20**年四川雅安中考数学解析

2016年四川省雅安市中考数学试卷

（满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题3分，共36分) 每小题的四个选项中，有且仅有 一个是正确的.

1. （ 2016四川雅安，1，3分） -2016的相反数是 ( )

A. -2016 B. 2016 C. -11 D. 20162016

【答案】B

【逐步提示】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的概念．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，只要找到和-2016只有符号不同的数即为答案．

【详细解答】解：-2016和2016绝对值相等，符号不同，因此他们是一对互为相反数，故选择B .

【解后反思】一般地，我们确定一个数的相反数时，只需在这个数前面加上负号即可，即数a 的相反数是－a ；若数a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0．

【关键词】相反数

2. （ 2016四川雅安，2，3分）下列各式计算正确的是( )

236235A. (a +b ) 2=a 2+b 2 B. x ⋅x =x C. x +x =x D. (a 3) 3=a 9

【答案】D

【逐步提示】本题考查了多项式与多项式相乘、同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，解题的关键是正确掌握上述运算法则. 可以运用上述法则对每个选项逐个进行计算作出判断．

235【详细解答】解：选项A, (a +b ) 2=a 2+2ab +b 2, 错误；选项B, x ⋅x =x , 错误；选

339项C, x 2，x 不是同类项，不能合并，错误；选项D, (a ) =a , 正确，故选择D . 3

【解后反思】（1）对于幂的有关运算，关键掌握其运算法则：

（2）多项式乘法中的乘法公式：

①平方差公式：(a +b )(a -b ) =a -b

②完全平方公式：(a ±b ) =a ±2ab +b

【关键词】多项式与多项式相乘；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方

223．（2016四川雅安，3，3分）已知a +3a =1, 则代数式2a +6a -1的值为( ) 22222

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【逐步提示】本题考查了代数式的求值，解题的关键是整体思想的运用. 把已知条件a 2+3a =1整体代入要求的代数式即可.

【详细解答】解：∵a 2+3a =1, ∴2a 2+6a -1=2(a 2+3a ) -1=2⨯1-1=1，故选择B .

【解后反思】此类问题若从条件中解出a ，再代入求值运算量大，容易出错，运用整体代入的方法快速简捷.

【关键词】 代数式的值；整体思想

4. （ 2016四川雅安，4，3分）已知△ABC 顶点坐标分别是A (0，6) ，B (-3，- 3)，C (1，0) ，将△ABC 平移后顶点A 的对应点A 1的坐标是 (4，10) ，则点B 的对应点B 1的坐标为( )

A. (7, 1) B. (1,7) C. （1, 1) D. (2, 1)

【答案】C

【逐步提示】本题考查了图形平移中点的坐标变化规律，解题的关键是找出对应点的坐标的平移规律．先找出顶点A 平移后得到对应点A 1的平移规律，再应用此规律求出B 的对应点B 1的坐标.

【详细解答】解：∵顶点A(0，6) 平移后得顶点A 1的坐标是(4，10) ，∴平移的规律是将点A 向右平移4个单位，再向上平移4个单位得到A 1，∴点B (-3，- 3) 向右平移4个单位，再向上平移4个单位得到B 1(1，1) ，故选择C .

【解后反思】图形平移过程中，对应点的平移规律相同. 点的坐标平移规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.

【关键词】探索点的坐标变化规律

5. （ 2016四川雅安，5，3分）将下图的左图绕AB 边旋转一周，所得几何体的俯视图为 (

)

【答案】B

【逐步提示】本题考查了俯视图的概念，解题的关键掌握俯视图的概念．先想象出左图绕AB 边旋转一周所得的几何体的形状，再从这个几何体的上面看到的平面图形即为该几何体的俯视图.

【详细解答】解：左图绕AB 边旋转一周，所得几何体如下图所示，它由一个圆锥和一个圆柱组合而成，由俯视图的概念知，选项B 符合题意

，故选择B .

【解后反思】主视图指从立体图形的正面看到的平面图，左视图指从立体图形的左面看到的平面图，俯视图指从立体图形的上面看到的平面图．画三视图时要遵循的规则是：长对正，高平齐，宽相等. 绘制三视图时要把看得见的轮廓用粗实线表示, 看不见的轮廓用虚线表示.

