4.1比例线段导学案

4.1 比例线段

一、线段的比：

已知线段AB和CD的长度分别是2cm，6cm，则AB和CD的比是 ，表示为

a定义：在同一长度单位下，a,b,两线段长度的比叫做这两线段的比。记为a：b b

例：1.已知a:b=6:1,且a-b=10，则a+b = .

2.两条直角边分别为3和4的直角三角形的斜边与斜边上的高的比为

3.根据图形填空：

由上面的格点图可知，

这样 ABBC＝_________，＝___________, A`B`B`C`ABBC与之间有关系___________________________。 A`B`B`C`

二、成比例线段：

定义：一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

ac 可表示成a:b＝c:d或 =，其中b、c叫做内项，a、d叫做外项。 bd

例1.判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：

（1）a=4，b＝6,c＝5,d＝10；

（2）a＝2,b＝，c＝2,d＝5。

（3）1cm,3cm,4cm,6cm；

（4）0.1cm,0.2m,0.3cm,0.6cm；

练习1.下列四组线段中，每组线段长度如下，能成比例的有：

（1

）2,1 （2）3,2,6,4

（3）0.1cm,0.2m,0.3cm,0.6cm； （4）0.1cm,0.2m,0.3cm,0.6m；

ACACCDACCD2.(1)根据图示求线段比、、、、 CDCBDBADCB

(2)指出图中成比例的线段。 三、比例的性质

ac基本性质： = ad＝bc或：a:b＝c:d ad＝bc 即：两内项之积等于两外项之积。 bd

(a、b、c、d都不为零)

xxx－2y例1：(1)若3x＝4y，求、、的值。 yx－yx＋y

(2)若a＋b5a－2bx－y＋z ＝ ，求 的值。(3)x:y:z＝2:3:4，求的值。 a3b2x＋3y－z

(4)已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b＋4c的值。

(5)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm。求AB:CD的值。

例2：(1)已知：x：(x+1)=(1—x)：3，求x。(2)若2x-3y1ya＋b6aa－b = ，求 。(3) 若＝，求 x+y2xb5bb

yxyz2x+3y-zx+y+z(4)若x2-3xy+2y2=0,求已知求 ， x234z+2y-3xx

(6)已知x:y:z=4:5:7,求2x3yz，xy (7)a：b：c=1：3：5 且a+2b—c=8求a、b、c 5zyz

四、黄金分割：

如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），若ACBC，则称线段AB被点C黄金分ABAC

割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即AC=

A

2. 黄金分割点的画法

例1：已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则 （ ） 1AB. 2CB

A、AP2ABPB； B、AB2APPB； C、PB2APAB； D、AP2BP2AB2

例2：已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10cm，则PQ长为（ ）

A、5(51) B、5(1) C、10(52) D、5(3):

例3：已知线段AB=a，在线段AB上有一点C，若AC=

什么？

例4：如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，

AB51≈0.618，那么这个矩形称为BC235a，则点C是线段AB的黄金分割点吗？为2

黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄

金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一

个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.

例5：以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图

2（1）求AM、DM的长.（2）求证：AM=AD·DM.（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？

课堂反馈：

一、选择题

1、已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB，AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（ ）

A、S1＞S2 B、S1＜S2 C、S1=S2 D、S1≥S2

2、若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）

A、错误！未找到引用源。cm B、2（错误！未找到引用源。﹣1）cm C、4（错误！未找到引用源。﹣1）cm D、6（错误！未找到引用源。﹣1）cm

3、已知点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，且MP=（错误！未找到引用源。﹣1）cm，则MN等于（ ）

A、2cm B、4cm C、6cm D、无法计算

4、（2004•安徽）如图，扇子的圆心角为x°，余下的扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比为设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为0.6，则x为（ ）

A、216 B、135C、120 D、108

二、填空题

5、若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。= ．

6、已知一点C把AB分成两段AC和BC，且AC＞BC，当 就说C把AB黄金分割．

7、把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm．

8、（2004•淮安）科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm．（精确到0.1cm）

课后练习：

一、填空题

6、xyzxyzx2y3z，则 ， 345x2x3y5z

7、已知b是a，c的比例中项，且a=3cm，c=9cm，则b= cm。

8、如果a:b:c1:1:3，那么2a3bc a5b3c

二、选择题

9、如果axbc，那么将x作为第四比例项的比例式是（ ） baacacxaA  B  C  D  cxxbbxbc

10、三线段a、b、c中，a的一半的长等于b的四分之一长，也等于c的六分之一长，那么这三条线

段的和与b的比等于（ ）

A 1:6 B 6:1 C 1:3 D 3:1

ac11、已知，则下列等式中不成立的是（ ） bd

bdabcdacadaA. B. C. D.  acbdabcdbcb

12、下列a、b、c、d四条线段，不成比例线段的是（ ）

A. a=2cm b=5cm c=5cm d=12.5cm B. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mm 9C. a=30mm b=2cm c=cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d=0.3dm 5

13、如果 a:b=12:8，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（ ）

A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4

14、已知xy8x3xy1x33x3这四个式子中正确，则在① ② ③ ④x3y5x2y13xy4y55

的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个