初中折叠问题

图形的折叠问题

上课时间:2010.7.18

几何研究的对象是:图形的形状、大小、位置关系;

主要培养三方面的能力:思维分析能力、空间想象能力和逻辑推理能力; 折叠型问题的特点是:折叠后的图形具有轴对称图形的性质; 两方面的应用:一、在“大小”方面的应用;二、在“位置”方面的应用。 一、在“大小”方面的应用

折叠型问题在“大小”方面的应用,通常有求线段的长,角的度数,图形的周长与面积的变化关系等问题。

1、 求线段与线段的大小关系

例1 如图,AD 是ρABC 的中线,∠ADC=45º,把ρADC 沿AD 对折,点C 落在点C' 的位置,求BC' 与BC 之间的数量关系。

练习1 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC 沿

直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于( ) (A)2 (B)3 (C )4 (D)5

例2图

例2 如图,折叠矩形的一边AD ,点D 落在BC 边上点F 处,已知AB=8,BC=10,则EC 的长是 。

2、求角的度数

例3 将长方形ABCD 的纸片,沿EF 折成如图所示;已知∠EFG=55º,则∠

D

练习4 如图,矩形ABCD 沿BE 折叠,使点C 落在AD 边上的F 点处,如果∠ABF=60º,则∠CBE 等于( )。

(A)15º (B)30º (C )45º (D)60º

3、求图形的全等、相似和图形的周长

例4 如图,折叠矩形ABCD 一边AD ,使点D 落在BC 边的一点F 处,已知折痕AE=5√5 cm,且tan ∠EFC=3/4. (1)求证:ρAFB ∽ρFEC ; (2)求矩形ABCD 的周长。

练习5 如图,将矩形纸片ABCD 沿一对角线BD 折叠一次(折痕与折叠后得到的图

形用虚线表示),将得到的所有的全等三角形(包括实线、虚线在内)用符号写出来。

练习6 如图,矩形纸片ABCD ,若把ρABE 沿折痕BE 上翻,使A 点恰好落在CD 上,此时,AE:ED=5:3,BE=5√5,求矩形的长和宽。

E

4、求线段与面积间的变化关系

例5 已知一三角形纸片ABC ,面积为25,BC 的长为10,∠B 和∠C 都为锐角,M 为AB 上的一动点(M与A 、B 不重合) ,过点M 作MN ∥BC ,交AC 于点N ,设MN=x. (1)用x 表示△AMN 的面积S ΔAMN 。

(2)ΔAMN 沿MN 折叠,设点A 关于ΔAMN 对称的点为A¹,ΔA¹MN 与四边形BCMN 重叠部分的面积为y

. ①试求出y 与x 的函数关系式,并写出自变量X 的取值范围; ②当x 为何值时,重叠部分的面积y 最大,最大为多少?

练习7 如图,把一张边长为a 的正方形的纸进行折叠,使B 点落在AD 上,问B 点落在AD 的什么位置时,折起的面积最小,并求出这最小值。

二、在“位置”方面的应用

由于图形折叠后,点、线、面等相应的位置发生变化,带来图形间的位置关系重新组合

1、线段与线段的位置关系

例6 将长方形ABCD 的纸片,沿EF 折成如图所示,延长C`E交AD 于H ,连结GH 。求证:EF 与GH 互相垂直平分。 证明:由题意知FH ∥GE ,FG ∥HE , ∴ 。 又 ,

∴四边形 是 , ∴FE 与GH 互相垂直平分

2、点的位置的确定

例7 已知:如图,矩形AOBC ,以O 为坐标原点,OB 、OA 分别在x 轴,y 轴上,点A 坐标为(0,3),∠OAB=60º,以AB 为轴对折后,使C 点落在D 点处,求D 点坐标。

D C

练习8 如图,在直角三角形ABC 中,∠C=90º,沿着B 点的一条直线BE 折叠这个三角形,使C 点与AB 边上的一点D 重合。当∠A 满足什么条件时,点D 恰好是AB 的中点?写出一个你认为适当的条件,并利用此条件证明D 为AB 中点。


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