【关键词】视图 ；画三视图

6. （ 2016四川雅安，6，3分）某校为开展第二课堂，组织调查了本校150名学生各自最喜

爱的一项体育活动，制成了如下扇形统计图，则在被调查的学生中，跑步和打羽毛球的学生人数分别是 ( )

A. 30，40 B. 45，60

C. 30，60

D. 45，40

【答案】B

【逐步提示】本题考查了扇形统计图的简单运用，解题的关键是读懂扇形统计图的意义．先求出打羽毛球所占的百分比，则跑步学生人数=150×跑步所占的百分比，打羽毛球的学生人数=150×羽毛球所占的百分比.

【详细解答】解：∵打羽毛球所占的百分比=1-20%-10%-30%=40%,∴跑步学生人数=150×30%=45人，打羽毛球的学生人数=150×40%=60人，故选择B .

【解后反思】扇形统计图，一般以两种形式出现，一种形式是百分比，这样，用1减去其他百分比，即可算出该部分的百分比；另外一种形式是度数，则根据圆心角的度数除以360°，可算出该部分的百分比. 具体题目中还应学会灵活应用这两种形式.

【关键词】扇形图

7. （ 2016四川雅安，7，3分）已知关于x 的一元二次方程x 2+mx -8=0的一个实数根为2，则另一实数根及 m 的值分别为 ( )

A. 4，-2 B.-4，-2 C. 4,2 D. -4,2

【答案】D

【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的概念以及代入求值，熟练掌握一元二次方程的相关概念是解题的关键． 把根x =2代入一元二次方程求出m 的值，再代回解方程，求出另一个实数根，也可以根据根与系数的关系求解．

2【详细解答】解：方法1 由题意，2+2m -8=0，解得m=2，把m=2代入方程，得

x 2+2x -8=0，(x +4)(x -2) =0，∴x=-4或x=2,即另一个根为-4，故选择 D . 方法2 设方程另一个根为x ，由根与系数的关系，得⎨⎧x +2=-m ⎧m =2，即⎨，故选择 D .

⎩x =-4⎩2x =-8

【解后反思】（1）对于含有字母系数的方程，如果知道方程的某个解，通常的做法是把已知解代入原方程，然后解这个方程，就可以求出字母系数的具体值；（2）一元二次方程根与系数的关系是解决字母系数问题的常见方法，熟练掌握x 1+x 2=-

快捷的解题．

【关键词】一元二次方程的解；一元二次方程的解法---因式分解法；根与系数的关系 c b ，x 1⋅x 2=，可以方便a a

8. （ 2016四川雅安，8，3分）如图所示，底边BC

为A 为 120°的等腰△ABC 中，DE 垂直平分AB 于D ，则△ACE 的周长为 ( )

A. 2+

B. 2 C.4

D.

【答案】A

【逐步提示】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是通过画高解直角三角形求出AC 的长. 由线段垂直平分线的性质可知EA=EB，则△ACE 的周长为AC 与BC 长度的和．

【详细解答】解：画AH ⊥

BC 于H,

∵△ABC 为等腰三角形，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，

∵cos30°

, ∴AC=2，∵DE 垂直平分 AB 于D ，∴EA=EB， ∴△ACE 的周长

=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=2，故选择 A .

【解后反思】线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等，运用该性质可以将线段进行转化．其逆定理是：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

【关键词】垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义

9. （ 2016四川雅安，9，3分）如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120cm 2, 对角线AC =24cm，则四边形ABCD 的周长为 ( )

A.52 cm B.40 cm C.39 cm

D.26 cm

【答案】A

【逐步提示】本题考查了菱形的判定与性质、菱形面积的计算，解题的关键是掌握菱形面积

的计算公式. 由题意，四边形ABCD 为菱形，根据菱形面积公式=1AC ⋅BD 可以求出BD 2

的长，再用勾股定理求出菱形的边长，进而求得四边形ABCD 的周长.

【详细解答】解：∵四边形ABCD 的四边相等，∴四边形ABCD 为菱形，∵面积为120cm 2, 对角线AC =24cm，∴120=1⨯24⨯BD ，∴BD=10,∴

=13, ∴四边形ABCD 2

的周长为：4×13=52cm，故选择A .

【解后反思】菱形的面积公式：①底×高；②对角线乘积的一半；

（2）菱形中，对角线互相垂直平分，它把菱形分成4个全等的直角三角形，用勾股定理就可以得到两条对角线长和边长之间的关系.

