坐标原点。

4(1) 在x 轴下方有一条平行于x 轴的直线y=a,从A 、B 两点分别向y=a做垂线,垂足为C 、

D, 且AM=AC,BM=BD恒成立。试求出适合条件的a 值;

(2) 在(1)的条件下,试判断以CD 为直径的⊙E 与直线AB 的位置关系,并证明你的结论; (3) 取AB 的中点N, 当∆ACE ∽∆EMN 时,求梯形ABDC 的面积。

一、 选择题

1、C 2、A 3、B 4、B 5、C 6、A 7、D 8、C 9、D 10、D 二、 填空题

11、28°

2

12、3

3

13、y=-x 14、4014

15、

9 2

16、73,y =n 2-n +1(y =x 2-x +1) 17、○1○2○3○5 18、32 cm 19

2

2

20

21、 (1)

只画一个得1分…………2分

(2) 对角线互相平分但不垂直,或者互相垂直但不 平分(任何一个都不平分另外一个)

给出一个即可得满分…………4分

(3)存在,这样的四边形应该满足对角线互相垂直,且至少一条对角线平分另一条对角线。

若只答菱形,给1分…………6分

22、解:设这些商品的售价为x 元。则每个商品获利x-10元。每日的利润记为y 元, 若x ³18, 则能够卖出60-5(x-18)个,那么 y=(x-10)[ 60-5(x-18)]

=-5(x-20)2+500 ………………………………2分

当x=20时, y max =500 ………………………………3分 若x

=-10(x-17)2+490 ………………………………5分 当x=17时, y max =490

综上所述,商品售价应定为每个20元,最大利润为500元。…………………………6分

¼+C ¼¼23、连接C 3A 3,C 4A 3 ,则CC 12C 3+C 3C 4的长即为C 经过的轨迹。

A 4D 4和水平面的夹角为30°,则∠C 3A 3 C4=∠B 3A 3 B4 =60°………………………1分

¼+C ¼

¼CC 12C 3+C 3C 4

1160°

创2p CD +创2p C 2B 2+创2p C 3A 344360°

111

=(? 2? 12p 446==

………………………………3分

(2)过C 4作水平线AA 3的垂线垂足为M, 过B 4作B 4H ⊥C 4M, 垂足为H, 作B 4N 垂直水平线AA 3于N

.

C 4M =C 4H +HM =C 4H +B 4N =1窗sin30+2窗sin60=

1+2

………………………………4分

AM =AN +NM =AN +B 4H =5+1窗cos30=5+

………………………………5分

1

C 4M +tan a ===

AM ………………………………6分

24、这个证明是错误的,全等的证明使用的是SSA ………………………………1分 证明

延长DB 至N, 使ND=CD 连接MN,MB,MC,MA 显然MN=MC.

∠MBN=∠BMC+∠MCB.

¼, ¼,∠MCB 所对的弧为BM ∠BMC 所对的弧为BAC

¼的度数 则∠BMC+∠MCB 大小上等于1MAC

2

»=CM ¼=ACM ¼. ¼,则MAC 又已知MA

¼的度数, 而圆周角∠MBA 大小上等于1ACM

2

所以∠MBN=∠MBA. ………………………………4分

在∆MBN 和∆MBA 中 ìMB =MB ïïï

í? MBN MBA ïïïïîMN =MA =MC

∆MBN @∆MBA

NB=NA

DC=DN=DB+BN=DB+AB。 ………………………………6分

补充:若学生独立证明钝角情形的SSA 成立并且证明∠MBA 和∠C MB 为钝角。也给满分。 ..

25、(1)由已知得

[(m -1) x -3][(m +1) x -6]=0

因为方程有正整数根。m-1为3的正约数,m+1为6的正约数。 m-1=1,3

m+1=1,2,3,6得m=2. ………………………………3分

(2) a,b 为方程2x 2-8x+4=0的解。

若a=b

,a+b>c,此时三角形为等腰三角形,

S V ABC =

当a=b=2

,a+b

不妨设

c = 经计算a +b =c ,所以此时三角形为直角三角形。 S V ABC =

2

2

2

1

ab =1 ………………………………8分 2

26、(1)K与B 重合时,P 与E 重合。过E(P)垂直于AK(AB)的直线为正三角形AB 边上的高,必经过C, 即M 与C 重合。

………………………………2分

(2) 作AH ⊥BC 于H.

∠AHK=∠KPM ∠AKH=∠PKM

则∆AHK ∽∆MPK. ………………………………4分

PM: KP=AH:HK

HK =

………………………………5分

则BK=BH-HK或BH+HK 即

………………………………6分

(3) 当n ³2时存在,当n=1时不存在。 ………………………………8分

27、(1)A(1,-1) ………………………………2分

直线l 在与正方形相交的过程中,始终与MQ 相交,设交点为C ,

显然C 满足ïí即为C (ìy =ax -a -1ï

ïïîy =x -1

a 1, ) ………………………………3分 a -1a -1

(2)若a ?

2, 直线l 与MN 相交;

若-2#a -

1

2

, 直线l 与PN 相交; 若-12

#a 0,直线l 与PQ 相交.

(3) l 与PN 交点为D

可以求得D (

a +2a -1, 2a +1

a -1) S =S 1

V CMND =2(CM +ND ) NM

=1

2

? y c |

x D |) =1a +2)

2? (

1-a 1-a

)

=

a +3

1-a

6分

………………………………7分

………………………………10 ………………………………

28、

(1) AM=AC.

过 M 作MF ⊥AC 于F, 设A(x1, 1x 12), 则

4

C(x1,a) ,F(x1,1) 。

由 AC 2=AM2=AF2+MF2

1212

有x 12+(x 1-1) 2=(x 1-a ) 2

44整理得(a +1)(a -1-

12

x 1) =0。又2

AM=AC恒成立,即上式对于任意x 1恒成立,所以a=-1。

………………………………3分

(2) (简要步骤, 其他方法酌情给分)

连接CM 、DM 。

∠AMC=∠ACM=∠CMO, ∠BMD=∠BDM=∠DMO 。

则∠CMD=∠CMO+∠DMO= 90° M 在以CD 为直径的圆上。 易证∆CAE ≌∆MAE.EM ⊥AB, 则⊙E 与直线AB 相切。

………………………………6

(3) (简要步骤其他方法酌情给分) 若∆ACE ∽∆EMN ,

连BE, ∆BME ≌∆BDE, ∆ACE ∽∆EDB

又N 为 AB中点,EN 为直角梯形ACDB 的中位线, EN ⊥CD.

可知? NEM ? MEB ? BED 30°

………………………………8分

16 3

S 梯形ABDC =AB ? EM

………………………………10分


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