【关键词】菱形的判定 ；菱形的性质；菱形的面积；勾股定理

10. （ 2016四川雅安，10，3分）“一方有难，八方支援”，雅安芦山4·20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅 (一桌一椅为一套 ) 的套数为( )

A. 60 B.70 C.80 D.90

【答案】C

【逐步提示】本题考查了一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出不等式．设可搬桌椅的套数为x 套，用x 的代数式表示出搬椅子和搬桌子的人数，根据“搬椅子人数+搬桌子的人数≤200”列出不等式求解.

【详细解答】解：设可搬桌椅的套数为x 套，则搬桌子的人数为2x 人，搬椅子的人数为人，由题意，2x+1x 21x ≤200，解得x ≤80，即最多可搬桌椅80套，故选择C . 2

【解后反思】解答应用题的关键是找出等量关系或不等关系，从而正确地建立方程模型或不等式模型，求出结果．

【关键词】一元一次不等式（组）的应用---求范围的问题

11. （2016四川雅安，11，3分）若式

子

的图象可能是(

) y =(1-k ) x +k -10有意义，则一次函数(k -1)

【答案】C

【逐步提示】本题考查了二次根式和零次幂有意义的条件以及一次函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数图象的性质.

(k -1) 0有意义，先确定k 的取值范围，再根据一次函数的图象性质作出判断.

【详细解答】解：∵

(k -1) 0有意义，∴⎨⎧k -1≥0, 解得k>1, ⎩k -1≠0

∴1-k0,即一次函数y =(1-k ) x +k -1的图象与y 轴交点在y 轴正半轴上，且y 随着x 的最大而减小，故选择C .

【解后反思】一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）中的k 、b 符号决定了图象的位置，当k ＞0，b ＞0时，图象经过第一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，图象经过第一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，图象经过第二、三、四象限．

【关键词】一次函数的图像性质；二次根式

12. （2016四川雅安，12，3分）如图，在矩形ABCD 中，AD = 6，AE ⊥BD ，垂足为 E ，ED =3BE，点P 、Q 分别在BD ，AD 上，则AP+ PQ的最小值为 ( )

A.

C.

D.

【答案】D

【逐步提示】本题考查了矩形、相似三角形、锐角三角函数的定义、轴对称变换等知识，解题的关键是利用轴对称变换找出P 、Q 的位置．画A 关于直线BD 的对称点F, 则AP+PQ=PF+PQ≥QF,当QF ⊥AD 时，AP+PQ最小.

【详细解答】解：画A 关于直线BD 的对称点

F, 连接QF,PF,

∵AE ⊥BD ，∴AP=PF,∴AP+PQ=PF+PQ≥QF,当QF ⊥AD 时，AP+PQ最小.

∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD=90°，∴△AEB ∽△DEA,

∵ED=3BE，设BE=a,DE=3a,∴a AE AE ===,

∴AE =, ∴tan ∠

ADE=, AE 3a ED 3a 3∴∠ADE=30°, ∴AE=EF=1AD=3,∴AF=6,当FQ ⊥AD 时，∵∠FAD=60°，2

∴FQ=AFsin60°

=即AP+ PQ

的最小值为，故选择D . 2

【解后反思】利用轴对称是求最短路线问题的常用技巧，其方法是画其中一点关于直线的对称点，另一点与对称点之间的线段的长就是最短路线的长.

【关键词】矩形的性质；轴对称变换；相似三角形的判定；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义

二、填空题 (本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 将答案直接写在答题卡相应的横线上.

13. （2016四川雅安，13，3分）1.45°′

【答案】87

【逐步提示】本题考查了角度制的运算，解题的关键是掌握度与分之间的数量关系．因为1度等于60分，1.45乘以60′，即为答案.

【详细解答】解：∵1°=60′,∴1.45°=1.45×60′=87′，故答案为87 . 【解后反思】度、分、秒之间的关系是：1°=60′，1′=60″. 大单位化小单位乘以60，小单位化大单位除以60.

【关键词】角度制的运算

14. （ 2016四川雅安，14，3分）P 为正整数，现规定 P! =P(P-1)(P-2)……×2×1，若m! =24 则正整数m= .

【答案】4

【逐步提示】本题考查了有理数乘法运算，解题的关键是读懂新定义运算的含义. 根据题目中的新定义，把24写成1×2×3×…×m的形式，即可确定正整数m 的值.

【详细解答】解：∵24=4×3×2×1，∴正整数m=4，故答案为4 .

【解后反思】定义新运算，实质是给出一个运算规则，按照规则计算即可．解题时要正确理解新定义运算的含义，然后将新定义的运算转化成平时熟悉的问题来解决．

【关键词】新定义题型；有理数的乘法法则

15. （ 2016四川雅安，15，3分） 一书架有上下两层，其中上层有2本语文1本数学，下层有2本语文2本数学，现从上下层随机各取 1本，则抽到的2本都是数学书的概率为 .

【答案】1 6

【逐步提示】

本题考查了等可能条件下概率的计算，解题的关键是掌握概率的意义，列举出所有等可能的结果数．先画树状图或列表分析所有等可能的结果，再看满足条件的结果数，然后代概率公式计算即可．

【详细解答】解：画树状图如下：

由上图可知共有12种等可能的结果，其中“抽到的2本都是数学书”共有2种结果，

211 ，故答案为 . 1266n 【解后反思】等可能性事件的概率的计算公式：P (A ) ＝，其中m 是总的结果数，n 是该m ∴抽到的2本都是数学书的概率为

事件成立包含的结果数．

【关键词】概率的计算公式

16．（ 2016四川雅安，16，3分）如图，在△ABC 中，AB =AC = 10，以 AB 为直径的⊙O 与BC 交与点D ，与AC 交于点E ，连OD 交BE 于点M ，且MD=2，则BE 的长为

.

【答案】8

【逐步提示】本题考查了等腰三角形性质、平行线的判定与性质、圆的基本性质，解题关键是运用垂径定理求出BM 的长. 由题意，可得OD 平行于AC, 即OD 垂直BE, 在Rt △OBM 中求得BM 的长，即可求出BE 的长.

【详细解答】解：∵AB =AC=10，∴∠ABC=∠C, ∵OB=OD,∴∠ABC=∠ODB, ∴∠ODB=∠C, ∴OD ∥AC, ∵AB 为⊙O 的直径，∴BE ⊥AC, ∴OD ⊥BE, ∴BM=ME,∵MD=2，∴OM=OD-MD=5-2=3，∴

=4, ∴BE=2BM=8，故答案为 8 .

【解后反思】圆中涉及弦长的计算，往往构造半弦、半径、弦心距组成的直角三角形进行求解.

【关键词】等腰三角形的性质 ；平行线的判定；平行线的性质 ；勾股定理；垂径定理；圆心角、圆周角定理

a 2+b 2

-ab . 17. （ 2016四川雅安，17，3分）已知a+b=8,a b =4, 则222

【答案】28或36

【逐步提示】本题考查了代数式的值、多项式与多项式相乘、分类讨论思想和整体思想，解题关键是整体思想的运用. 先将要求的式子变形为a+b和ab 的形式，再代入求值.

【详细解答】解：∵a+b=8,a 2b 2=4, ∴ab=2或ab=-2, a 2+b 2(a +b ) 2-2ab (a +b ) 2-4ab -ab =-ab =∵, 222

a 2+b 282-4⨯2-ab ==28； 当ab=2时，22

a 2+b 282-4⨯(-2) -ab ==36. 当ab=-2时，22

故答案为28或36 .

【解后反思】本题是代数式的求值，若将已知条件联立解方程组求出a,b 的值再代入运算量大，容易出错，而将代数式变形成a+b,ab的形式并用整体代入的方法显得比较简单快捷. 解题时要注意分类讨论.

【关键词】代数式的值 ；多项式与多项式相乘；分类讨论思想；整体思想

三、解答题 (本大题共7个小题，共69分) 解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.

18. （2016四川雅安，18，12分）

2-]0(1)（2016四川雅安，18(1)，6分）

计算：-2+(-) +2sin60-|1. 1

3

【逐步提示】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方、负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值等概念和性质．

先计算乘方、负整数指数幂、60°的正弦、绝对值，再进行加减运算.

【详细解答】解：(1)原式

=-4+(-3) +2

1) =-71=-6. 【解后反思】本题属于实数的综合计算题，难度不大，但涉及的知识点往往较多，一般采用“各个击破”的策略对参与运算的每一项分别计算或化简，最后再合并计算求解．

【关键词】 有理数的乘方；负整数指数幂；锐角三角函数值；绝对值；二次根式的化简

x 2-1x +1-x -1) ÷(2)（2016四川雅安，18(2)，6分）先化简，再求值：(2，其中x= x -2x +1x -1

-2.

【逐步提示】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则.

先将括号内第一项的分子和分母因式分解，除法转化为乘法，再去括号进行化简求值.

【详细解答】解：(2)原式=[(x +1)(x -1) x -1-(x +1)]⨯=1-(x-1)=2-x. (x -1) 2x +1

当x=-2 时，原式=2-( -2)=4.

【解后反思】化简求值问题，一般都要先对分式进行化简，再把字母取值代入化简后的式子求值，分子分母若是多项式，应先分解因式，如果有公因式，应先进行约分．

【关键词】 分式的运算；代数式的值

19．（2016四川雅安，19，7分）解下列不等式组, 并将它的解集在数轴上表示出来 ⎧x -1>2x ⎪⎨x -1x +1 ≤

⎪9⎩3

【逐步提示】本题考查了不等式组的解法以及解集在数轴上的表示，解题的关键是确定两个不等式解集的公共部分． 先解两个一元一次不等式，再求两个解集的公共部分，最后在数轴上画出解集.

⎧x -1>2x ①⎪【详细解答】解：⎨x -1x +1， ≤②⎪9⎩3

由①得，x

由②得，x≤2

∴该不等式组的解集为：x

【解后反思】解不等式组时，先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再结合数轴，确定各个解集的公共部分，即为不等式组的解集. 将不等式组的解集表示在数轴上时，应注意“方向”与“点型”

【关键词】 一元一次不等式组的解法；不等式(组) 的解集的表示方法

20．（2016四川雅安，10分）甲乙两人进行射击训练，两人分别射击12次，下图分别统计了两人的射击成绩. 已知甲射击成绩的方差S 甲=27，甲=8.5. 12(1)根据图上信息，估计乙射击成绩不少于9环的概率是多少？

(2)求乙射击的平均成绩及成绩的方差，并据此比校甲乙的射击“水平”.

1S 2=[(x 1-) 2+(x 2-

) 2+ +(x n -) 2]. n

【逐步提示】本题考查了概率、平均数、方差的应用，解题的关键是掌握平均数、方差的计算公式．

（1）乙射击总次数为12次，在图乙中统计出射击成绩不少于9环的次数，再代概率公式求解；（2）乙射击成绩为：7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10，先求出平均数，再求出方差，根据甲、乙的射击成绩的方差大小作出判断.

【详细解答】解：（1）由图可知，乙射击总次数12次，不少于9环的有次7次，

7. 122⨯7+3⨯8+6⨯9+1⨯10=8.5(环) (2)乙=12

1932S 乙=[(7-8.5) 2⨯2+(8-8.5) 2⨯3+(9-8.5) 2⨯6+(10-8.5) 2]==， 12124∴P (乙射击成绩不少于9环) =

22∵甲=乙，S 甲，

∴甲的射击成绩更稳定.

【解后反思】1. 平均数的计算方法：

（1）定义法：当所给数据x 1, x 2, , x n 比较分散时，一般选用定义公式：

x =1(x 1+x 2+⋅⋅⋅+x n ) ； n

（2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：

x =x 1f 1+x 2f 2+⋅⋅⋅+x k f k ，其中f 1+f 2+⋅⋅⋅+f k =n ． n

2. 方差：在一组数据x 1, x 2, , x n 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做

2这组数据的方差．通常用“S 2”表示，即S =1[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2]． n

一组数据方差越小，数据的波动越小，这组数据就越稳定.

【关键词】概率的计算公式 ；平均数；方差

21．（2016四川雅安，21，8分）我们规定：m = (a，b) ，n = (c，d) ，则m ⋅n = ac +bd.

如m = ( 1, 2)，n = (3，5) ，则m ⋅n =1×3+2×5 =13.

(1)已知m = (2，4) ，n =(2，-3) ，求m ⋅n ；

(2)已知m =(x-a，1) ，n = (x-a，x+1),求y =m ⋅n ，问y =m ⋅n 的函数图象与一次函数y =x-1的图象是否相交，请说明理由.

【逐步提示】本题考查了有理数的混合运算、二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确理解新定义运算并转化为我们熟悉的运算．

(1) 根据m ⋅n 的计算公式进行计算；（2）先求出y 的表达式，再与一次函数y=x-1联立消去y 得关于x 的一元二次方程，根据判别式的符号即可作出判断.

【详细解答】解： (1) m ⋅n =2⨯2+4⨯(-3) =-8

(2)∵m ⋅n =(x -a ) 2+(x +1) =x 2-(2a -1) x +a 2+1

∴y =x -(2a -1) x +a +1

联立方程：x -(2a -1) x +a +1=x -1

22化简，得x -2ax +a +2=0 2222

∵∆=(-2a ) 2-4⨯1⨯(a 2+2) =-8

∴方程无实数解，即两函数图象无交点.

【解后反思】(1)本题是新定义问题，正确理解新定义运算并转化为我们熟悉的运算是解题的关键；（2）二次函数图象与一次函数图象交点问题，可将两个函数表达式联立组成方程组，然后消元y 得到关于x 的一元二次方程，通过讨论一元二次方程根的情况即可知道两个函数图象交点的情况.

【关键词】 新定义题型；有理数的混合运算；二次函数与一元二次方程

22．（2016四川雅安，22，10分）巳知Rt △ABC 中，∠B =90°，AC = 20，AB= 10, P是边AC 上一点(不包括端点 A 、C) ，过点 P 作PE ⊥BC 于点E ，过点E 作EF ∥AC ，交 AB 于点F ，设PC =x，PE =y.

(1)求y 与x 的函数关系；

(2)是否存在点 P 使△PEF 是Rt △，若存在，求此时的x 的值，若不存在，请说明理由.

【逐步提示】本题考查了平行四边形、矩形的性质和判定、锐角三角函数的定义、分类讨论思想，解题的关键是掌握存在性问题的解题思路以及分类讨论思想．

(1)由已知条件可得∠C=30°，在Rt △PEC 中，根据锐角三角函数的定义可求得y 与x 的函数关系；（2）分三种情况：①∠FPE = 90°；②∠PFE=90°；③∠PEF = 90°，对每一种情况分别求解x 即可.

【详细解答】解：(1) 在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC = 20，AB= 10, ∴sinC=1, ∴∠C=30°, ∠A=60°, 2

PE 1= PC 2又∵PE ⊥BC 于点E ∴sinC =

∵PC =x，PE =y,

∴y =1x (0

(2) 存在点 P 使△PEF 是Rt △

①如图 1，当∠

FPE = 90°时，

∵∠B=∠PEB=90°,

∴四边形PEBF 是矩形，∴BF= PE=

∵EF ∥AC,PE ∥AB,

∴四边形APEF 是平行四边形，∴PE=AF=

∵BF +AF =AB=10，∴x=10.

②如图2，当∠PFE=90°时， 1x ， 21x 2

∵EF ∥AC, ∴∠EFB=∠A=60°，∴∠AFP=30°，∴∠APF=90°,

∵AP=20-x,∴AF =2AP=2(20-x)=40-2x

在平行四边形AFEP 中，AF =PE，即：40-2x =1x ，解之得x=16 2

③当∠PEF = 90°时，∵∠B =90°，PE ⊥BC ，∴AB ∥PE ，∵EF ∥AC ，∴四边形PEFA 是平行四边形，∴∠PEF=∠A=60°，∴此时∠PEF= 90°不存在.

综上所述，当 x = 10或x= 16时，存在点P 使△PEF 是Rt △. 【解后反思】（1）存在性问题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题. 解存在探究型问题的一般思路是：先假设存在，然后由此出发，结合已知条件进行计算推理论证，导出某个结果．若该结果合理，则说明假设成立，由此得出问题的答案；如果该结果不合理，则说明假设不成立，所探索的条件或结论不存在．

（2）讨论一个三角形是直角三角形，一般需要分三种情况讨论，对每一种情况，先要画出符合题意的图形，再结合直角条件和已知条件进行求解.

【关键词】平行四边形的判定；平行四边形的性质；矩形的判定；矩形的性质；锐角三角函数的定义；分类讨论思想；存在探索型问题

23．（ 2016四川雅安，23，12分）已知直线l 1：y=x+3与x 轴交于点A ，与 y 轴交于点B ，且与双曲线y =k 交于点C (1，a). x

(1)试确定双曲线的函数表达式；

(2)将l 1沿y 轴翻折后，得到l 2，画出l 2的图象，并求出l 2的函数表达式；

(3)在 (2)的条件下，点P 是线段AC 上点

(不包括端点) ，过点P 作x 轴的平行线，分别交l 2于点M ，交双曲线于点N, 求S △AMN 的取值范围.

【逐步提示】本题考查了一次函数的表达式、反比例函数的表达式、图形的轴对称性、二次函数的性质、待定系数法，解题的关键是（3）问中引入坐标建立△AMN 面积的函数表达式．

（1）先把点C (1，a) 代入直线l 1中求得a 的值，再把点C 坐标代入双曲线y =k 中求得k x

的值；（2）由题意，直线l 2经过点B 和点A 关于y 轴的对称点，再利用待定系数法求直线l 2的函数表达式；（3）设点M,N 的纵坐标为t, 分别代入直线l 2和反比例函数表达式求出M,N 的横坐标，然后表示出S △AMN ，再根据0

【详细解答】解：(1)将C (1，a) 代入y=x+3，得：a=4

∴k =1⨯a =4.

∴双曲线的函数表达式为：y =

(2) l

2的图象如下图所示. 4 x

∵l 1：y=x+3，l 2与l 1关于y 轴对称

∴l 2的图象过点(0,3)和(3,0)，

设直线l 2：y=kx+b,把(0,3)和(3,0)代入，

得⎨⎧3=b ⎧k =-1，解得⎨，

⎩0=3k +b ⎩b =3

∴l 2：y=-x+3

4,t) t

141327则S △AMN =[-(3-t )]t =(t -) +，(0

37当t =时，(S ∆AMN ) min = 28 (3)由题可设M(3-t,t),N(

当t =4时，(S ∆AMN ) max =4

∴7≤S ∆AMN

【解后反思】三角形面积的最值（或取值范围）问题，一般先引入变量，再建立函数表达式，然后结合自变量的取值范围和函数图象的性质进行求解.

【关键词】一次函数的表达式；反比例函数的表达式；探索基本图形的轴对称性；二次函数的性质；待定系数法

24. （ 2016四川雅安，24，10分）如图1，AB 是⊙O 的直径，E 是 AB 延长线上一点，EC 切⊙O 于点C ，连接AC ，OP ⊥AO 交AC 于点P ，交EC 的延长线于点 D.

(1)求证：△PCD 是等腰三角形；

(2)CG⊥AB 于H 点, 交⊙O 于G 点, 过B 点作BF ∥EC, 交⊙O 于点F, 交CG 于Q 点，连接AF ，如图2，若sinE =3,CQ =5,求

AF 的值. 5

【逐步提示】本题考查了等腰三角形的性质和判定、平行线的性质、切线的判定、锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握切线的判定方法以及圆中长度计算的方法．

(1) 连接OC ，则OC 垂直DE, 可证∠3=∠4=∠5，即△PCD 是等腰三角形；（2）连接BC ，证CQ=BQ=5，因BF ∥EC, 得sin ∠ABF=sinE =3, 求得QH=3，BH=4，设⊙0的半径为 r ，5

在Rt △OCH 中用勾股定理求出r, 再在Rt △ABF 中，用锐角三角函数定义求出AF 的长.

【详细解答】解：(1)证明：如图

1所示，连接OC

∵EC 切⊙0于点 C

∴OC ⊥DE ，∴∠1 +∠3 =90° ①

又∵OP ⊥OA, ∴∠2 +∠4=90° ②

∵OA=OC,∴∠1 =∠2 ③

由①②③可得，∠3 =∠4

又∵∠4 =∠5，∴∠3=∠5，∴DP =DC，

即△PCD 为等腰三角形.

(2)解：如图2所示，连接BC

∵EC 切⊙O 于C 点

∴∠1 +∠2 =90°①

又∵OC = OB

∴∠2 =∠3 ②

∵CG ⊥AB,

∴∠3 +∠4=9O°③

由①②③可得，∠1 =∠4 ④

∵BF ∥DE, ∴∠5 =∠1 ⑤

由④⑤，得∠4 =∠5，

∴CQ =BQ，

又∵CQ =5,∴BQ=5,

∵BF ∥DE, ∴∠ABF=∠E,

3, 5

3∴sin ∠ABF=, 5又∵sinE =

即QH=3，BH=4，

设⊙0的半径为 r ，在Rt △OCH 中，r =8+(r 4) ，

解得r=10，∴AB=20，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠AFB= 90°,

∴sin ∠ABF=222AF 3=, ∴AF=12. AB 5

【解后反思】（1）圆中遇到切线条件，连接切点和圆心构造直角是常见的辅助线；

（2）圆中线段长度计算常用的方法有：①用勾股定理求解；②用锐角三角函数定义求解；③用相似三角形求解.

【关键词】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行线的性质；勾股定理；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义